для систем какого порядка критерий стодола является необходимым и достаточным

Критерии устойчивости (Лекция)

2. Корневой критерий

3. Критерий Стодолы

4. Критерий Гурвица

5. Критерий Михайлова

6. Критерий Найквиста

7. Показатели качества

8. Прямые показатели качества

9. Корневые показатели качества

10. Частотные показатели качества

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий,

2) критерий Стодолы,

3) критерий Гурвица,

4) критерий Найквиста,

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания. Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.

2. Корневой критерий

Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.

Корни характеристического уравнения (они обозначены звездочкой) могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости.

Виды корней характеристического уравнения:

положительные (корень № 1);

комплексные сопряженные (4);

По кратности корни бывают:

сопряженные (4, 5): s_i = a ± j w ;

Корневой критерий формулируется следующим образом:

Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

Пример 4.1. Передаточная функция системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение: s 3 + 2 s 2 + 2.25 s + 1.25 = 0.

Следовательно, система устойчива.

3. Критерий Стодолы

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

То есть, для передаточная из примера 4.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

4. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид, как показано на рисунке ниже.

Далее с учетом наличия отрицательной обратной связи получаем передаточную функцию замкнутой системы:

.

Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

.

Тогда после подстановки и преобразования получаем:

.

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W _¥ :

D _з( s ) = A ( s ) + B ( s ).

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_{n +1} по a ₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 ( a ₀, a ₂, a ₄… или a ₁, a ₃, a ₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Для этого определяется ХПЗС :

D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

,

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива.

5. Критерий Михайлова

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

2) Подставляется s = j w : D _з (j w ) =Re( w ) + Im( w ).

3) Записывается уравнение годографа Михайлова D _з( j w ) и строится кривая на комплексной плоскости.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

6. Критерий Найквиста

Данный критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФХ системы, поэтому более сложен для расчетов.

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .

3) Подставляется s = j w : W _¥ ( j w ).

4) Строится АФХ разомкнутой системы.

Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости.

В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A ( s ) = 0 корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий, согласно критерию, замкнутая система является устойчивой, если АФХ разомкнутой системы W _¥ ( j w ) не охватывала точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (или на границе устойчивости).

7. Показатели качества

Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.

Показатели качества разбиты на 4 группы:

8. Прямые показатели качества

Рис. 4.4

Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (см. рис. 1.38).

Сразу по ней определяется установившееся значение выходной величины у_уст.

Степень затухания y определяется по формуле

,

Время достижения первого максимума t _м определяется по графику.

9. Корневые показатели качества

Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:

Степень устойчивости h определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.

h = min ,

m = min .

10. Частотные показатели качества

Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.

Запас D A определяется по точке пересечения АФХ с отрицательной действительной полуосью.

Для определения D j строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас D j определяется по точке пересечения с этой окружностью.

По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию М и ошибке М_Е как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.

Связи между показателями качества.Описанные выше показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:

; t_p = ; ; M = .

Источник

Краткий конспект лекций Подготовил Сергей Чекрыжов Кохтла-Ярве 2008 Учебное пособие написано по материалам курса «Основы автоматики»

5.1 Понятие устойчивости линейных систем

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменении его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется следующим образом: Звено или система называются устойчивыми, если переходная составляющая с течением времени стремится к нулю:

.

Если выходной сигнал звена или системы y(t) рассматривать как сумму двух составляющих

где — установившееся значение y(t), у_п(t) – переходная составляющая, то у_п(t) = y(t) – y_уст.

Если у_п(t) с течением времени стремится к бесконечности, звено или система называются неустойчивыми. Другими словами:

.

Примеры переходных процессов для каждого случая приведены на рисунке 6.2

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий;

2) критерий Стодола;

3) критерий Гурвица;

4) критерий Найквиста;

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем, однако не являются достаточными для однозначного определения устойчивости.

Критерий Гурвица является алгебраическим и может быть использован для определения устойчивости как отдельных звеньев, так и замкнутых систем без запаздывания. При этом он позволяет обойтись без определения корней характеристического полинома, который может иметь достаточно большую степень.

Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.

^ 5.2 Корневой критерий

Корневой критерий формулируется следующим образом:

Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (она называется также областью устойчивости). Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (независимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

Пример. Передаточная функция системы имеет вид

.

Характеристическое уравнение s 3 + 2s 2 + 2,25s + 1.25 = 0 имеет три корня:

Действительные части всех корней отрицательны, следовательно, система устойчива. 

^ 5.3 Критерий Стодолы

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

То есть, передаточная функция из примера по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

^ 5.4 Критерий Гурвица

Критерий Гурвица, как и критерий Стодола, определяет устойчивость по характеристическому полиному системы без непосредственного вычисления его корней. Однако критерий Стодола является необходимым критерием устойчивости, но не является достаточным.

Критерий Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем.

Исходной информацией для данного критерия является характеристический полином системы: разомкнутой A(s) или замкнутой D(s) – в зависимости от того, какая система анализируется.

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_n+1 по a₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a₀, a₂, a₄… или a₁, a₃, a₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находиться на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива независимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример 5.1 Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

Для этого определяется ХПЗС:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители (диагональные миноры матрицы):

,

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива. ♦

^ 5.5 Критерий Михайлова

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

2) Подставляется s = j: D_з(j) =Re() + Im().

3) Записывается уравнение годографа Михайлова D_з(j) и строится кривая на комплексной плоскости.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

Пример 5.2 Характеристический полином замкнутой системы имеет вид (см. предыдущий пример):

D(s) = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.

После подстановки s = j получается выражение для годографа Михайлова:

Далее, варьируя частоту  от 0 до бесконечности, рассчитываются точки годографа (см. таблицу 6.1) и на комплексной плоскости строится кривая (см. рисунок 6.5).

Таблица 5.1

Рисунок 5.5 Годограф Михайлова

Годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и последовательно обходит четыре квадранта (степень характеристического полинома также равна n = 4), следовательно, система устойчива. Это подтверждает результат, полученный в предыдущем примере. 

^ 5.6 Критерий Найквиста

Данный критерий определяет устойчивость по частотным характеристикам системы. Для построения частотных характеристик, например, АФХ требуется подстановка s = j в передаточную функцию системы, которая, как правило, представляет собой дробно-рациональную функцию. Поэтому данный критерий более сложен для ручного расчета по сравнению с критерием Михайлова.

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .

2) Определяется число правых корней m.

3) Подставляется s = j: W_(j).

4) Строится АФХ разомкнутой системы.

Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости (см. рисунок 6.5).

В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A(s) = 0 правых корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий можно переформулировать: замкнутая система устойчива, если АФХ разомкнутой системы W_(j) не охватывает точку (-1; 0), в противном случае система неустойчива; если проходит через нее, то на границе устойчивости.

Пример 5.3 Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

.

Для построения АФХ разомкнутой системы делается подстановка s = j* в передаточную функцию:

,

где — действительная часть АФХ,

— мнимая часть,

а = (1 – 2* 2 ) 2 + (3,5 3 – 4*) 2 – знаменатель.

Таблица 6.2

По полученным формулам строится АФХ (см. таблицу 6.2 и рисунок 6.6). Характеристическое уравнение правых корней не имеет, АФХ охватывает точку (-1; 0), следовательно, замкнутая система неустойчива. 

Лекция 6. Качество процессов управления

Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.

Показатели качества разбиты на 4 группы:

Корневые, частотные и интегральные критерии качества называют также косвенными, поскольку они в отличие от прямых определяют качество системы не непосредственно по переходной кривой, а по косвенным характеристикам (передаточным функциям, ЧХ и т.д.). В этом заключается достоинство данных критериев: они не требуют построения переходной кривой. Однако информация для косвенных критериев на практике не всегда доступна (не всегда известна, например, передаточная функция рассматриваемого объекта).

^ 6.1 Прямые показатели качества

К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка е_ст, время регулирования t_p и др.

Рисунок 7.1
Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (см. рисунок 1.47).

По ней определяется установившееся значение выходной величины

.

^ Степень затухания  определяется по формуле

,

Время достижения первого максимума t_м определяется по графику.

Время регулирования t_p определяется следующим образом: определяется допустимое отклонение  и строится «коридор» шириной 2. Время t_p соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать допустимого отклонения от установившегося значения.

Обычно допустимое отклонение принимается равным 5 % от установившегося значения:  = 5% у_уст. Однако оно может быть и другим. Например, если у_уст = 0, то допустимое отклонение принимается равным 5 % от амплитуды А₁.

Оптимальные значения времени регулирования, времени достижения первого максимума, перерегулирования и статической ошибки соответствуют минимальным значениям (чем меньше, тем лучше). Степень затухания, наоборот, должна быть максимально большой (максимум  равен 1).

3.2.4. Интегральные показатели качества

Интегральные показатели качества определяются путем интегрирования (суммирования) некоторых функций (переходных процессов или других показателей качества). Разновидностью интегральных показателей качества является интегральный квадратичный критерий I₀.

Если рассмотреть два переходных процесса в некоторой АСР (см. рисунок 1.51), то визуально можно определить, что первый процесс обладает более высоким качеством.

Численно это можно охарактеризовать площадью между соответствующей кривой и прямой y = y_уст. Для первой кривой эта площадь (площадь S₁) меньше, чем для второй (площадь S₂), поэтому первый процесс лучше.

Данная площадь определяется как интеграл

и может быть использована как интегральный показатель качества.

Если учесть, что для АСР установившееся значение у_уст должно в идеале совпадать с заданным х, а выражение х – у(t) есть выражение ошибки регулирования e(t), то поиск S сводится к интегралу ошибки. Если в системе имеется статическая ошибка е_ст = х – у_уст  0, то площадь S получается бесконечной. Для учета этого фактора интегрируется не сама ошибка, а ее переходная составляющая

,

где е_п(t) = e(t) – e_уст – переходная составляющая ошибки.

Чаще используется интегральный квадратичный критерий

,

поскольку переходная составляющая на определенных интервалах времени может принимать отрицательные значения, а следовательно, вычитаться из интегральной величины, что приводит к неверному значению площади.

3.2.5 Связи между показателями качества

Описанные выше показатели качества связаны между собой примерными соотношениями, справедливыми только для систем не выше второго порядка:

; t_p = ; ; M = .

4. Настройка регуляторов

4.1. Типовые законы регулирования

Для регулирования объектами управления, как правило, используют типовые регуляторы, которые можно разделить на аналоговые и дискретные. К дискретным регуляторам относятся импульсные, релейные и цифровые. Аналоговые реализуют типовые законы регулирования, названия которых соответствуют названиям типовых звеньев.

Входным сигналом для аналоговых регуляторов является величина ошибки регулирования, которая определяется как разность между заданным и текущим значениями регулируемого параметра (e = х – у). Выходным сигналом является величина управляющего воздействия u, подаваемая на объект управления. Преобразование входного сигнала в выходной производится согласно типовым законам регулирования, рассматриваемым ниже.

1) П-закон (пропорциональное регулирование). Согласно закон пропорционального регулирования управляющее воздействие должно быть пропорционально величине ошибки. Например, если регулируемый параметр начинает отклоняться от заданного значения, то воздействие на объект следует увеличивать в соответствующую сторону. Коэффициент пропорциональности часто обозначают как K₁:

Тогда передаточная функция П-регулятора имеет вид

Если величина ошибки стала равна, например, единице, то управляющее воздействие станет равным K₁ (см. рисунок 1.52).

Примером системы с П-регулятором может служить система автоматического наполнения емкости (сливной бачок). На рисунке 1.53 обозначены:

L и L_зад – текущий уровень в емкости (регулируемая величина) и его заданная величина,

F_пр и F_сток – расходы жидкости притекающей и стекающей из емкости.

Управляющим воздействием является F_пр. F_сток – возмущение.

Достоинство данного принципа регулирования в быстродействии. Недостаток – в наличии статической ошибки в системе. Например, если жидкость вытекает из емкости постоянно, то уровень всегда будет меньше заданного.

2) И-закон (интегральное регулирование). Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки. То есть чем дольше существует отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше управляющее воздействие:

.

Передаточная функция И-регулятора:

W_И(s) = .

При возникновении ошибки управляющее воздействие начинает увеличиваться со скоростью, пропорциональной величине ошибки. Например, при е = 1 скорость будет равна K₀ (см. рисунок 1.54).

