для каких сигналов справедлива теорема котельникова

Теорема Котельникова Простым Языком

Поговорим об основном ограничении при дискретизации аналогового сигнала описываемого теоремой Котельникова, и это ограничение тесно связан с понятием частоты периодического дискретного сигнала.

Что такое частота

Частота это величина обратная периоду, и она может измеряться либо в секундах, либо в отчётах в зависимости от того говорим о непрерывном сигнале или о дискретном сигнале.

Где, f — частота, измеряется в радианах/ ед. времени или циклах / ед. времени; T — период, который измеряется в секундах или отсчетах.

Частота может измеряться в радианах в единицу времени или циклах в единицу времени. Важно отметить то, что цикл для непрерывного сигнала может быть равен 2π радиан, а цикл для дискретного сигнала может быть равен 2π умножить на m радиан, где m это целое число. Это приводит нас к понятию неоднозначности определение частоты дискретного сигнала, не будем углубляться формула давайте посмотрим на конкретном примере.

Наложение сигналов при дискретизации

Мы говорим о том, что для непрерывных сигналов две синусоиды с разными частотами не равны друг другу, но в случае двух дискретных синусоид, если частота одной отличается от другой на m*2π мы не сможем их различить.

Представьте себе обыкновенные часы (рисунок выше), мы явно видим минутную стрелку и часовую стрелку потому что это непрерывно изменяющиеся величины, но если мы будем фотографировать эти часы в моменты времени, когда минутная стрелка накладывается на часовую стрелку, мы не увидим часовой стрелки фактически происходит наложение одного дискретного сигнала на другой дискретный сигнал, то же самое происходит при дискретизации двух аналоговых сигналов.

Рассмотрим пример двух синусоид, одна синусоида изменяется медленно, другая синусоида изменяется быстро.

Мы берем дискретные отчеты этих синусоид в моменты времени 1, 2, 3, 4 и так далее, и можем наблюдать то, что форма двух дискретных сигналов абсолютно одинакова. Произошел эффект алиасинга или наложение двух сигналов при дискретизации.

Алиасинг это эффект неразличимости сигналов при их дискретизации, нам его надо избегать.

Как вы уже поняли из представленных графиков, выбранной частоты дискретизации хватает для того, чтобы описать в дискретном виде медленно изменяющуюся синусоиду, но явно не хватает для того чтобы описать быстро изменяющуюся и мы приходим к определению основного ограничения при дискретизации сигналов.

Теорема Котельникова — определение

Теорема Котельникова гласит о том, что непрерывный сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить по его дискретным отчетам, если они были взяты с частотой дискретизации, превышающей максимальную частоту сигнала минимум в два раза!

В виде формулы это можно описать, как частота дискретизации fs должна быть больше или равна чем 2f максимальное.

В том случае, если это условие не выполняется, мы берем дискретные отчеты слишком редко. Мы не знаем как меняется сигнал в промежутках между дискретными и конечно же теряем информацию.

В том случае, если условие выполняется между отдельными дискретными отчетами,сигнал меняется относительно медленно, и поэтому восстановления исходной формы аналогового сигнала возможно.

Эффект наложения при прослушивании звукового сигнала в matlab

Для того чтобы теорема Котельникова соблюдалась всегда, достаточно постоянно брать очень большое значение частоты дискретизации. Насколько это удачное решение? На самом деле не очень, потому что мы работаем с системами передачи данных, с системами хранения данных и если мы медленно изменяющийся сигнал будем оцифровывать с огромной частотой дискретизации, то объемы данных которые мы даже думаем пропускать, обрабатывать и хранить будут сильно превышать требуемые. Что конечно же будет требовать больших вычислительных ресурсов и памяти для хранения. Впрочем принцип работы некоторых устройств как раз основан на выборе завышенных значений частоты дискретизации, одно из них это сигма-дельта АЦП аналого-цифровой преобразователь.

