для каких двух событий применяется понятие условной вероятности

Учебник по теории вероятностей

1.5. Условная вероятность

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

$$P(AB)=P(B)\cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).$$

В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:

Примеры решений на условную вероятность

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .

Этот же результат можно получить по формуле
.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.

Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .

Искомая условная вероятность

Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

;

;

отсюда искомая вероятность

Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Получаем
.

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
.

Источник

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Если вероятность события В находится при условии, что событие А произошло, то получаемая вероятность события В называется условной вероятностью события В. Для обозначения такой условной вероятности используются символы: р_А(В) или р(В / А).

Замечание 2. В отличие от условной вероятности, рассматривается и “безусловная” вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события В отсутствуют.

Пример. В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён: а) красный шар; б) синий шар.

Пусть событие А – извлечение красного шара в первый раз, а событие В – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что р(А) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну, р(В)=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара р(В) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие А) или синий (событие ). Тогда в первом случае р_А(В) = 2 / 4, а во втором ( В ) = 3 / 4.

Теорема умножения вероятностей событий, одно из которых совершается при условии совершения другого

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

Доказательство. Действительно, пусть n – общее число равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания. И пусть n₁ – число исходов, благоприятствующих событию А, которое наступает вначале, а m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А наступило. Таким образом, m – это число исходов, благоприятствующих событию В. Тогда получим:

р(А ∙ В) = = ∙ = ∙ = р(А) ∙ р_А(В).

Если события А и В поменять ролями в отношении первичного и вторичного совершения, то получим:

Таким образом, в общем случае будем иметь:

Теорема умножения (формула (1.7)) для произвольного числа событий обобщается и имеет вид:

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример. В команде из 10 спортсменов 4 мастера спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта?

Решение. Приведём задачу к “урновой” модели, т.е. будем считать, что в урне, содержащей 10 шаров, имеется 4 красных шара и 6 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара ( выборка S = 3 ). Пусть событие А состоит в извлечении 3-х шаров. Задачу можно решить двумя способами: по классической схеме и по формуле (1.9).

Первый способ, основанный на формуле комбинаторики:

Второй способ (по формуле (1.9)). Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть А₁ – первый извлечённый шар красный, А₂ – второй извлечённый шар красный, А₃ – третий извлечённый шар красный. Пусть также событие А означает, что все 3 извлечённых шара – красные. Тогда: А = А₁ ∙ (А₂ / А₁) ∙ А₃ / (А₁ ∙ А₂), т.е.

Пример. Пусть из совокупности карточек а, а, р, б, о, т последовательно извлекаются карточки по одной. Какова вероятность получения слова “работа” при последовательном складывании их в одну строку слева направо?

Пусть В – событие, при котором получается заявленное слово. Тогда по формуле (1.9) получим:

р( В ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид, когда произведение образуется независимыми друг от друга событиями.

Определение. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. Два события называются независимыми ( зависимыми ), если появление одного из них не изменяет (изменяет) вероятность появления другого. Таким образом, для независимых событий р(В/A) = р(В) или = р(В), а для зависимых событий р(В/A) р(В) или р(В).

Утверждение. Если событие В не зависит от А, то и событие А не зависит от В.

Действительно, если по условию событие В не зависит от А, то р(В/A) = р(В). Запишем теорему умножения вероятностей (1.8) в двух формах:

Заменяя р(В/A) на р(В), получим р(А) ∙ р(В) = р(В) ∙ р(А/B), откуда, предполагая р(В) 0, получим р(А/B) = р(А), т.е. событие А не зависит от В, ч. и т. д.

Таким образом, независимость и зависимость событий всегда взаимны. Поэтому справедливо следующее определение независимости (зависимости) событий.

Источник

Условная вероятность

Условная вероятность — это вероятность наступления некоторого события, при условии, что другое событие уже произошло.

Условная вероятность обозначается через P(A|B), которое читается как «вероятность А при условии В». Она вычисляется по формуле:

A ∩ B — это пересечение событий А и В на диаграмме Венна. Таким образом, P(A∩B) — это вероятность того, что оба события — А и В — произойдут.
Следовательно:

Вероятность события А при условии В равно вероятности событий А и В, деленной на вероятность В.

Пример:

Предположим, из мешка достают три шарика: красный, зеленый и синий.

Какова условная вероятность того, что после красного шарика из мешка достанут синий?

Если событие А — это событие, при котором первым достают красный шарик, а событие В — это событие, при котором достают синий шарик, то нам нужно найти P(A∩B):

Для визуализации воспользуемся древовидной диаграммой: у каждой ветки есть условная вероятность

Причинно-следственная связь

Причинно-следственная связь описывается в четвертой части. Условная вероятность не указывает на то, что между данными двумя события обязательно существует причинно-следственная связь, а также на то, что два события произойдут одновременно.

Независимые события

Независимыми называются такие события, исход которых не влияет на вероятность исхода другого события. Следовательно:

Взаимоисключающие события

Взаимоисключающими называются такие события, которые не могут произойти одновременно, т.е. если одно событие уже произошло, то другое произойти не может. Следовательно:

Теорема Байеса

После условной вероятности, давайте рассмотрим теорему Байеса. Она гласит:

Вероятность события А при условии В равна вероятности события В при условии А, умноженной на вероятность события А и деленной на вероятность В.

Другими словами, она позволяет удобно найти зависимость P(A|B) и P(B|A) друг от друга.

Теорема Байеса является фундаментом целого направления в статистике («Байесовская статистика»). Она применяется во многих дисциплинах, например, ярким примером служит медицинская и фармакологическая сферы, а также финансовая (для прогноза вероятности успеха каких-либо вложений).

Количество почти так же важно, как и качество, при применении этих условных переменных к теореме Байеса. Например, необходимо просчитать риск кредитования заемщика. Если учесть другие вероятности, такие как возраст заемщика, его кредитоспособность и готовность к принятию риска, то возможность получения кредита для разных лиц может отличаться.

Теорема допускает следующее:

Чем больше переменных учитывается и чем больше в нас уверенности в переменных, тем точнее будет вывод при использовании условных вероятностей.

Пример:

Представим, что мы врачи некоторой больницы и мы знаем следующее: — вероятность того, что у пациента заболевание печени, равна 20%; — вероятность того, что пациент болен алкоголизмом — 5%; вероятность того, что среди тех пациентов, у которых диагностировали заболевание печени, есть больные алкоголизмом — 10%. Теперь найдем:

Какова условная вероятность того, что пациент с заболеванием печени — болен алкоголизмом?

Взаимоисключающие события

Частным случаем теоремы Байеса является то, когда событие А — это двоичное значение. В таком случае «А-» обозначает то, что событие А произошло, и «А+» — не произошло (т.е. события А- и А+ являются взаимоисключающими)
Формула:

Точность

Истинно положительный случай — это результат, при котором модель правильно прогнозирует положительный класс. Так же истинно отрицательный случай — это результат, при котором модель правильно прогнозирует отрицательный класс.

Ложноположительный случай — это результат, при котором модель неправильно прогнозирует положительный класс. Так же ложноотрицательный случай — это результат, при котором модель неправильно прогнозирует отрицательный класс.

Чувствительность показывает вероятность того, что тест правильно спрогнозирует положительный класс → истинно положительные случаи.

Специфичность показывает вероятность того, что тест правильно спрогнозирует отрицательный класс → истинно отрицательные случаи.

Пример:

Предположим, что определенное заболевание имеет коэффициент заболевания 2%. Если ложноотрицательный коэффициент равен 10%, а ложноположительный — 1%, то:

Какова условная вероятность того, что человек с положительным результатом теста на самом деле болен?

Если событие А — это событие, при котором человек болен, а событие В — это событие, при котором результаты теста положительны, то необходимо вычислить P(A|B), т.е. несмотря на положительный результат теста (В), человек окажется болен (А).

Для визуализации точности теста можно использовать матрицу:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №34. Условная вероятность. Независимость событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Совместные и несовместные события

— Схема решения задач на вычисление условной вероятности события;

— Задачи на определение независимости событий.

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается P_A(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 186-194.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иногда нам требуется выяснить вероятность совместного появления зависимых событий. Самый простой пример – найти вероятность получить выигрышную комбинацию в азартной карточной игре, где вероятность выпадения каждой новой карты зависит от того, какие карты уже лежат на столе.

Рассмотрим примерную задачу:

Из колоды карт извлекают четыре карты. Первые две оказались семёрками. Какова вероятность, что одна или обе оставшиеся карты окажутся семёрками? (колода содержит 36 карт)

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример совместных событий: выпадение чётного числа и выпадение числа, кратного трём, при броске игрального кубика. Когда выпадает шесть, реализуются сразу оба события.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример несовместных событий: выпадение чётного числа и выпадение нечётного числа при броске игрального кубика.

Теорема о сумме двух событий:

Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

В лотерее выпущено 10 000 билетов, из них: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 50 рублей и 1000 выигрышей по 10 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 50 рублей?

Воспользуемся теоремой: Р(М)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,061.

Дана вероятность исходного события. Чему равна вероятность противоположного события?

Вероятность исходного события А обозначим Р(А). Вероятность противоположного события Р(Ᾱ).

События А и Ᾱ образуют полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Тогда вероятность противоположного события находится по формуле:

Например, монета брошена два раза.

Вероятность появления «Орла» во втором испытании не зависит от результата первого испытания.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность выпадения двух орлов.

Введем обозначение событий:

A₁– на 1-й монете выпадет орёл;

A₂– на 2-й монете выпадет орёл.

Событие “выпадение двух орлов” заключается в том, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл, следовательно, это произведение событий A₁A₂. Вероятность выпадения орла на одной монете не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события A₁ и A₂ независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

Отыскать вероятность совместного появления зависимых событий помогает теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(AB) = P(A)·P_A(B).

Связь теории вероятностей с теорией множеств.

В математике принято устанавливать связи между различными разделами. Связь между теорией вероятностей и теорией множеств устанавливается следующим образом: события отождествляются с множествами. В таком случае понятию исход будет эквивалентно понятие элемент множества. При таком подходе выберите из списка, какому понятию из теории множеств соответствует данное понятие из теории вероятностей:

— Невозможное событие (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Сумма событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Произведение событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара без возврата. Найдите вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

А – первый шар окажется черным

.

2. Колю отпускают гулять при условии сделанных уроков с вероятностью 0,8. Папа выдает ему деньги на мороженое с вероятностью 0,6. С какой вероятностью Коля пойдет гулять без мороженого?

A – папа выдал Коле денег на мороженое

B – Колю отпустили гулять

Вероятность того, что Коля пойдёт гулять, есть в условии задачи P(B) = 0,8. Вероятность, что папа не выдаст ему деньги на мороженое, равна P(Ᾱ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4. Вероятность одновременного осуществления двух независимых событий – произведение их вероятностей P(ᾹB) = P(Ᾱ)·P(B) = 0,8·0,4 = 0,32.

Источник