Достоинство данного принципа регулирования в отсутствии статической ошибки, т.е. при возникновении ошибки регулятор будет увеличивать управляющее воздействие, пока не добьется заданного значения регулируемой величины. Недостаток – в низком быстродействии.

3) Д-закон (дифференциальное регулирование). Регулирование ведется по величине скорости изменения регулируемой величины:

.

То есть при быстром отклонении регулирующей величины управляющее воздействие по модулю будет больше. При медленном – меньше. Передаточная функция Д-регулятора:

Регулятор генерирует управляющее воздействие только при изменении регулируемой величины. Например, если ошибка имеет вид ступенчатого сигнала е = 1, то на выходе такого регулятора будет наблюдаться один импульс (-функция). В этом заключается его недостаток, который обусловил отсутствие практического использования такого регулятора в чистом виде.

На практике типовые П-, И- и Д-законы регулирования редко используются в чистом виде. Чаще они комбинируются и реализуются в виде ПИ-регуляторов, ПД-регуляторов, ПИД-регуляторов и др.

ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор) представляет собой два параллельно работающих регулятора: П- и И-регуляторы (см. рисунок 1.55). Данное соединение сочетает в себе достоинства обоих регуляторов: быстродействие и отсутствие статической ошибки.

ПИ-закон регулирования описывается уравнением

и передаточной функцией

W_ПИ(s) = K₁ + .

То есть регулятор имеет два независимых параметра (настройки): K₀ – коэффициент интегральной части и K₁ – коэффициент пропорциональной.

При возникновении ошибки е = 1 управляющее воздействие изменяется как показано на рисунке 1.56.

ПД-регулятор (пропорционально-дифференциальный регулятор) включает в себя П- и Д-регуляторы (см. рисунок 1.57). Данный закон регулирования описывается уравнением

и передаточной функцией:

Данный регулятор обладает самым большим быстродействием, но также и статической ошибкой. Реакция регулятора на единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке 1.58.

ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор) можно представить как соединение трех параллельно работающих регуляторов (см. рисунок 1.59). Закон ПИД-регулирования описывается уравнением:

и передаточной функцией

W_ПИД(s) = K₁ + + K₂ s.

ПИД-регулятор в отличие от других имеет три настройки: K₀, K₁ и K₂.

ПИД-регулятор используется достаточно часто, поскольку он сочетает в себе достоинства всех трех типовых регуляторов. Реакция регулятора на единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке 1.60.

4.2 Определение оптимальных настроек регуляторов

Регулятор, включенный в АСР, может иметь несколько настроек, каждая из которых может изменяться в достаточно широких пределах. При этом при определенных значениях настроек система будет управлять объектом в соответствии с технологическими требованиями, при других может привести к неустойчивому состоянию.

Поэтому стоит задача, во-первых, определить настройки, соответствующие устойчивой системе, и, во-вторых, выбрать из них оптимальные.

Оптимальными настройками регулятора называются настройки, которые соответствуют минимуму (или максимуму) какого-либо показателя качества. Требования к показателям качества устанавливаются непосредственно, исходя из технологических. Чаще всего накладываются требования на время регулирования (минимум) и степень затухания (  _зад).

Однако, изменяя настройки таким образом, чтобы увеличить степень затухания, мы можем прийти к слишком большому времени регулирования, что нецелесообразно. И наоборот, стремясь уменьшить время регулирования, мы получаем более колебательные процессы с большим значением .

Зависимость  от t_p в общем случае имеет вид, изображенный на графике (см. рисунок 1.61).

Поэтому для определения оптимальных настроек разработан ряд математических методов, среди которых можно выделить:

— метод сканирования плоскости настроек,

^ Метод сканирования заключается в разбиении области допустимых настроек выбранного регулятора с равным шагом и определении показателей качества для каждого набора настроек в узлах получившейся сетки. После просмотра всех узлов выбираются наборы настроек, соответствующие наилучшим показателям качества. Настройки могут быть уточнены далее также путем сканирования окрестности выбранного узла с более мелким шагом.

^ Формульный метод определения настроек регуляторов используется для быстрой и приближенной оценки значений настроек регуляторов.

Если объект управления представляет собой инерционное звено с запаздыванием, т.е. описывается передаточной функцией

,

^ Метод D-разбиения заключается в определении области настроек в пространстве допустимых значений настроек выбранного регулятора, соответствующих области устойчивости или заданному показателю качества. Кривая D-разбиения представляет собой границу устойчивости в пространстве настроек и поэтому строится с использованием какого-либо критерия устойчивости.

Построение кривой D-разбиения по методу Гурвица сводится к решению системы неравенств вида _i  0, определяющих условие устойчивости.

Пример. Определение области устойчивости АСР по методу Гурвица.

Структура АСР представлена на рисунке 1.30 (см. п. 2.6.4). Параметры K₂ = 1, K₄ = 2, K₅ = 0,5. Параметры K₀ и K₁ являются переменными. Требуется записать условие устойчивости относительно K₀ и K₁.

Для записи условия устойчивости в данном примере наиболее удобно воспользоваться критерием Гурвица.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид (пример определения характеристического уравнения см. в п. 2.6.4):

Таблица 1.5

Регулятор	Апериодический процесс	Процесс с перерегулированием 20 %	Процесс с минимальным временем регулирования
П
И
ПИ	,	,	,
ПИД	, ,	, ,	, ,

Матрица имеет размер 3х3, так как степень D(s) равна 3:

.

Диагональные миноры матрицы:

,

.

Согласно критерию Гурвица система устойчива, если все _i > 0. Тогда получаем систему неравенств (₁ = 4 уже удовлетворяет этому условию, поэтому далее не учитывается):

Кривая D-разбиения в данном примере представляет собой прямую

выше которой настройки соответствуют неустойчивой системе. Система с настройками, взятыми из области устойчивости, будет устойчива.

Для систем с запаздыванием при определении границы устойчивости можно воспользоваться критериями Михайлова или Найквиста.

Методика определения границы устойчивости по критерию Михайлова сводится к решению системы уравнений

Re_D() = 0,

Это условие границы устойчивости вытекает из требования прохождения годографа Михайлова (для системы, находящейся на границе устойчивости) через начало координат, т.е. точку с координатами (Re = 0, Im = 0).

Пример. Определение области устойчивости АСР по критерию Михайлова.

Рассмотрим одноконтурную АСР (см. рисунок 1.27), состоящую из ПИ-регулятора с передаточной функцией W_p(s), объекта с передаточной функцией W_оу(s) и отрицательной обратной связи. Передаточные функции имеют вид

, .

Последовательность расчета соответствует порядку применения критерия (см. п. 3.1.5).

Характеристическое выражение замкнутой системы:

Приравнивание полученных выражений к нулю дает систему из двух уравнений с тремя неизвестными: K₀, K₁ и :

Решение системы относительно K₀ и K₁:

Далее, варьируя  от 0 до бесконечности, по последним выражениям в пространстве K₀ и K₁ строится кривая D-разбиения (см. рисунок 1.63), которая ограничивает область устойчивости.

Знание области устойчивости для рассматриваемой АСР позволяет ограничить область поиска оптимальных настроек. Поиск может производится путем сканирования (в т.ч. с переменным шагом) только области устойчивости.

Часто ставится задача поиска настроек, соответствующих оптимальным (максимальным или минимальным) значениям показателей качества C_i:

,

которые могут образовывать векторный критерий С = i>.

Поиск оптимальных параметров в смысле векторного критерия достаточно сложен. Для упрощения он может быть сведен к достаточно хорошо изученной задаче минимизации некоторой скалярной функции, которая является интегральным критерием I. Функция I определяется путем сворачивания векторного критерия в скалярный одним из методов:

1) аддитивный критерий

,

где α_i – веса (весовые коэффициенты) показателей.

Если показатели имеют разные шкалы или размерности, то для облегчения выбора весов иногда эти показатели нормируют:

,

где — минимально (максимально) возможное значение показателя или диапазон его шкалы. Веса также нормированы, т.е. .

2) линейно-квадратичный критерий

.

Минимизация по такому критерию эквивалентна нахождению точки, ближайшей к началу координат (с учетом весов).

3) Минимаксный (Чебышёвский) критерий

.

Смысл – минимизация самой большой потери.

4) Модель справедливого компромисса.

.

Для случая n = 2 имеем α = α₁ = α₂ = 0,5 и решение

.

То есть относительные потери по одному критерию приводят к относительному преобразованию другого.

К критериям C_i предъявляются требования:

2) для оптимальных настроек C_i  min (если изначально C_i  max, то вместо него вводится в рассмотрение критерий , который стремится к минимуму при C_i  max).

После определения интегрального критерия производится его минимизация в области устойчивости (методом сканирования, градиентным методом и т.д.).

Поиск оптимальных настроек может вестись при заранее введенных ограничениях на какие-либо показатели качества:

или ,

где C_i.зад. – заданное значение показателя. Достигнутое при поиске значение должно быть не хуже заданного. Для решения такой задачи поиска строятся т.н. кривые D-разбиения равного значения показателя качества одним из перечисленных ниже методов в зависимости от вида показателя.

^ При ограничении на степень устойчивости   � �_зад.

Кривая D-разбиения изначально являлась границей устойчивости, поэтому, чтобы можно было применить те же методы построения кривой (т.е. применять критерии устойчивости), производят смещение осей координат Этим смещением вынуждают систему оказаться на границе устойчивости.

В отношении степени устойчивости достаточно сместить мнимую ось Im влево на величину _зад (ось Im z на рисунке 1.64) путем подстановки

в характеристическое выражение D(s). Выражение D(z + _зад) называется смещенным характеристическим выражением.

Далее производится построение кривой D- разбиения известными методами. Каждая точка кривой будет соответствовать заданной степени устойчивости.

В этом случае для вывода системы на границу устойчивости необходимо повернуть оси Re и Im на угол _зад (см. рисунок 1.65) путем подстановки

^ При ограничении на степень колебательности m  m_зад.

Поскольку показатели m и  связаны однозначно отношением m = tg , то для вывода системы на границу устойчивости также используется поворот осей на угол . Подстановка имеет вид

Далее строится кривая D-разбиения по критерию Михайлова.

^ При ограничении на степень затухания   � �_зад.

Имеется формула, связывающая  со степенью колебательности m:

,

.

Далее строится кривая D-разбиения равной степени колебательности m.

^ При ограничении на показатель колебательности М  � �_зад .

Применяется методика Ротача, согласно которой необходимо определить выражение для АЧХ замкнутой системы по заданию

Показатель колебательности М определяется как максимум функции А_з() (см. рисунок 1.66). Условие максимума записывается в виде системы:

при .

Поскольку в общем случае выражение для А_з() является функцией не только частоты , но и настроек регулятора, то система уравнений (при М = М_зад) решается относительно них. Далее, варьируя , в пространстве настроек строится кривая D разбиения, каждая точка которой соответствует М_зад.

Построение кривой D-разбиения строится аналогично как решение системы:

А_Е() = М_{Е зад}

при ,

Количество настроек, в пространстве которых строятся кривые D-разбиения, как показано в п. 4.1, для разных регуляторов различно. Так, ПИ-регулятор имеет две настройки K₀ и K₁, поэтому кривая D-разбиения для него имеет вид кривой на плоскости. Для ПИД-регулятора с настройками K₀, K₁ и K₂ кривая D-разбиения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Для ограничения области поиска настройку K₂ рассматривают как зависимую от K₀ и K₁:

,

Тогда поверхность вырождается в кривую на плоскости K₀ и K₁.

Доказано, что оптимальные настройки ПИ- и ПИД-регуляторов в смысле минимума интегрального квадратичного критерия

,

где e_п(t) = e(t) – e_уст – переходная составляющая ошибки, соответствуют максимуму K₀ на кривой равного значения.

Задача поиска оптимальных настроек регуляторов относится к задачам параметрической оптимизации. В целом при синтезе АСР различают три уровня оптимизации (начиная с нижнего):

1) параметрический – заключается в настройке параметров – для данного уровня существуют наиболее разработанные и формализованные методики;

2) структурный – подбираются оптимальные структуры регуляторов, различных корректирующих звеньев – достаточно хорошо разработаны методики для одноконтурных систем;

3) топологический – оптимизация некоторого критерия путем подбора структуры всей АСР (выбор количества и мест включения обратных связей, регуляторов, дополнительных звеньев) – существуют лишь частные методики, которые могут давать физически нереализуемые решения.

Источник