криволинейные интегралы что это

После замены параметра можно получить и несобственный интеграл с особыми точками \(a_<0>, \ldots, a_\), но форма его такая же, как и у интеграла \eqref. Поэтому криволинейный интеграл первого рода не зависит от способа параметризации кривой. \(\bullet\)

Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой \(\Gamma\), то есть
$$
\int\limits_<\Gamma>R(x, y, z)ds = \int\limits_<\Gamma^<->>R(x, y, z)ds.\nonumber
$$

\(\circ\) В самом деле, кривую \(\Gamma\) можно задать уравнением \eqref. Делая в интеграле \eqref замену переменной \(\tau = \alpha+\beta-t\), получаем
$$
\int\limits_<\Gamma>R(x, y, z)ds = \int\limits_<\alpha>^<\beta>R(x(t), y(t), z(t))|\boldsymbol(t)|dt =\\= \int\limits_<\alpha>^<\beta>R(x(\tau = \alpha+\beta-t), y(\tau = \alpha+\beta-t), z(\tau = \alpha+\beta-t))|\boldsymbol(\tau = \alpha+\beta-t)|dt =\\= \int\limits_<\Gamma^<->>R(x, y, z)ds.\ \bullet\nonumber
$$

Криволинейный интеграл аддитивен относительно кривой: если \(\Gamma = (\Gamma_<1>, \ldots, \Gamma_)\), то
$$
\int\limits_<\Gamma>R(x, y, z)ds = \sum_^ \int\limits_<\Gamma_>R(x, y, z)ds.\nonumber
$$

\(\circ\) Свойство 3 следует из определения \eqref криволинейного интеграла первого рода и свойства аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования. \(\bullet\)

Особенно простое выражение для криволинейного интеграла первого рода получается, если в качестве параметра взять переменную длину дуги кривой. Тогда уравнение кривой имеет вид \(\boldsymbol = \boldsymbol(s)\), \(0 \leq s \leq S\), и \(|\boldsymbol(s)| = 1\). Из формулы \eqref получаем, что в этом случае
$$
\int\limits_<\Gamma>R(x, y, z)ds = \int\limits_<0>^R(x(s),y(s),z(s))ds.\label
$$

Геометрическая интерпретация криволинейных интегралов первого рода.

Запишем интеграл \eqref как предел интегральной суммы. Если \(0 = s_ <0> Рис. 50.2

Аналогичным образом можно определить при помощи криволинейных интегралов координаты центра тяжести, осевые и центральные моменты инерции материальных кривых.

Найти момент инерции полуокружности \(x^<2>+y^ <2>= 1\), \(y \geq 0\), относительно оси \(x\), если линейная плотность \(R(x, y) = |x|\).

\(\vartriangle\) Параметризуем окружность, полагая \(x = \cos s\), \(y = \sin s\), \(0 \leq s \leq \pi\). По определению осевой момент инерции \(I_\) есть следующий криволинейный интеграл:
$$
I_ = \int\limits_<\Gamma>y^<2>R(x, y)ds = \int\limits_<0>^ <\pi>\sin^<2>s |\cos s| ds = 2 \int\limits_<0>^ <\pi/2>\sin^<2>s \cos s\ ds = \frac<2><3>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Криволинейные интегралы второго рода.

Пусть \(\Omega\) — область трехмерного пространства, в каждой точке которой задан вектор. Тогда говорят, что в области \(\Omega\) задано векторное поле. Если фиксирована декартова прямоугольная система координат, то векторное поле можно задать при помощи трех скалярных функций:
$$
\boldsymbol(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).\nonumber
$$
В случаях, когда функции \(P\), \(Q\), \(R\) непрерывны в области \(\Omega\), то и поле \(\boldsymbol\) называется непрерывным в области \(\Omega\).
Если функции \(P\), \(Q\), \(R\) непрерывно дифференцируемы в области \(\Omega\), то и поле \(\boldsymbol\) называется непрерывно дифференцируемым в области \(\Omega\).
Если можно так выбрать декартову систему координат, что функция \(R\equiv 0\), а функции \(P\) и \(Q\) не зависят от координаты \(z\), то векторное поле \(\boldsymbol\) называется плоским. В этом случае \(\boldsymbol = (P(x, y), Q(x, y))\).

Пусть в области \(\Omega \subset \boldsymbol^<3>\) определено непрерывное векторное поле
$$
\boldsymbol(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)),\nonumber
$$
а \(\boldsymbol = \boldsymbol(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\), есть уравнение гладкой (кусочно гладкой) кривой \(\Gamma\), лежащей в области \(\Omega\). Определенный интеграл
$$
\int\limits_<\alpha>^ <\beta>(\boldsymbol(x(t), y(t), z(t)), \boldsymbol(t)) dt = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>\left(P(x(t), y(t), z(t))x'(t) +\\+ Q(x(t), y(t), z(t))y'(t)+R(x(t), y(t), z(t))z'(t)\right)\ dt\nonumber
$$
будем называть криволинейным интегралом второго рода от векторного поля \(\boldsymbol\) по кривой \(\Gamma\) и обозначать \(\displaystyle\int\limits_ <\Gamma>(\boldsymbol, d\boldsymbol)\) или \(\displaystyle\int\limits_ <\Gamma>P\ dx+Q\ dy+R\ dz\). Таким образом, по определению
$$
\int\limits_ <\Gamma>(\boldsymbol, d\boldsymbol) = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>(\boldsymbol(x(t), y(t), z(t)), \boldsymbol(t)) dt,\label
$$
или
$$
\int\limits_ <\Gamma>P\ dx+Q\ dy+R\ dz = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>(P(x(t), y(t), z(t))x'(t) +\\+ Q(x(t), y(t), z(t))y'(t)+R(x(t), y(t), z(t))z'(t))\ dt.\label
$$

Если система декартовых координат фиксирована, то, полагая в формуле \eqref \(Q = R = 0\), получаем
$$
\int\limits_ <\Gamma>P\ dx = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>P(x(t), y(t), z(t))x'(t)\ dt.\label
$$

Определенный интеграл, стоящий в правой части формулы \eqref, называют криволинейным интегралом второго рода от функции \(P(x, y, z)\) по кривой \(\Gamma\), символ \(\displaystyle\int\limits_ <\Gamma>P\ dx\) служит обозначением для этого криволинейного интеграла. В отличие от криволинейного интеграла \(\displaystyle\int\limits_ <\Gamma>(\boldsymbol, d\boldsymbol)\) интеграл \(\displaystyle\int\limits_ <\Gamma>P\ dx\) зависит от выбора декартовой системы координат.

Рассмотрим свойства криволинейного интеграла \eqref.

Криволинейный интеграл второго рода не зависит от способа параметризации кривой.

\(\circ\) Это свойство доказывается точно так же, как и соответствующее свойство для криволинейного интеграла первого рода. \(\bullet\)

Криволинейный интеграл второго рода аддитивен относительно кривой.

\(\circ\) Это свойство доказывается так же, как и для криволинейных интегралов первого рода. \(\bullet\)

В плоском случае выражения \eqref—\eqref для криволинейных интегралов упрощаются:
$$
\int\limits_ <\Gamma>(\boldsymbol, d\boldsymbol) = \int\limits_ <\Gamma>P\ dx+Q\ dy = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>(P(x(t), y(t))x'(t)+Q(x(t), y(t))y'(t))\ dt,\label
$$
$$
\int\limits_ <\Gamma>P\ dx = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>P(x(t), y(t))x'(t)\ dt,\label
$$
$$
\int\limits_ <\Gamma>Q\ dy = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>Q(x(t), y(t))y'(t)\ dt.\label
$$

В том случае, когда плоская кривая \(\Gamma_\) задана как график непрерывно дифференцируемой на отрезке \([a, b]\) функции \(y = f(x)\) (рис. 50.3), формула \eqref приобретает особенно простой вид:
$$
\int\limits_<\Gamma_> P(x, y)\ dx = \int\limits_^ (P(x, f(x))\ dx.\label
$$

Рис. 50.3

Определенный интеграл в правой части формулы \eqref имеет смысл не только в том случае, когда функция \(f(x)\) непрерывно дифференцируема на \([a, b]\), но и в более общем случае, когда функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\). В этом последнем случае будем считать, что криволинейный интеграл \(\displaystyle\int\limits_<\Gamma_> P\ dx\) есть по определению определенный интеграл, стоящий в правой части формулы \eqref.

Вычислить криволинейный интеграл
$$
\int\limits_<\Gamma_> y\ dx-x\ dy\label
$$
по отрезку \(\Gamma_^<1>\) с концами \(A(0, 1)\) и \(B(1, 0)\) и по дуге окружности \(\Gamma_^<2>\) (рис. 50.4).

Рис. 50.4

\(\vartriangle\) Зададим отрезок \(\Gamma_^<1>\) параметрическими уравнениями \(x = t\), \(y = 1-t\), \(0 \leq t \leq 1\). Применяя формулу \eqref, получаем, что
$$
\int\limits_<\Gamma_^<1>> y\ dx-x\ dy = \int\limits_<0>^<1>|(1-t)(t)’-t(1-t)’|dt = \int\limits_<0>^<1>(1-t+t)dt = 1.\nonumber
$$

Зададим дугу окружности \(\Gamma_^<2>\) параметрическими уравнениями \(x = \sin t\), \(y = \cos t\), \(0 \leq t \leq \displaystyle\frac<\pi><2>\). Тогда
$$
\int\limits_<\Gamma_^<2>> y\ dx-x\ dy = \int\limits_<0>^<\pi/2>[\cos t(\sin t)’-\sin t(\cos t)’]dt =\\= \int\limits_<0>^<\pi/2>(\sin^<2>t+\cos^<2>t)dt = \frac<\pi> <2>\neq 1.\ \blacktriangle\nonumber
$$

По тем же кривым, что и в примере 2, вычислить \(\displaystyle\int\limits_<\Gamma_> y\ dx+x\ dy\), \(A = (0, 1)\), \(B = (1, 0)\).

\(\vartriangle\) Применяя формулу \eqref, получаем
$$
\int\limits_<\Gamma_^<1>> y\ dx+x\ dy = \int\limits_<0>^<1>[tt’+(1-t)(1-t)’]dt = \int\limits_<0>^<1>(2t-1)dt = 0.\nonumber
$$

Аналогично
$$
\int\limits_<\Gamma_^<2>> y\ dx+x\ dy = \int\limits_<0>^<\pi/2>[\sin t(\sin t)’+\cos t(\cos t)’]dt =\\= \int\limits_<0>^<\pi/2>(\sin t \cos t-\cos t \sin t)dt = 0.\ \blacktriangle\nonumber
$$

В примере 2 криволинейные интегралы по кривым с одинаковыми концами оказались неравными, а в примере 3 — равными.

Механический смысл криволинейного интеграла второго рода. Работа силы.

Пусть \(\boldsymbol(x, y, z)\) — силовое поле в области \(\Omega \in \boldsymbol^<3>\) и пусть кусочно гладкая кривая \(\Gamma_ \subset \Omega\) задана уравнением \(\boldsymbol = \boldsymbol(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\). Если интерпретировать уравнение \(\boldsymbol = \boldsymbol(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\), как закон движения материальной точки, то при таком движении сила, действующая на материальную точку, должна совершать работу. В том случае когда материальная точка движется в постоянном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельной вектору \(\boldsymbol\), \(|\boldsymbol| = 1\), работа силы равна \((\boldsymbol, \boldsymbol)\Delta s\), где \(\Delta s\) — пройденный точкой путь.

Пусть теперь поле силы непостоянно и точка движется в силовом поле по произвольной кусочно гладкой кривой \(\boldsymbol = \boldsymbol(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\).

Пусть \(T\) — произвольное разбиение отрезка \([\alpha, \beta]\) точками \(\alpha = t_ <0>Пример 4.

Источник