для какого наименьшего числа а формула тождественно истинна при любых целых x и y
Для какого наименьшего числа а формула тождественно истинна при любых целых x и y
Для какого наибольшего целого числа А формула
((x ≤ 9) →(x ⋅ x ≤ A)) ⋀ ((y ⋅ y ≤ A) → (y ≤ 9))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
будет иметь решения для любых целых неотрицательных чисел.
Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.
Тем самым, 
Искомое наибольшее целое значение параметра равно 99.
Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
будет иметь решениями для любых целых неотрицательных чисел.
Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.
Тем самым, 
Искомое количество целых значение параметра равно 23.
Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
будет иметь решениями для любых целых неотрицательных чисел.
Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.
Тем самым, 
Искомое количество целых значение параметра равно 19.
Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
будет иметь решения для любых целых неотрицательных чисел.
Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.
Решениями неравенства 
являются числа из отрезка [0; 9]. Чтобы совокупность выполнялась для всех целых неотрицательных чисел, числа из луча 
должны быть решениями 
Значит, 
Аналогично, решениями неравенства 
являются числа из луча 
Следовательно, числа из отрезка [0; 8] должны быть решениями неравенства 
Поэтому 
Тем самым, 
Искомое количество целых значений параметра равно 3.
Для какого наименьшего числа а формула тождественно истинна при любых целых x и y
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?
Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
будет иметь решения для любых вещественных чисел.
Чтобы решениями системы были все вещественные числа, необходимо и достаточно, чтобы решениями каждой из совокупностей были все вещественные числа.
Решениями неравенства 
являются все числа из отрезка [−10; 10]. Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанном отрезке, не должны принадлежать отрезку A. Следовательно, отрезок A не должен выходить за пределы отрезка [−10; 10].
Аналогично, решениями неравенства 
являются числа из лучей 
и 
Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанных лучах, должны лежать на отрезке A. Следовательно, отрезок A должен содержать в себе отрезок [−8; 8].
Тем самым, наименьшая длина отрезка A может быть равна 8 + 8 = 16.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
Для какого наименьшего числа а формула тождественно истинна при любых целых x и y
Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.
Для какого наибольшего целого числа А формула
тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?
Преобразуем выражение по законам алгебры логики:
Х + (Y → Z) = Х + (¬Y + Z) = Х + Z + ¬Y = Y → (X + Z) = (Y → X) + (Y → Z).
Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.
Заметим, что первое слагаемое логической суммы является импликацией Z41 → Z51, которая не является истинной для всех х (см. ниже). Тогда необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое логической суммы было тождественно истинным.
Действительно, например, для х = 2 поразрядная конъюнкция с числом 41 дает 0, а с числом 51 дает 2. Поэтому импликация (2&41) → (2&51) принимает вид 1 → 0 — ложь.
2&41: 000000, то есть 2&41 = 0. Высказывание 2&41 = 0 истинно.
2&51: 000010 = 2, то есть 2&51 = 2. Высказывание 2&51 = 0 ложно.
Итак, импликация Z41 → ZA должна быть тождественно истинной. Запишем число 41 в двоичной системе счисления: 4110 = 1010012. Единичные биты, стоящие в правой части, должны являться единичными битами левой. Поэтому в правой части единичными битами независимо друг от друга могут быть (а могут не быть) только нулевой, третий и пятый биты (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля).
Тем самым, наибольшее А = 1010012 = 4110.
Ответ 45 не подходит. Пусть A = 45, а x = 2210 = 101102, тогда:
51&22: 0100102, т.е. высказывание 22&51 = 0 ложно.
41&22: 0000002, т.е. высказывание 22&41 ≠ 0 ложно.
51&22: 0001002, т.е. высказывание 22&45 = 0 ложно.
Следовательно, при x = 22 и A = 45 логическое выражение ложно.
Приведем другое решение.
Выражение x&51 = 0 ∨ (x&41 = 0 → x&А = 0) должно быть истинным для любого х. Возьмем такое х, в котором установлены все биты, кроме тех, которые установлены в числе 41, например, для однобайтового представления х = 110101102.
Выражение x&51 = 0 будет ложно, поскольку и в числе х, и в числе 51 установлен первый бит (биты считаем справа налево, начиная с нуля).
Следовательно, истинной должна быть импликация во второй скобке. Но левая часть импликации x&41 = 0 истинна, поскольку ни один из битов, установленных в числе 41, в числе х не установлен.
Тогда истинной должна быть и правая часть импликации x&А = 0. Следовательно, в числе А могут быть установлены только те биты, которые не установлены в числе х, то есть нулевой, третий и пятый биты. Таким образом, наибольшее А = 1010012 = 4110.
При таком А левая и правая части импликации одинаковы, следовательно, импликация в правой скобке истинна, а значит, истинно и все выражение.
Приведём другое решение.
Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:
for A := 0 to 63 do begin
if not (((x and 51) = 0) or ((x and 41) <> 0) or ((x and (63-A)) = 0)) then
Приведём аналогичное решение на языке Python.
Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 41 и 51 хватит шести разрядов. Программа выведет ответ 41.
Для какого наименьшего числа а формула тождественно истинна при любых целых x и y
Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.
Так, например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?
Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:
for A := 0 to 32 do begin
if not (((x and 29) = 0) or ((x and 17) <> 0) or ((x and A) <> 0)) then
Приведем аналогичную программу на языке Python (Владимир Юрьевич Ламок).
for a in range (1, 65):
for x in range (0, 65):
Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4.
Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
x&25 ≠ 0 → (x&17 = 0 → x&А ≠ 0)
тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?
Преобразуем выражение по законам алгебры логики:
¬Х → (Y → ¬Z) = Х + (Y → ¬Z) = Х + ¬Y + ¬Z = X + ¬(YZ) = YZ → X.
Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте) без дополнительных пояснений.
Имеем импликацию Z17ZA → Z25 или Z(17 or A) → Z25. Запишем число 25 в двоичной системе счисления: 2510 = 110012. Единичные биты, стоящие в правой части, должны являться единичными битами левой. Поскольку 1710 = 100012, двоичная запись искомого числа А должна содержать единичный бит в третьем разряде (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля).
Тем самым, наименьшее А = 10002 = 810.
Приведём другое решение.
Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:
for A := 0 to 31 do begin
if not (((x and 25) = 0) or ((x and 17) <> 0) or ((x and A) <> 0)) then
Приведём решение на языке Python.
Заметим, что можно не перебирать числа, большие 31, поскольку для записи чисел 25 и 17 хватит пяти разрядов. Программа выведет ответ 8.
Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?
Преобразуем выражение по законам алгебры логики:
¬Х → (Y → ¬Z) = Х + (Y → ¬Z) = Х + ¬Y + ¬Z = X + ¬(YZ) = YZ → X.
Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.
Имеем импликацию Z12ZA → Z29 или Z(12 or A) → Z29. Запишем число 29 в двоичной системе счисления: 2910 = 111012. Единичные биты, стоящие в правой части, должны являться единичными битами левой. Поскольку 1210 = 011002, двоичная запись искомого числа А должна содержать единичные биты в нулевом и четвертом разрядах (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля).
Тем самым, наименьшее А = 100012 = 1710.
Приведём другое решение.
Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:
for A := 0 to 31 do begin
if not (((x and 29) = 0) or ((x and 12) <> 0) or ((x and A) <> 0)) then
Приведём решение на языке Python.
Заметим, что можно не перебирать числа, большие 31, поскольку для записи чисел 29 и 12 хватит пяти разрядов. Программа выведет ответ 17.
Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.
Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?
Преобразуем выражение по законам алгебры логики:
(¬Х + ¬Y) → (W → ¬Z) = ¬(¬Х + ¬Y) + (¬W + ¬Z) = ХY + ¬(WZ) = WZ → XY.
Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.
Имеем импликацию Z17ZA → Z28Z45 или Z(17 or А) → Z(28 or 45). Поскольку 2810 = 111002, 4510 = 1011012, для побитовой дизъюнкции имеем: 28or45 = 111101. Тогда Z(17 or А) = Z61.
Импликация принимает вид Z(17 or A) → Z61. Единичные биты двоичной записи числа 61, должны являться единичными битами левой части. Поэтому в побитовой дизъюнкции 17orA единицы должны стоять на нулевой, второй, третьей, четвертой и пятой позициях (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля). Запишем числа 17, А и 61 в двоичной системе счисления, и выясним, что наименьшее число, дающее при поразрядной дизъюнкции единицы на указанных позициях:
Приведём другое решение.
Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:
for A := 0 to 63 do begin
if not (((x and 28) = 0) and ((x and 45) = 0) or ((x and 17) <> 0) or ((x and A) <> 0)) then
Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 28, 45 и 17 хватит шести разрядов. Программа выведет ответ 44.
Приведем аналогичную программу на языке Python.
Для какого наименьшего числа а формула тождественно истинна при любых целых x и y
Для какого наибольшего целого числа А формула
((x ≤ 9) →(x ⋅ x ≤ A)) ⋀ ((y ⋅ y ≤ A) → (y ≤ 9))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при всех вещественных значениях x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных m и n?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных m и n?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных m и n?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого положительного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?