в определенном интеграле введена новая переменная тогда интеграл примет вид
Метод замены переменной в неопределённом интеграле
Суть метода замены переменной
Во многих случаях подынтегральное выражение не позволяет сразу же найти интеграл по таблице. Тогда введение новой переменной интегрирования помогает свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.
Прежде чем перейти к подробным решениям примеров, следует привести теорему, в которой обобщаются перечисленные выше действия.
Теорема. Пусть функция 
определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула
(1)
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.
Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.
Применяем замену переменной вместе
Надо полагать, вы уже держите перед собой домашние задания и готовы применять к ним приёмы по аналогии с теми, которые мы ниже рассмотрим. При этом не обойтись без преобразований выражений. Для этого потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Замечание. При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x.
Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.
Пример 2. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Решение. Положим 
. Отсюда 
.
По формуле (1)
.
Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Если трудно уследить, куда в процессе решения примера 2 делись 
и 
, это признак того, что нужно повторить действия со степенями из элементарной (школьной) математики.
Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Решение. Положим 
, откуда 
и 
.
Тогда 
, в свою очередь 
.
Заменяем переменную и получаем:
,
где степени при t складываются. Продолжаем преобразования и получаем:
Приводим дроби к общему знаменателю и возвращаемся к переменной x. Решаем и получаем ответ:
Применить замену переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Снова применяем замену переменной вместе
Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Решение. Положим 
, откуда 
, 
, 
.
Тогда
(не забываем о правиле дифференцирования сложной функции).
Заменяем переменную и получаем:
.
Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:
.
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Решение. Положим 
, откуда 
, 
.
Заменяем переменную и получаем:
Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Кому лишь смутно понятно или совсем не понятно, как преобразуются выражения в примере 5, пожалуйста, повторите из курса элементарной (школьной) математики действия с корнями, степенями и дробями!
И если вы ещё не открыли в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями, то сделайте это сейчас!
Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Решение. Положим 
, тогда 
.
Заменяем переменную и получаем:
Решение с переменной t получено с использованием формулы 21 из таблицы интегралов.
Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:
.
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.
Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.
Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.
Формула Ньютона-Лейбница
Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.
Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.
Произведем вычисление F ( a ) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что
Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.
Ответ: ∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида
Производим переход к вычислению второго интеграла.
Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле
Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что
Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла
Решение примера можно выполнить другим образом.
Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:
Ответ: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Определенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление будет кратким. Всё. Потому что снежная метель за окном.
Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1) Уметь находить неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл.
Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений. Кроме того, есть pdf-курсы для сверхбыстрой подготовки – если у вас в запасе буквально день, пол дня.
В общем виде определенный интеграл записывается так: 
Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.
Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой 
.
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой 
.
Отрезок 
называется отрезком интегрирования.
Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое faq по определенному интегралу.
Что такое определенный интеграл? Считаю немного преждевременным рассказать про разбиения отрезка и предел интегральных сумм, поэтому пока я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.
Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.
Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:
Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию 
(неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа 
в определенном интеграле не добавляется. Обозначение 
является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись 
? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: 
.
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: 
.
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность 
, то есть, находим число.
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.
Например, интеграла 
не существует, поскольку отрезок интегрирования 
не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: 
. Здесь на отрезке интегрирования 
тангенс терпит бесконечные разрывы в точках 
, 
, и поэтому такого определённого интеграла тоже не существует. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.
Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.
Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так:
. Нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Что за фигня?! Изначальная невнимательность.
Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен интеграл вроде или 
, то нужно дать ответ, что данного определённого интеграла не существует и обосновать – почему.
! Примечание: в последнем случае слово «определённого» опускать нельзя, т.к. интеграл с точечными разрывами разбивается на несколько, в данном случае на 3 несобственных интеграла, и формулировка «данного интеграла не существует» становится некорректной.
Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция.
Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.
– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.
В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:
Например, в определенном интеграле перед интегрированием 
целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:
– в таком виде интегрировать значительно удобнее.
Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:
– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.
В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.
Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям: 
Вычислить определенный интеграл 
Решение: 
(1) Выносим константу за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы 
. Появившуюся константу 
целесообразно отделить от 
и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница 
. Сначала подставляем в 
верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Вычислить определенный интеграл 
Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.
Немного усложняем задачу:
Вычислить определенный интеграл 
Решение: 
(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.
(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница: 
СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: 
– первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут 
(особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.
Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так:
Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов: 
(в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, я сначала подставил сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.
Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе.
Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак.
Однако несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная 
находится в одной скобке.
Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?
Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию 
подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем: 
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить.
Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла.
Вычислить определенный интеграл 
Это пример для самостоятельно решения. Попробуйте решить его коротким и подробным способом.
Замена переменной в определенном интеграле
Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле.
В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.
В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте.
Вычислить определенный интеграл 
Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: 
. Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем 
, а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.
Сначала готовим наш интеграл к замене:
Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: 
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: 
.
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть 
подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал 
:
По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.
Находим новые пределы интегрирования.
Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену 
и старые пределы интегрирования 
, 
.
