для каких систем критерий найквиста является критерием устойчивости

Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристикеке (АФЧХ) разомкнутой системы (рис. 7.5).

Рассмотрим сначала случай 1, когда известно, что система в разомкнутом состоянии устойчива (рис. 7.5, а). Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0). На рис. 7.5, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости.

Если, например, уменьшать коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет в конце концов устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в конце концов охватит точку (-1, j0), и система потеряет устойчивость.

Для случая 2, т.е. для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.

На рис. 7.5, в в качестве примера показаны две АФЧХ разомкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии вследствие наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии. Характеристика 1 соответствует k = 1, а характеристика 2 – значению k = 2. (В первом случае имеем «половину» пересечения действительной оси левее точки (-1, j0)).

Таким образом, в общем случае при применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых полюсов W(s). Для одноконтурной системы, когда знаменатель W(s) представляет собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных звеньев, это число находится легко, поскольку полюсами W(s) являются полюсы передаточных функций отдельных звеньев.

У многоконтурных систем, особенно с перекрестными связями, задача определения числа k усложняется, и поэтому в этих случаях целесообразно отказаться от применения критерия Найквиста. В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.

Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является неохват АФЧХ точки (-1, j0). Последнее имеет место, если при частоте, на которой А(ω) = 1, абсолютное значение фазы меньше π.

Сказанное непосредственно следует из рис. 7.5, а.

Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению А = 1 соответствует L = 20 lg A = 0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение – π. Или иными словами: на частоте среза ω_с величина фазы должна быть меньше π.

Изложенное иллюстрируется на рис. 7.6.

Здесь изображены ЛАХ L(ω) и четыре варианта ЛФХ φ(ω). В случае ЛФХ 1 и 4 замкнутая система устойчива, причем характеристика 4 соответствует АФЧХ 4 на рис. 7.5, а. ЛФХ 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, ЛФХ 3 – неустойчивой замкнутой системе.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, требования к ЛАХ и ЛФХ в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к АФЧХ. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня – π снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.

При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы.

В случае применения критерия Рауса-Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства. При использовании графических критериев Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа D(jω) от начала координат, а для критерия Найквиста – удаленность характеристики W(jω) от точки (-1, j0).

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе Δφ и запас устойчивости по амплитуде ΔL. Эти величины показаны на рис. 7.6 для системы с ЛФХ, представленной кривой 1. Аналогично они могут быть найдены и по АФЧХ.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза ω_с, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔL допустимого подъема ЛАХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению.

Рассмотренные критерии устойчивости тем или иным способом оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью. Поэтому все они дают одинаковый результат в оценке устойчивости системы.

Надо отметить, что прежде чем исследовать устойчивость САУ с помощью того или иного критерия, следует убедиться, что необходимое условие устойчивости выполняется, т.е. все коэффициенты характеристического уравнения системы являются положительными числами.

Каждый из критериев применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагают. Если известны дифференциальные уравнения системы, то чаще применяют алгебраические критерии устойчивости.

Достоинством алгебраических критериев является сравнительная простота применения, а недостатком – то, что они не позволяют оценить влияние на устойчивость системы параметров отдельных ее элементов. Этого недостатка лишен графоаналитический критерий Михайлова.

Чтобы с помощью критерия Михайлова оценить влияние изменения параметров элементов системы на ее устойчивость, необходимо построить кривую Михайлова при заданном значении интересующего нас параметра. А потом изменять этот параметр и смотреть, как будет меняться кривая Михайлова.

При известной АФЧХ используют частотный критерий Найквиста. С помощью этого критерия также можно оценить влияние параметров элементов системы на ее устойчивость. АФЧХ можно снять экспериментально.

Оценка устойчивости автоматической системы по ее структуре.

В ряде случаев оценить устойчивость автоматической системы можно по ее структуре. Это значительно сокращает время, так как нет необходимости составлять характеристическое уравнение.

Если система имеет такую структуру, что в ней невозможно обеспечить устойчивость ни при каком значении ее элементов, то такая система называется структурно-неустойчивой.

Оценим устойчивость данной системы по ее структуре. Например, если система имеет два интегрирующих звена, не охваченных жесткой обратной связью, и не имеет последовательно включенных дифференцирующих звеньев, то она будет неустойчивой при любом значении параметров ее элементов.

Покажем это на примере простейшей системы, состоящей из одного апериодического и двух интегрирующих звеньев. Передаточная функция такой системы в разомкнутом состоянии

,

а характеристическое уравнение замкнутой системы

.

Для этого уравнения не выполняется необходимое условие устойчивости. Следовательно, система будет неустойчива при любых значениях параметров Т и К, т.е. она будет структурно-неустойчивой.

Структурно-неустойчивую систему можно превратить в устойчивую только изменением ее структуры, т.е. введением дополнительных элементов, например, дифференцирующих элементов при включении пропорциональных элементов параллельно интегрирующим.

Запас устойчивости САУ.

Запас устойчивости – это количественная оценка отклонения значений параметров системы или ее характеристик от зоны, опасной с точки зрения устойчивости. Запас устойчивости по параметрам характеризует расстояние граничной кривой, определяющей область разрешенных значений параметров, от границы области устойчивости. На рис. 7.7 запас устойчивости по параметрам Т и К обозначен через h.

Запас устойчивости по критерию Михайлова равен радиусу окружности r, в которую не должна заходить кривая Михайлова (рис. 7.8). Центром окружности является «опасная» точка при применении критерия Михайлова, т.е. начало координат.

Источник

Критерий устойчивости Найквиста

И Найквиста.

С помощью этих критериев исследуется устойчивость САР в частотой области.

Частотный критерий Михайлова

Исходная информация – характеристическое уравнение разомкнутой или замкнутой системы

Путём замены s на jw переходим к уравнению Михайлов

где Р(w) – вещественная часть годографа Михайлова, чётная функция частоты; Q (w) – мнимая часть годографа Михайлова, нечётная функция частоты.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: система устойчива, если годограф Михайлова при изменении w от 0 до ¥ проходит в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости, начиная свое движение с точки а₀ положительной полуоси, и нигде не обращается в нуль.

Критерий Михайлова имеет и другую формулировку: система устойчива, если действительная и мнимая части годографа Михайлова обращаются в нуль поочерёдно, т.е. если корни уравнений

действительные и перемежаются, при w = 0 P(0) > 0, Q(0) > 0.

Пример: определить устойчивость системы, характеристическое уравнение которой

D(p) = 0,0057s 3 + 0,58s 2 + s + 70.

Выполним подстановку s = jw и выделим вещественную и мнимую части годографа Михайлова

Для ряда значений частоты w вычислим вещественную

мнимую части кривой Михайлова

и результаты расчётов сведём в таблицу, по данным которой можно построить кривую Михайлова. Для определения точек пересечения осей нужно решить уравнения Р(ω) = 0 и Q(ω) = 0. Однако целесообразно для построения графика использовать возможности MATLAB:

Кривая Михайлова последовательно проходит три квадранта. Так как характеристическое уравнение исследуемой системы третьего порядка, то система устойчива.

Различные виды годографов представлены на рис. 6.4. Системе, находящейся на границе устойчивости, соответствует годограф, проходящий через начало координат, неустойчивой системе – кривая, проходящая через 1, 4 и 3 квадранты.

Критерий устойчивости Найквиста

Это также частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости системы, замкнутой единичной отрицательной обратной связью, по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутого контура. Предварительно требуется исследование устойчивости разомкнутой системы, как правило, по алгебраическим критериям. Для устойчивых и неустойчивых в разомкнутом состоянии систем формулировки критерия разные.

Для систем, неустойчивых в разомкнутых состояниях, критерий Найквиста имеет такую формулировку: если разомкнутая система неустойчива и имеет m корней в правой полуплоскости, то для устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутого контура охватывала точку с координатами (-1, j0) m/2 раз.

Если система имеет местные обратные связи, то необходимо проверить устойчивость внутренних контуров любым критерием.

Пример: задана передаточная функция системы управления

Исследовать её на устойчивость.

Сделаем замену s = jω и найдём АФЧХ:

Диаграмма Найквиста может быть построена в MATLAB с помощью функции nyquist([…],[…]) или nyquist(W).

Пример: построить годограф Найквиста для системы с передаточной функцией

В соответствии с критерием Гурвица эта система устойчива в разомкнутом состоянии. Исследуем её устойчивость в замкнутом состоянии:

>> nyquist([5],[1 3 3 1]) – рис. 6.5

АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами

(-1, j0), поэтому замкнутая система устойчива.

6.4. Устойчивость систем с запаздыванием.

Отдельные звенья САР обладают “чистым” запаздыванием, которое сказывается в том, что система реагирует на входной сигнал не сразу, а по истечении некоторого постоянного времени t. Это обстоятельство учитывается введением звена чистого запаздывания с передаточной функцией

а структурная схема системы показана на рис. 6.6.

Передаточная функция разомкнутой системы

Система без запаздывания (t = 0) называется предельной.

Частотные характеристики системы с запаздыванием и без него определяются, соответственно, выражениями

Отсюда видно, что для построения частотного годографа системы с запаздыванием следует построить годограф системы без запаздывания (предельной системы) и каждый вектор этого годографа повернуть по часовой стрелке на угол wt. Последний возрастает как при увеличении w, так и t.

Для некоторого значения t = t₀ и w = w_p годограф пройдёт через точку (-1, j0), и, следовательно, АСР будет находиться на границе устойчивости (рис. 6.7). Значения t₀ и w_p определяются из уравнения

Пример: система состоит из апериодического звена первого порядка с передаточным коэффициентом к > 1, постоянной времени Т и звена запаздывания с постоянной времени t. Определить предельное время запаздывания t₀, при котором система устойчива.

Источник

Доказательство критерия устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста был разработан американским специалистом Найквистом в 1932 году. Критерий позволяет по АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости САУ в замкнутом состоянии, при этом должно быть известно число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Критерий устойчивости Найквиста широко используется на практике при исследовании линейных САУ. Это определяется следующим:

а) АФХ разомкнутой системы строятся гораздо проще, чем частотные характеристики замкнутой системы, поскольку в основном элементы разомкнутой системы соединены последовательно.

б) При построении АФХ разомкнутой системы могут использоваться экспериментально снятые частотные характеристики отдельных звеньев.

в) Удобно оценивать влияние разбросов (вариаций) параметров системы на её устойчивость.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы W(p) имеет вид

.

Рассмотрим вспомогательную функцию

,

где – полином числителя, определяющий характеристическое уравнение замкнутой системы с корнями n_i, i=1, 2, …, n.

– полином знаменателя, определяющий характеристическое уравнение разомкнутой системы с корнями l_i, i=1, 2, …, n.

На основании теоремы Безу имеем

.

Подставляя p=jw, переходим к частотным характеристикам.

.

Найдем приращение аргумента функции M(jw) при изменении частоты от 0 до ¥. Это связано с тем, что функция M(jw) при изменении w от –¥ до 0 является зеркальным отображением этой функции относительно оси абсцисс при изменении w от 0 до ¥. Поэтому строится только одна ветвь этой характеристики для частот от 0 до ¥.

.

Таким образом, если замкнутая система устойчива, а разомкнутая система неустойчива и имеет l правых корней, то вектор M(jw) должен повернуться вокруг начала координат на угол в положительном направлении.

Если ось ординат плоскости M(jw) сместить на единицу вправо, то становится очевидным, что охвату вектором M(jw) начала координат соответствует охват вектором W(jw) точки (-1, j0), которую называют критической точкой.

На основании этого можно сформулировать критерий устойчивости Найквиста:

“Для устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы W(jw) при изменении частоты от 0 до ¥ охватывала критическую точку (-1, j0) в положительном направлении раз, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы”.

2. Применение критерия устойчивости Найквиста для астатических систем

Выражение для передаточной функции астатической системы n-го порядка имеет вид:

.

Подставляя p=jw, получаем

,

где W * (jw) не содержит интегрирующих звеньев.

В точке w=0 характеристика W(jw) терпит разрыв непрерывности и её характер становится неопределенным. Для того чтобы избежать этого, будем обходить точку w=0 по окружности бесконечно малого радиуса против часовой стрелки.

, где , а

,

если .

Это означает, что характеристика W * (jw) дополняется дугой бесконечного радиуса на угол .

После этого к полученной АФХ разомкнутой системы критерий устойчивости Найквиста применяют без каких-либо изменений.

4. Запасы устойчивости систем

А. Критерий Михайлова. Кривая Михайлова для устойчивой системы, как известно, не должна проходить через начало координат. Удаление этой кривой от начала координат и будет характеризовать запас устойчивости системы по этому критерию. Система автоматического управления будет иметь запас устойчивости не менее а>0, если соответствующая ей кривая Михайлова не будет пересекать окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а (рис.10.5).

Условие выхода системы на границу устойчивости по критерию Михайлова имеет вид:

.

Это условие может быть записано так:

(9.1)

Уравнения (10.1) могут быть использованы для определения критических значений параметров системы.

Рис.10.5. Запасы устойчивости САУ по кривой Михайлова.

Б. Критерий Найквиста. Запасы устойчивости САУ по критерию Найквиста определяются удалением АФХ разомкнутой системы от критической точки (-1, j0). На рис.10. изображена АФХ разомкнутой системы W(jw) и показаны запасы устойчивости по фазе j_з и по амплитуде а_з. Запасы устойчивости вычисляются так:

где – значение фазо-частотной характеристики разомкнутой системы при w=w_с, А(w_с)=1;

Запас устойчивости системы по амплитуде может характеризоваться значением А(w_p), при этом, очевидно, что с уменьшением А(w_p) возрастает запас устойчивости системы

Рис.10.6. Запасы устойчивости САУ по критерию Найквиста

САУ будет находиться на границе устойчивости, если АФХ разомкнутой системы будет проходить через критическую точку (-1,j0). Это условие для записывается так:

или (10.2)

Полученные уравнения (10.2) могут быть использованы для определения критических значений параметров системы.

3. Управляемость и наблюдаемость

Дата добавления: 2016-06-24 ; просмотров: 1262 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник