для каких матриц существует понятие ранга матрицы ответ

14.07.202215.07.2022 admin 0 Comments

Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.

Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.

Навигация по странице.

Определение ранга матрицы и необходимые дополнительные понятия.

Прежде чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя.

Разберемся с определением минора матрицы на примере.

Рассмотрим матрицу .

Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка
и .

Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим минором второго порядка матрицы А является .

Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка
и .

Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка
и .

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как .

Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка ?

Число миноров порядка k может быть вычислено как , где и — число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

Разберем на примере.

Найдите все миноры второго порядка матрицы .

Так как порядок исходной матрицы равен 3 на 3, то всего миноров второго порядка будет .

Для первой и третьей строк при аналогичном выборе столбцов имеем

Осталось ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы:

Итак, все девять миноров второго порядка матрицы А найдены.

Сейчас можно переходить к определению ранга матрицы.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.

Нахождение ранга матрицы по определению.

Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка .

Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.

Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).

Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.

Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

Найдите ранг матрицы .

Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

Минор второго порядка отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их штук.

Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.

Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров.

Разберемся с понятием окаймляющего минора.

Для примера рассмотрим матрицу и возьмем минор второго порядка . Запишем все окаймляющие миноры:

Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).

Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода.

Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.

Найдите ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Так как элемент a_{1 1} матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля:

Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля . Переберем его окаймляющие миноры (их штук):

Все миноры, окаймляющие минор второго порядка , равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Найдите ранг матрицы с помощью окаймляющих миноров.

Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

Справедливость этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.

Опишем алгоритм метода.

Пусть нам требуется найти ранг ненулевой матрицы А порядка ( p может быть равно n ).

Будем считать, что элемент a₁₁ отличен от нуля. В противном случае мы можем перестановкой строк и (или) столбцов преобразовать матрицу так, чтобы «новый» элемент a₁₁ стал ненулевым.

Итак, . Умножим все элементы первой строки матрицы А на . При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (1) :

К элементам второй строки полученной матрицы А (1) прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (2) :

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А (2)

Если , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А (2) так, чтобы «новый» элемент стал ненулевым.

Итак, . Умножаем каждый элемент второй строки матрицы А (2) на . Получаем эквивалентную матрицу А (3) :

К элементам третьей строки полученной матрицы А (3) прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на . К элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (4) :

Если же в строках с третьей по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А (4) :

И так действуем дальше, пока не придем к одному из рассмотренных выше шаблонов, что позволит определить ранг исходной матрицы.

Разберем решения нескольких примеров.

Найдите ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Так как элемент a_{1 1} отличен от нуля, то умножим элементы первой строки матрицы А на :

Элемент отличен от нуля, поэтому мы можем умножить элементы второй строки матрицы А (2) на :

К элементам третьей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на ; к элементам четвертой строки – элементы второй строки, умноженные на ; к элементам пятой строки – элементы второй строки, умноженные на :

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: при проведении элементарных преобразований не допускаются приближенные вычисления!

Рассмотрим еще один пример.

Методом элементарных преобразований найдите ранг матрицы .

В полученной матрице элемент равен единице, поэтому не нужно производить умножение элементов первой строки на . Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми:

Так первый столбец преобразован к нужному виду.

Элемент в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на :

Второй столбец полученной матрицы имеет нужный вид, так как элемент уже равен нулю.

Так как , а , то поменяем местами третий и четвертый столбцы:

Умножим третью строку полученной матрицы на :

ранг исходной матрицы равен трем.

Мы разобрали понятие ранга матрицы и рассмотрели три способа его нахождения:

Целесообразно всегда использовать метод элементарных преобразований при нахождении ранга матрицы, так как он приводит к результату при меньшем объеме вычислений, по сравнению с методом окаймляющих миноров, и тем более в сравнении с методом перебора всех миноров матрицы.

Источник

Ранг матрицы: определение, методы нахождения

В данной публикации мы рассмотрим определение ранга матрицы, а также методы, с помощью которых его можно найти. Также разберем примеры для демонстрации применения теории на практике.

Определение ранга матрицы

Ранг матрицы – ранг ее системы строк или столбцов. В любой матрице есть ее строчный и столбцовый ранги, которые равны между собой.

Ранг системы строк – это максимальное количество линейно-независимых строк. Аналогичным образом определяется ранг системы столбцов.

Примечания:

Нахождение ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Ранг матрицы равняется максимальному порядку ненулевого минора.

Пример
Чтобы было понятнее, давайте разберем практический пример и найдем ранг матрицы A ниже, пользуясь методом окаймляющих миноров.

Решение
Мы имеем дело с матрицей 4×4, следовательно, ее ранг не может быть выше 4. Также в матрице присутствуют ненулевые элементы, значит, ее ранг не меньше единицы. Итак, приступим:

1. Начинаем проверять миноры второго порядка. Для начала берем две строки первого и второго столбцов.

Минор равняется нулю.

Следовательно переходим к следующему минору (первый столбец остается, а вместо второго берем третий).

Минор равен 54≠0, следовательно ранг матрицы не меньше двух.

Примечание: Если бы и этот минор оказался равным нулю, мы бы дальше проверили следующие комбинации:

Если требуется, перебор можно аналогичным образом продолжить со строками:

Если бы все миноры второго порядка оказались равными нулю, то ранг матрицы равнялся бы одному.

2. Нам удалось почти сразу найти минор, который нам подходит. Поэтому переходим к минорам третьего порядка.

К найденному минору второго порядка, который дал отличный от нуля результат, добавляем одну строку и один из столбцов, выделенных зеленым цветом (начнем со второго).

Минор оказался равным нулю.

Следовательно меняем второй столбец на четвертый. И со второй попытки нам удается найти минор, не равный нулю, значит ранг матрицы не может быть меньше 3.

Примечание: если бы результат снова оказался равным нулю, вместо второй строки мы бы дальше взяли четвертую и продолжили бы поиски “хорошего” минора.

3. Теперь остается определить миноры четвертого порядка с учетом найденного ранее. В данном случае он один, который совпадает с определителем матрицы.

Минор равняется 144≠0. А это значит, что ранг матрицы A равняется 4.

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Ранг ступенчатой матрицы равняется количеству её ненулевых строк. То есть все, что нам нужно сделать – это привести матрицу к соответствующему виду, например, с помощью элементарных преобразований, которые, как мы уже упомянули выше, не меняют ее ранг.

Пример
Найдем ранг матрицы B ниже. Мы не берем слишком сложный пример, т.к. наша основная цель – это просто продемонстрировать применение метода на практике.

Решение
1. Сначала вычтем из второй строки удвоенную первую.

2. Теперь отнимем из третьей строки первую, умноженную на четыре.

Таким образом, мы получили ступенчатую матрицу, в которой количество ненулевых строк равняется двум, следовательно ее ранг, также, равен 2.

Источник

Ранг матрицы – как найти ранг матрицы (теория и примеры)

Ранг матрицы – наивысший порядок минора матрицы, который не равен нулю. В статье рассмотрим разберём несколько определений и на примере покажем, как правильно искать ранг матрицы.

Что такое ранг матрицы: определения и теорема

Для данной матрицы можно составить миноры разных порядков, начиная от «1» (определитель первого порядка принимается одинаковым своему единственному элементу) к меньшему из чисел или . Так, для матрицы

Можно составить 12 миноров первого порядка (одни элементы), 18 миноров второго порядка и 4 минора третьего порядка. Выпишем миноры 3-го порядка и найдём их значения.

, , ,

Среди миноров второго порядка могут быть нулевые и не равны нулю. Все выписывать не будем, а покажем на примере,

Наивысший порядок минора матрицы который не равен нулю, называется рангом этой матрицы и обозначается

Из определения следует, что если ранг матрицы , , тогда среди миноров -того порядка есть миноры, которые не равны нулю, а все миноры -го порядка равняются нулю.

Если же матрица нулевая, тогда её ранг равен нулю, а если матрица квадратная и невырожденная, тогда её ранг равен порядку матрицы. Таким образом, для каждой матрицы размером её ранг принимает соответствующее значение , которое находится в пределах:

В вышеприведённом примере матрицы мы видели, что наивысший порядок её минора, не равного нулю, равняется 2,

Нахождение ранга матрицы путём перебора значений всех её возможных миноров связано со значимым объёмом вычислений, особенно когда размер матрицы большой. Поэтому существует способ нахождения ранга, который основан на элементарных преобразованиях:

К элементарным преобразованиям относятся:

Две матрицы и называются эквивалентными (обозначаются ), если одна из них может быть получена из другой при помощи конечного числа элементарны преобразований.