Сначала подставляем в выражение замены 
нижний предел интегрирования, то есть, ноль:
Потом подставляем в выражение замены 
верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх: 
Готово. И всего-то лишь…
(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.
(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу 
лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования 
– это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница 
.
Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов.
Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения. Какие замены проводить – постарайтесь догадаться самостоятельно.
Вычислить определенный интеграл 
Вычислить определенный интеграл 
Это примеры для самостоятельного решения. Решения и ответы в конце урока.
И в заключение параграфа пара важных моментов, разбор которых появился благодаря посетителям сайта. Первый из них касается правомерности замены. В некоторых случаях её проводить нельзя! Так, Пример 6, казалось бы, разрешим с помощью универсальной тригонометрической подстановки 
, однако верхний предел интегрирования («пи») не входит в область определения этого тангенса и поэтому данная подстановка нелегальна! Таким образом, функция-«замена» 
должна быть непрерывна во всех точках отрезка интегрирования.
В другом электронном письме поступил следующий вопрос: «А нужно ли менять пределы интегрирования, когда мы подводим функцию под знак дифференциала?». Сначала я хотел «отмахнуться от ерунды» и автоматически ответить «конечно, нет», но затем задумался о причине появления такого вопроса и вдруг обнаружил, что информации-то не хватает. А ведь она, пусть и очевидна, но очень важнА:
Если мы подводим функцию под знак дифференциала, то менять пределы интегрирования не нужно! Почему? Потому что в этом случае нет фактического перехода к новой переменной. Например: 
И здесь подведение гораздо удобнее академичной замены 
с последующей «росписью» новых пределов интегрирования. Таким образом, если определённый интеграл не очень сложен, то всегда старайтесь подвести функцию под знак дифференциала! Это быстрее, это компактнее, и это обыденно – в чём вы убедитесь ещё десятки раз!
Большое спасибо за ваши письма!
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном интеграле в полной мере справедливы и для определенного интеграла.
Плюсом идёт только одна деталь, в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования:
Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения 
и, после того, как мы возьмем интеграл 
.
Тип интеграла для примера я опять подобрал такой, который еще нигде не встречался на сайте. Пример не самый простой, но очень и очень познавательный.
Вычислить определенный интеграл 
Решаем. 
Интегрируем по частям: 
У кого возникли трудности с интегралом 
, загляните на урок Интегралы от тригонометрических функций, там он подробно разобран.
(1) Записываем решение в соответствии с формулой интегрирования по частям.
(2) Для произведения 
применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойства линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!
(3) Берем два оставшихся интеграла. Интеграл 
также разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций
(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.
Далее ответ доводится «до ума». Повторюсь, будьте ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫ при подстановках и заключительных вычислениях. Здесь допускают ошибки чаще всего.
Если честно, я недолюбливаю формулу 
и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, с моей точки зрения он более рационален.
Вычислить определенный интеграл 
На первом этапе я нахожу неопределенный интеграл: 
Интегрируем по частям:
Первообразная функция найдена. Константу 
в данном случае добавлять не имеет смысла.
В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования
На втором этапе я провожу проверку (обычно на черновике).
Тоже логично. Если я неправильно нашел первообразную функцию, то неправильно решу и определенный интеграл. Это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная функция найдена верно.
Третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница: 
И здесь есть существенная выгода! В «моём» способе решения гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях – формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз. Если чайник решит подобный интеграл по формуле 
(первым способом), то стопудово где-нибудь допустит ошибку.
Рассмотренный алгоритм решения можно применить для любого определенного интеграла.
Уважаемый студент, распечатай и сохрани:
Что делать, если дан определенный интеграл, который кажется сложным или не сразу понятно, как его решать?
1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если на первом же этапе случился облом, дальше рыпаться с Ньютоном и Лейбницем бессмысленно. Путь только один – повышать свой уровень знаний и навыков в решении неопределенных интегралов.
2) Проверяем найденную первообразную функцию дифференцированием. Если она найдена неверно, третий шаг будет напрасной тратой времени.
3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО – тут самое слабое звено задания.
И, на закуску, интеграл для самостоятельного решения.
Вычислить определенный интеграл 
Решение и ответ где-то рядом.
Следующий рекомендуемый урок по теме – Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла? Там речь пойдет о геометрическом смысле определенного интеграла. Дополнительные материалы по определенному интегралу также можно найти в статье Эффективные методы вычисления определенных интегралов. Данный урок содержит ряд очень важных технических приёмов и позволит существенно повысить навыки вычисления определенного интеграла.
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение: 
Пример 6: Решение:
Проведем замену переменной: 
,
Новые переделы интегрирования: 
Примечания: В рассмотренном интеграле – как раз тот случай, когда уместно применить свойство определенного интеграла 
.
Если не совсем понятно, почему из арктангенса можно вынести минус, рекомендую обратиться к методическому материалу Графики и свойства элементарных функций.
Пример 7: Решение: 
Замена: 
Новые пределы интегрирования: 
Пример 9: Решение: 
Интегрируем по частям: 
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам