на сколько какая скобка
Урок 40 Бесплатно Раскрытие скобок
Ученые, открывая все новые математические законы и правила, вместе с тем, придумывали различные обозначения, символы и знаки.
Система математических знаков и символов представляет собой математический язык, который упрощает и сокращает процесс изложения информации, позволяет точнее выразить мысль и избежать неверной трактовки и ошибок.
Кроме букв алфавитов и цифр математический язык содержит огромное множество различных символов и знаков.
Одним из наиболее часто используемых символов являются скобки.
На этом уроке рассмотрим, какие основные виды скобок существуют в математике, их обозначение и применение.
Выясним, что обозначает понятие «раскрыть скобки», познакомимся с правилами раскрытия скобок и разберем примеры применения данных правил.
Скобки в математике и их предназначение
Скобки являются парными знаками (за исключением некоторых математических обозначений): обычно первая в паре скобка- открывающая, вторая- закрывающая.
Парные скобки ограничивают часть некоторого математического выражения, т.е. заключают в себе некоторую часть целой математической записи.
В математике применяют несколько видов скобок.
Чаще всего используют три вида скобок: круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки <>
Круглые скобки используют:
Круглые скобки используют часто в математических выражениях для указания последовательности и приоритета математических действий и логических операций или изменения принятого порядка этих действий.
Квадратные скобки в математике, например, используют для обозначения целой части числа, для определения приоритета операции (аналогично круглым скобкам), в качестве скобок «второго уровня» и др.
Фигурные скобки применяют, например, для обозначения множеств. Одинарная фигурная скобка обозначает объединение неравенств или уравнений в систему.
Используется двойная фигурная скобка, подобно круглым и квадратным скобкам, для разграничения приоритета действий в математических выражениях, в качестве скобок «третьего уровня» и др.
Вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками.
По правилу, в выражении, содержащем скобки, первыми выполняются действия, стоящие в скобках, далее по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
На примере рассмотрим использование скобок для указания порядка действий или изменении этого порядка.
Пример:
Дано выражение \(\mathbf<8 + 5 \cdot 2>\)
Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.
Ответ: 18
Если выражение будет содержать все те же числа и математические операции, но будет записано в виде: \(\mathbf<(8 + 5)\cdot 2>\), то в первую очередь выполняется действие в скобках, а затем умножение, получим
Ответ: 26
Мы можем заметить, что при изменении порядка действий с помощью скобок изменилось значение выражения.
Существуют выражения, которые содержат несколько пар скобок. В этом случае действия выполняют, начиная с первой скобки, и далее по порядку слева направо в следующих скобках, затем все действия согласно известным правилам, определяющим порядок выполнения математических операций в выражениях.
Пример:
Первым делом выполняются действия в скобках, затем умножение, далее сложение.
Решение будет выглядеть так:
Иногда встречаются выражения, где применяются сложные сочетания скобок (вложенные скобки).
Выполнять действия следует с внутренних скобок, затем математические операции проводят, продвигаясь ко внешним скобкам.
Пример:
Решение будет выглядеть так:
Ответ: 46
Для того, чтобы проще было различить одну пару скобок от другой, скобки обозначают разными размерами, либо дополнительно применяют квадратные и фигурные скобки, либо скобки изображают попарно разным цветом.
1. Скобки обозначены разных размеров:
2. Дополнительно применены квадратные и фигурные скобки:
3. Скобки изображены попарно разным цветом:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Скобки в качестве символа математического языка стали использовать в XVI— начале XVII века.
Первыми появились скобки [ ] в 1550 г. их ввел итальянский математик Рафаэль Бомбелли.
Круглые скобки ( ) появились в 1556 г.
Итальянский математик Никколо Тарталье впервые применил круглые скобки в написанной им в 1556 г.,книге под названием «Общие исследования чисел и мер».
Фигурные скобки появились немного позже, в 1593 году, благодаря французскому математику Франсуа Виету.
Несмотря на появление скобок различных видов, долгое время многие ученые, математики предпочитали вместо скобок подчеркивать выделяемое выражение или изображать линию над выделяемым выражением.
Широкое распространение скобки получили позже (в первой половине XVIII века), благодаря математикам Г. В. Лейбницу и Л. Эйлеру
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Раскрытие скобок
Как вам уже известно, скобки в математических выражениях часто используют для разграничения рядом стоящих знаков или для объединения и перегруппировки чисел, с которыми будут выполнятся определенные математические действия.
Но иногда при решении математических выражений удобно раскрыть скобки, нежели высчитывать их значение.
Раскрыть скобки- это значит освободить выражение от скобок, избавить выражение от лишних знаков, тем самым упростить его для вычисления.
Значение выражение со скобками и значение выражения, полученное после раскрытия скобок, равны, их записывают в виде равенства.
При преобразовании громоздких выражений, в которых содержится большое количество скобок, возникает потребность записывать промежуточные результаты вычислений. В таких случаях решение записывается в виде цепочки равенств.
Рассмотрим правила раскрытия скобок.
Разберем случаи, когда перед скобками стоит знак плюс «+».
1. Выражение вида а + (-b) можно записать, опустив скобки.
2. Выражение вида а + (b+ c) можно записать без скобок.
Согласно сочетательному свойству сложения, если к числу прибавить сумму двух чисел, то нужно сначала к этому числу прибавить первое слагаемое, а затем второе слагаемое.
а + (b + c) = а + b + c
3. Рассмотрим еще одно выражение а + (b— c), и преобразуем это выражение в выражение без скобок.
Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его знак определяется как знак плюс «+».
Известно, что вычитание можно заменить сложением, следовательно:
а + (b— c) = а + (b+ (-c))
Применив сочетательное свойство, упростим выражение а + (b+ (-c)), в результате получим:
а + (b — c) = а + b — c
Рассуждая подобным образом, попробуем преобразовать еще два выражения со скобками.
4. Преобразуем выражение вида а + (-b+ c) в выражение без скобок.
Зная, что вычитание можно заменить сложением и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:
5. Преобразуем выражение вида а + (-b— c) в выражение без скобок.
Зная, что вычитание можно заменить сложением, и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:
Заметим, что в левой части каждого из равенств перед скобкой стоит знак «+», а слагаемые, стоящие в скобке, после преобразования сохраняют свои знаки:
а + (b + c) = а + b+ c
Пример: 15 + (5 + 2) = 15 + 5 + 2 = 22
а + (b — c) = а + b— c
Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:
Если перед скобками стоит знак плюс или не стоит никакого знака, то этот знак «+» и скобки необходимо опустить, сохранив знаки слагаемых, которые стояли в скобках.
Пример:
Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+».
Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.
Ответ: 2
Рассмотрим случаи, когда перед раскрываемыми скобками стоит знак минус «-».
Вспомним, какие числа называют противоположными: два числа называют противоположными, если они отличны друг от друга только знаками, модули их равны.
Число а противоположно числу (-а).
-(-а) противоположно числу (-а).
Тогда верно утверждение, что -(-а) = а
Найдем значение выражения: -(-8 + 4)
Определим значение данного выражения двумя способами:
1. Найдем значение суммы в скобках, затем полученную сумму запишем со знаком минус «-».
В первом и во втором случае получили одинаковый результат, он равен четырем.
Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус.
Если перед скобками стоит знак минус, то этот знак «-» и скобки необходимо опустить, изменив знаки слагаемых, которые стояли в скобках на противоположные (знак минус меняется на плюс, знак плюс на минус).
Рассмотрим несколько равенств и раскроем скобки в них согласно данному правилу.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В математике существуют правила достаточно объемные и сложные для понимания.
Благодаря стихотворной форме некоторые математические законы, правила и формулы становятся проще для запоминания и усвоения.
В связи с этим математики придумали множество забавных стихотворений о правилах раскрытия скобок.
Вот некоторые из них:
1. Если перед скобкой минус,
Он ведет себя как вирус.
Скобки сразу все съедает,
Всем, кто в скобках, знак меняет.
Ну, а если плюс стоит,
Он все знаки сохранит.
2. Перед скобкой плюс стоит,
Он о том и говорит,
Что ты скобки опускай,
Да все числа выпускай.
Перед скобкой минус строгий
Загородит нам дорогу.
Чтобы скобки все убрать,
Надо знаки поменять.
3. Перед скобкой вижу плюс,
Ошибиться не боюсь.
Пример:
Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-».
Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.
Разберем правило раскрытия скобок при умножении числа на сумму (суммы на число).
Правило раскрытия скобок для данного случая звучит так:
Для раскрытия скобок в выражениях, содержащих умножение суммы на число или числа на сумму, используется распределительное свойство умножения относительно сложения.
Если число с положительное, то знаки слагаемых a и b не изменяются.
Если число с отрицательное, то знаки слагаемых a и b меняются на противоположные.
Пример:
Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.
Ответ: 3,8
Пример:
Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Равенство и неравенство. Знаки: больше, меньше, равно
Математические знаки
Скорее всего, к первому классу ребенок уже отличает на слух и визуально, что горстка из десяти ягод больше трех штук. Чтобы внедрить в жизнь новые обозначения, посмотрим на знаки «больше», «меньше», «равно» в картинках.
Символ больше (>) — это когда острый нос галочки смотрит направо. Его нужно использовать, когда первое число больше второго:
Символ меньше (
Символ равенства (=) — это когда два коротких отрезка записаны горизонтально и параллельны друг другу. Используем его при сравнении двух одинаковых чисел:
Чтобы ребенку было легче запомнить схожие между собой знаки, можно применить игровой метод. Для этого нужно сравнить числа и определить в каком порядке они стоят. Далее ставим одну точку у наименьшего числа и две — рядом с наибольшим. Соединяем точки и получаем нужный знак. Вот так просто:
Равенство и неравенство
Что такое равенство в математике — это когда одно подобно по количеству другому и между ними можно поставить знак =.
Для примера посмотрим на картинку с изображением геометрических фигур. Справа и слева количество одинаковое, значит можно поставить символ «равно».
Наглядный пример неравенства изображен на картинке ниже. Слева видим три фигуры, а справа — четыре. При этом мы знаем, что три не равно четырем или еще так: три меньше четырех.
Урок в школе зачастую проходит перед учебником, тетрадью и доской. Дома же можно использовать компьютер и некоторые задания выполнять в онлайн-формате. Как найти знаки на клавиатуре? Ответ на картинке:
Типы неравенств
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)