найдите какую либо первообразную функции
Найдите какую либо первообразную функции
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство
Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) На рисунке точки, в которых 
выделены красным и синим цветом. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек (синие точки). Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение имеет 10 решений.
На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции 
Поэтому
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках 
и 
Приведем другое решение.
Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:
что позволяет сразу же найти
Приведем ещё одно решение.
Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:
Приведем ещё одно решение.
Получим явное выражение для 
Поскольку
Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком 
оси абсцисс. Имеем:
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Найдем формулу, задающую функцию 
график которой изображён на рисунке.
Следовательно, график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:
Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.
Ошибки, конечно, нет, но при таком подходе (сдвиг функции) гораздо легче найти уравнение параболы, проходящей через точки (-1;0), (0;3) и (1;0), а потом вычислить интеграл.
Во-первых, до того как была вычислена производная, мы не знали, является ли изображенный на рисунке график параболой. Во-вторых, на наш взгляд, выделить полный квадрат проще, чем решать систему уравнений с тремя переменными.
Но ведь ясно, что если первообразная — многочлен третьей степени, то производная — многочлен второй степени.
Согласны, если это объяснено, то всё в порядке.
Ошибки, конечно, нет. Но надо ли так подробно решать? Есть первообразная, есть границы интегрирования. S=F(-8)-F(-10)=4
В конце решения есть фраза «Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи» со ссылкой. Там есть разные варианты решения
На рисунке изображен график некоторой функции 
Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 
Определенный интеграл от функции по отрезку 
дает значение площади подграфика функции на отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого 
и прямоугольник, площадь которого 
Сумма этих площадей дает искомый интеграл 
Найдите какую либо первообразную функции
Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.
Действительно, так как F’=f и G’=g, по правилу вычисления производной суммы имеем:
Если F есть первообразная для f, a k — постоянная, то функция kF — первообразная для kf.
Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому
Если F (х) есть первообразная для f (x), a k и b — постоянные, причем k≠0, то 
есть первообразная для f (kx+b).
Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:
Пример 1. Для функции f ( x ) = 4 – х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).
Решение: 1) Найдем все первообразные функции f(x): 
Следовательно, 
.
Ответ:
а) Докажите, что функция 
является первообразной для функции 
, если 
, 
б) Докажите, что функция 
является первообразной для функции 
, если 
, 
Задание № 2
а) Найдите первообразную для функции: 1)
; 2) 
.
б) Найдите первообразную для функции: 1)
; 2) 
Задание № 3
а) Для функции 
найдите ту первообразную, график которой проходит через точку 
.
б) Для функции 
найдите ту первообразную, график которой проходит через точку 
.
Задание № 4
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю
Найдите какую либо первообразную функции
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство
Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) На рисунке точки, в которых выделены красным и синим цветом. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек (синие точки). Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение имеет 10 решений.
На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции Поэтому
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках и
Приведем другое решение.
Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:
что позволяет сразу же найти
Приведем ещё одно решение.
Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:
Приведем ещё одно решение.
Получим явное выражение для Поскольку
Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции получен сдвигом графика функции на единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Найдем формулу, задающую функцию график которой изображён на рисунке.
Следовательно, график функции получен сдвигом графика функции на единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:
Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.
Ошибки, конечно, нет, но при таком подходе (сдвиг функции) гораздо легче найти уравнение параболы, проходящей через точки (-1;0), (0;3) и (1;0), а потом вычислить интеграл.
Во-первых, до того как была вычислена производная, мы не знали, является ли изображенный на рисунке график параболой. Во-вторых, на наш взгляд, выделить полный квадрат проще, чем решать систему уравнений с тремя переменными.
Но ведь ясно, что если первообразная — многочлен третьей степени, то производная — многочлен второй степени.
Согласны, если это объяснено, то всё в порядке.
Ошибки, конечно, нет. Но надо ли так подробно решать? Есть первообразная, есть границы интегрирования. S=F(-8)-F(-10)=4
В конце решения есть фраза «Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи» со ссылкой. Там есть разные варианты решения
На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл
Определенный интеграл от функции по отрезку дает значение площади подграфика функции на отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого и прямоугольник, площадь которого Сумма этих площадей дает искомый интеграл
Первообразная функции и общий вид
Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.
На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)
Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.
Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.
Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.
Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.
Что такое первообразная и как она считается
Допустим, нам необходимо посчитать следующую производную:
Мы знаем такую формулу:
Считается эта производная элементарно:
Но мы можем записать и так, согласно определению производной:
А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:
Аналогично запишем и такое выражение:
Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:
Теперь мы можем сформулировать четкое определение.
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.
Вопросы о первообразной функции
Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:
На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.
Решение задач со степенными функциями
Давайте попробуем посчитать такое выражение:
Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:
Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.
Итак, что нам известно на данный момент:
Идем далее. Что нам еще может потребоваться? Конечно же, правило вычисления первообразных от суммы и от разности. Запишем так:
\[f\left( x \right)\to F\left( x \right)\]
\[g\left( x \right)\to G\left( x \right)\]
\[c\cdot f\to c\cdot F\left( c=const \right)\]
А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.
Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.
Решение реальных задач
Задача № 1
Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:
Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:
Задача № 2
Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:
Мы разбили дробь на сумму двух дробей.
\[F\left( x \right)=1\cdot x+\ln x\]
\[F\left( x \right)=x+\ln x\]
Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно
Решение выражений со степенью с рациональным показателем
Пример № 1
Посчитаем каждый корень отдельно:
Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:
Пример № 2
Следовательно, мы получим:
Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:
Пример № 3
Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Вспомним формулу квадрата разности:
Давайте перепишем нашу функцию:
\[f\left( x \right)=\left( \sqrt[3]
Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:
Собираем все в общую конструкцию:
Задача № 2
В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:
С учетом этого факта можно записать так:
Давайте немного преобразуем нашу функцию:
Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:
Запишем полученную конструкцию:
Задача № 3
Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:
Давайте напишем итоговое решение:
А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:
Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.
Еще раз переписываем наши конструкции:
Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:
И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.
Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой
Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?
Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.
Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.
Пример № 1
Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:
Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:
Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:
Пример № 2
В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:
Исходная конструкция запишется следующим образом:
Осталось отобразить итоговое выражение:
Решение тригонометрических задач
Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.
Задача № 1
Вспомним следующую формулу:
Исходя из этого, мы можем записать:
Перепишем выражение с учетом этого факта:
Задача № 2
Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.
Вспомним такую формулу:
Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:
Вот наша конструкция
Итого запишем окончательную конструкцию:
Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.
Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!