Источник

Об одной особенности теоремы Котельникова

Написать данную статью меня вдохновила следующая задача:

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна удвоенной верхней частоте аналогого сигнала. Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда. Тогда f = 1∕T = 1 герц, sin((2 ∗ π∕T) ∗ t) = sin(2 ∗ π ∗ t), частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды. Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса sin(2 ∗ π ∗ 0) = sin(2 ∗ π ∗ 0,5) = sin(2 ∗ π ∗ 1) = 0
Везде получаются нули. Как же тогда можно восстановить этот синус?

Поиск в интернете ответа на данный вопрос не дал, максимум того, что удалось найти — это различные дискуссии на форумах, где приводились довольно причудливые аргументы за и против вплодь до ссылок на эксперименты с различными фильтрами. Следует указать, что теорема Котельникова — это математическая теорема и доказывать или опровергать ее следует только математическими методами. Чем я и занялся. Оказалось, что доказательств этой теоремы в различных учебниках и монографиях достаточно много, но найти, где возникает данное противоречие мне долгое время не удавалось, поскольку доказательства приводились без многих тонкостей и деталей. Скажу также, что и сама формулировка теоремы в разных источниках была различной. Поэтому в первом разделе я приведу детальное доказательство этой теоремы, следуя оригинальной работе самого академика (В.А.Котельников ‘О пропускной способности «эфира»и проволоки в электросвязи.’ Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933 г.)

Сформулируем теорему, как она дана в первоисточнике:
Любую функцию F(t), состоящую из частот от 0 до f1 периодов в секунду, можно представить рядом

где k — целое число; ω = 2πf1; Dk — постоянные, зависящие от F(t).

Доказательство: Любая функция F(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва на любом конечном отрезке) и интегрируемая в пределах от −∞ до +∞, что вседа в электротехнике имеет место, может быть представлена интегралом Фурье:

т.е. как сумма бесконечного количества синусоидальных колебаний с частотами от 0 до +∞ и амплитудами C(ω)dω и S(ω)dω, зависящими от частоты. Причем

В нашем случае, когда F(t) состоит лишь из частот от 0 до f1, очевидно

и поэтому F(t) может быть представлена так:

функции же C(ω) и S(ω), как и всякие другие на участке

могут быть представлены всегда рядами Фурье, причем эти ряды могут, по нашему желанию состоять из одних косинусов или одних синусов, если мы возьмем за период двойную длину участка, т.е. 2ω1.

Примечание автора: здесь надо дать пояснение. Котельников использует возможность дополнить функции C(ω) и S(ω) таким образом, чтобы C(ω) стала четной, а S(ω) нечетной функцией на двойном участке относительно ω1. Соответственно на второй половине участка значения этих функций будут C(2∗ω1 −ω) и −S(2∗ω1 −ω). Эти функции отражаются относительно вертикальной оси с координатой ω1, а функция S(ω) еще и меняет знак

Введем следующие обозначения

Интегрируем и заменяем ω1 на 2πf1:

Неточность в теореме Котельникова

Все доказательство выглядит строгим. В чем же проблема? Для понимания этого обратимся к одному не очень широко известному свойству обратного преобразования Фурье. Оно гласит, что при обратном преобразовании из суммы синусов и косинусов в исходную функцию, значение этой функции будет равно

то есть восстановленная функция равна полусумме значений пределов. К чему это приводит? Если наша функция непрерывная, то ни к чему. Но если в нашей функции есть конечный разрыв, то значения функции после прямого и обратного преобразования Фурье будут несовпадать с исходным значением. Вспомним теперь шаг в доказательстве теоремы, где интервал удваивается. Функция S(ω) дополняется функцией −S(2 ∗ ω1 − ω). Если S(ω1) (значение в точке ω1) равно нулю, ничего плохого не происходит. Однако если значение S(ω1) не равно нулю, восстановленная функция не будет равна исходной, поскольку в этой точке возникает разрыв равный 2S(ω1).
Вернемся теперь к исходной задаче про синус. Как известно, синус — нечетная функция, образ которой после преобразования Фурье есть δ(ω − Ω0) — дельта функция. То есть в нашем случае, если синус имеет частоту ω1, получаем:

Очевидно, что в точке ω1 суммируюся две дельта-функции от S(ω) и −S(ω) образуя ноль, что мы и наблюдаем.

Теорема Котельникова, безусловно, великая теорема. Однако она должна быть дополнена еще одним условием, а именно

В такой формулировке исключаются граничные случаи, в частности случай с синусом у которого частота равна граничной частоте ω1, поскольку для него использовать теорему Котельникова с приведенным выше условием нельзя.

Источник

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Попробуем нестандартно в сравнении с книгами по радиоэлектронике и цифровым системам связи, простыми житейскими примерами объяснить суть теоремы Котельникова. Если читатель еще не знаком с теоремой отсчётов, то рекомендуется сначала изучить ее формулировку в деловом официальном стиле. Смотрите, например, прошлую статью.

Аналоговые и дискретные процессы в природе

Абсолютное большинство процессов в природе протекают непрерывно, (изменение температуры воздуха на улице, давления, влажности, изменение скорости ветра, колебание электрического тока в проводнике, сияние Солнца). Почему все эти процессы непрерывны? Нам кажется, что время течет непрерывно, а значит в каждый момент времени должно существовать какое-то значение температуры воздуха или значение силы тока в проводнике, или значение интенсивности света Солнца. Непрерывные процессы, функции или сигналы называют аналоговыми (от слова аналог – нечто сходное, подобное чему-то, т.е. функция как модель является аналогом какому-то физическому процессу). Можно наблюдать множество непрерывных процессов в природе, например, непрерывный поток воды в источнике. Струя воды при падении вниз сужается как раз в силу поддержания непрерывности потока.

Аналоговый сигнал даже на конечном временном промежутке подразумевает набор бесконечного числа значений. Однако регистрирующие устройства, как правило фиксируют конечное число значений, поэтому мы получаем дискретные сигналы (дискретный от лат. discretus означает раздельный, состоящий из отдельных частей).

Представление непрерывного и дискретного сигналов.

Поскольку человек не может оперировать с бесконечными числами и величинами, обычно все округляем до ближайших целых чисел – в результате получаем цифровые сигналы. Например, мы наносим цифровую шкалу на столбик термометра и фиксируем округленное значение температуры. Непрерывное время мы разбиваем на секунды минуты, часы – наносим цифры на циферблат часов. Все символьные и знаковые системы, созданные человечеством для обмена информацией, использует конечное число возможных элементов.

Поскольку все вычислительные информационные устройства могут работать лишь с дискретными символьными системами и с цифровыми сигналами, постоянно возникает необходимость в переходе от существующих в природе непрерывных процессов, к дискретным и цифровым. С развитием цифровой связи и цифровых устройств (микроконтроллеров, компьютеров) постоянно и повсеместно на каждом шагу выполняется аналого-цифровое преобразование сигналов, неотъемлемой частью которого является дискретизация сигналов. Но здесь важно следующее: перейти от непрерывного сигнала к дискретному дело нехитрое – здесь удачно подходит выражение «ломать не строить». По аналогии можно сказать «ломать аналоговый сигнал – не восстанавливать его», здесь все просто реализовать, но главное при этом выполнить дискретизацию правильно. Одно дело просто произвести выборку отдельных значений сигнала, но есть еще другое дело – потом надо будет по этим значениям снова восстановить исходный непрерывный сигнал. Как правильно дискретизировать сигналы говорится в теореме о дискретизации сигналов, или ее можно называть в честь автора – теоремой Котельникова.

Если не знать теорему Котельникова

Итак, мы выяснили, что как и множество процессов в природе, электрические сигналы, используемые во всей электронике и системах связи бывают аналоговые и дискретные. В цифровых системах необходимо переходить от аналоговых сигналов к дискретным, при этом переход должен быть корректным.

Наглядный пример номер раз. Давайте посмотрим на примере двух музыкальных фрагментов, что будет, если осуществлять дискретизацию сигнала некорректно.

Вот что будет при неправильной оцифровке музыки

Вот что будет при неправильной оцифровке речи

Наглядный пример № 2. На рисунке ниже представлены 7 сигналов, каждый из которых соответствует своей музыкальной ноте – До, Ре, Ми, Фа, Соль, Ля, Си. Все они оцифрованы с частотой дискретизации 1700 Гц.

Давайте послушаем, что из этого получилось.

Надеюсь, с музыкальным слухом все в порядке и вы услышали, что с последними двумя прозвучавшими нотами что-то не так. Если не знать теорему Котельникова, то будет непонятно, почему звук при дискретизации исказился. Поэтому давайте разбираться в этой теореме.

Наглядное, но нестандартное объяснение теоремы о дискретизации

Представим себе, что мы работники Animal Planet и хотим изучить траекторию движения в джунглях какой-нибудь редкой змейки из красной книги. Назовем, например, изучаемую змею Зигзагусс.

С целью исследования мест обитания змеи и ее повадок цепляем к ее хвосту GPS-датчик, который будет регистрировать ее местоположение в отдельные моменты времени.

Вопрос: как надо запрограммировать датчик, чтобы мы получили точную траекторию движения змейки, т.е. получили самый подробный график траектории движения юркой змейки со всеми ее виляниями и изгибами? Через сколько миллисекунд или секунд датчику необходимо будет записывать и посылать нам очередную координату положения в пространстве?

Допустим, наша змея Зигзагусс ползет гармонично – ее хвост совершает гармонические колебания и ее движения можно описать синусоидальными функциями.

Фото настоящего следа от змеи на песке.

Траектория движения представляет собой колебания с различными частотами. Так вот, по правилам теоремы о дискретизации, чтобы восстановить всю траекторию движения змейки, необходимо найти составляющую колебаний самой высокой частоты.

Если по дискретным точкам мы сможем восстановить составляющую колебаний самой высокой частоты, то мы сможем восстановить всю траекторию змейки. Определим периоды всех колебаний (см. рисунок ниже).

В этом случае можно будет с высокой точностью восстановить всю непрерывную траекторию движения исследуемой змеи.

Предположим теперь, что Зигзагусс опьянилась запахом одурманивающего цветка и стала ползти негармонично, несуразно.

В этом случае для определения периода дискретизации нам необходимо самим отыскать гармонию в данной кривой функции, а она есть внутри любого сигнала всегда, что пытался в свое время доказать всем людям французский математик Жан-Батист Фурье. Также как любое тело можно разложить на множество атомов, также и полученную сложную функцию (от траектории змеи), можно разложить на множество гармонических функций. Физические тела разные, потому что они отличаются друг от друга структурой молекул. Например, мы говорим H2O – это вода, что означает: молекула воды состоит из двух атомов водорода H и одного атома кислорода O. Точно также можно сказать, что разные сигналы отличаются разным составом. Например, такой вот сигнал

состоит из двух гармонических функций (синус и косинус) с частотой 1000 Гц и одного синуса с частотой 2000 Гц (2000 Гц означает, что гармоника совершает 2 тысячи колебаний в секунду). В соответствии с условием теоремы Котельникова, о котором мы уже ранее говорили, для такого сигнала временной интервал между дискретными точками необходимо брать таким, чтобы он был меньше половины периода самой высокой частоты. В нашем случае имеется гармоника с максимальной частотой 2 тысячи колебаний в секунду (2000 Гц), значит период сигнала равен 1/2000 = 0.005 секунд и значит период между дискретными точками должен быть менее, чем 0.005/2 = 0.0025 секунды.

Чтобы определить требуемый период между дискретными точками для траектории нашей змейки, необходимо определить из каких гармонических функций она состоит, а точнее нас интересует значение частоты наивысшей гармонической функции (т.е. фиолетовой на рисунке).

Делим период фиолетовой гармоники пополам, и получаем граничное значение для периода дискретизации функции траектории одурманенной змеи. Все, задача решена, можно произвести дискретизацию данного сложного сигнала.

Знаем и соблюдаем условия теоремы Котельникова

Теперь, когда мы знаем теорему Котельникова, давайте еще раз рассмотрим задачу правильного перехода от аналоговых 7 сигналов- музыкальных нот к дискретным. Итак, у нас есть семь гармонических колебаний, с частотами

Для правильной дискретизации, чтобы не было искажений, необходимо взять частоту дискретизации не менее в два раза больше максимальной частоты сигнала. Ранее мы брали частоту 1700 Гц, но как можно посчитать, такая частота подходит для сигналов нот До – Соль (для ноты Соль требуется частота дискретизации 784*2=1568 Гц), а вот для сигналов нот Ля и Си значение 1700 Гц уже не годится.

Еще раз рассмотрим дискретизацию наших сигналов

Как видно из рисунка из-за несоблюдения условий теоремы Котельникова для сигналов Ля и Си с частотами 880 Гц и 988 Гц, через получившиеся дискретные отсчёты можно провести другие гармонические сигналы (красные функции), частоты которых меньше 1700 Гц / 2 = 850 Гц. Произошел эффект, который называют наложение спектров (в англоязычной литературе – aliasing). В рамках данной статьи «для чайников» мы не будем подробно рассматривать этот эффект, поскольку здесь уже требуются знания спектрального анализа сигналов. Этот эффект интересен тем, что объясняет условия теоремы Котельникова с позиций представления сигналов в частотной области (см. рисунок ниже). Если разобраться в этом, то теорема Котельникова и принципы восстановления сигналов станут более понятными. Описание этого эффекта можно найти почти в каждой книге по цифровой обработке сигналов.

Но сейчас новичкам в этой области главное запомнить результат несоблюдения теоремы отсчётов – восстановление сигналов по имеющимся дискретным отсчётам будет неоднозначно. Чтобы такого не происходило, необходимо чтить теорему Котельникова.

Максимальная частота среди наших 7 сигналов 988 Гц (нота Си), следовательно частота дискретизации должна быть больше, чем 2*988=1976 Гц. Важно здесь неуместно отметить, что в 1976 году был создан первый персональный компьютер – начался кустарный выпуск Apple I.

Значит надо выбрать частоту дискретизации больше значения 1976.

Вот как будут звучать семь наших сигналов при частоте дискретизации 2000 Гц.

Задачка для разминки мозгов

Нельзя сказать, что эта задачка очень простая для начинающих и ее решит любой. Новички в этой области не унывайте, если не получится (здесь нужны знания теории сигналов), ну а тот, кто решит, может собой гордиться.

С двух датчиков регистрируются сигналы

Какой должна быть минимальная частота дискретизации в АЦП по условию теоремы о дискретизации, если К – операция сложения и если К – операция умножения?

Источник

kpet-ks.ru

Компьютерные сети. г.Котово

Теорема Котельникова

Сегодня мы не представляем нашей жизни без телефона, радиосвязи, телевидения и интернета. В основе этого лежит распространение электромагнитных волн, теорию которых разработал Джеймс Клерк Максвелл в середине девятнадцатого века. Электромагнитные волны являются носителем полезных сигналов, а в теории передачи сигналов основополагающее значение играет теорема российского ученого и инженера, академика Владимира Александровича Котельникова.

Развитие систем связи ставило множество теоретических вопросов. Например, сигналы какого диапазона частот можно передавать по каналам связи, разной физической структуры, с разной полосой пропускания, чтобы при приеме не потерять информации.

В 1933 году Котельников доказал свою теорему, которая в англоязычной литературе называется теоремой отсчетов.

Формулировка теоремы Котельникова:

Если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченной по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты.

Описывается идеальный случай, когда время длительности сигнала бесконечно. Он не имеет прерываний, но имеет ограниченный спектр (по теореме Котельникова). Однако математическая модель, описывающая сигналы с ограниченным спектром, на практике хорошо применима и к реальным сигналам. На основании теоремы Котельникова может быть реализован способ дискретной передачи непрерывных сигналов

Физический смысл теоремы Теорему Котельникова простыми словами можно объяснить следующим образом.

Если надо передать некий сигнал, то не обязательно передавать его целиком. Можно передавать его мгновенные импульсы.

Частота передачи этих импульсов называется частотой дискретизации в теореме Котельникова. Она должна быть в два раза больше верхней частоты спектра сигнала. В этом случае на приемном конце сигнал восстанавливается без искажений

О дискретизации теорема Котельникова делает очень важные выводы. Для разного типа сигналов существуют разные частоты дискретизации. Для речевого (телефонного) сообщения при ширине канала 3,4 кГц – 6,8 кГц, а для телевизионного сигнала – 16 мГц. В теории связи существует несколько типов каналов связи. На физическом уровне – проводные, акустические, оптические, инфракрасные и радиоканалы. И хотя теорема разработана для идеального канала связи, она применима и для всех остальных типов каналов

Теорема Котельникова лежит в основе многоканальной электросвязи. При дискретизации и передаче импульсов период между импульсами гораздо больше их длительности. Это значит, что в промежутках импульсов одного сигнала (это называется скважность) можно передавать импульсы другого сигнала. Были реализованы системы на 12, 15, 30, 120, 180, 1920 речевых каналов. То есть по одной паре проводов можно передать одновременно около 2000 телефонных разговоров.

Теорема Котельникова относится к фундаментальным открытиям в науке. Ее смело можно поставить в один ряд с теоремами Пифагора, Эйлера, Гаусса, Лоренца и т. д. В каждой области, где необходимо передавать или принимать любые электромагнитные сигналы, мы сознательно или неосознанно пользуемся теоремой Котельникова. Мы разговариваем по телефону, смотрим телевизор, слушаем радио, пользуемся интернетом. Все это в основе своей содержит принцип дискретизации сигналов.

На основании теоремы Котельникова, простыми словами можно сказать, возникли практически все современные системы связи.

Как это иногда бывает в науке, ученые, занимающиеся подобными проблемами, приходят почти одновременно к одинаковым выводам. Это вполне закономерно. До сих пор не утихают споры, кто открыл закон сохранения – Ломоносов или Лавуазье, кто изобрел лампу накаливания – Яблочкин или Эдисон, кто изобрел радио – Попов или Маркони. Этот список можно продолжать без конца. Так, американский физик шведского происхождения Гарри Найквист в 1927 г. в журнале “Определенные проблемы телеграфной передачи” опубликовал свои исследования с выводами как у Котельникова. Его теорему иногда называют теорема Котельникова-Найквиста. Гарри Найквист родился в 1907 году, защитил диссертацию в Йельском университете, работал в лаборатории Белла. Там занимался проблемами теплового шума в усилителях, участвовал в разработке первого фототелеграфа. Его труды послужили основой для дальнейших разработок Клода Шеннона. Найквист скончался в 1976 г.

Клода Шеннона иногда называют отцом информационного века – столь велик его вклад в теорию связи и информатики. Клод Шеннон родился в 1916 г. в США. Работал в лаборатории Белла и ряде американских университетов. Во время войны вместе с Аланом Тьюрингом занимался расшифровкой кодов немецких подводных лодок. В 1948 г. в статье “Математическая теория связи” он предложил термин бит в качестве обозначения минимальной единицы информации.

Теорему, посвященную восстановлению сигнала по его дискретным отсчетам, он доказал (независимо от Котельникова) в 1949 году. Ее иногда называют теорема Котельникова-Шеннона. Правда на Западе больше принято наименование теорема Найквиста-Шеннона. Шеннон ввел понятие энтропии в теорию связи. Занимался изучением кодов.

Источник