для какой тройки чисел существует объединенный признак делимости

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

Источник

Признаки делимости чисел

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Petruchek.Info

Признаки делимости на 11, 7, 13

Может, сумма чисел с меняющимися знаками? Сначала знак «кирпич», потом знак «Осторожно, дети!», потом знак «гужевой транспорт».

Число делится на 11 в том и только в том случае, если на 11 делится сумма, получаемая следующим образом: десятичную запись числа разбивают на группы по две цифры справа налево (самая левая группа может состоять и из одной цифры) и все полученные числа складывают.

Зачем такое сложно доказательство?

Рассмотрим разность между числом и знакопеременной суммой его цифр. В случае трёхназного числа abc это число равно 100a+10b+c, знакопеременная сумма его цифр равна a-b+c.

Разность между ними: (100a+10b+c)-(a-b+c) = 99a+11b = 11(9a+b)

Число справа делится на 11, значит либо и вычитаемое, и уменьшаемое либо одновременно кратны 11, либо одновременно некратны (они дают одинаковый остаток при делении на 11).

Возможность расписать доказательство в общем случае мы предоставляем нашим читателям. Подскажем, что все слагаемые в итоговой разности будут иметь вид 9. 9 или 1(00..00)1 — во втором случае внутри скобок записано чётное число нулей. Для доказательства делимости чисел вида 1(00..00)1 на 11 можно прибегнуть к индукции, например.

Если в знакопеременной сумме цифр последняя цифра взята с минусом, а не с плюсом, то рассматривать надо не разность, а сумму.

Какая разница, Mary? Вы думаете, так обязательно получится неотрицательное число? Необязательно.

А вообще отрицательные целые числа тоже могут делиться нацело.

Случайно нашел Вашу страницу. Спасибо, очень интересно.
У меня братик ходит в 5 класс и у него задача:

докажи, что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на 11.

Из Ваших пояснений я понял, что (abc) равно 100a+10b+c, но я не могу объяснить ему (100a+10b+c)-(a-b+c). Объясните, пожалуйста, из каких соображений мы берем 2-е слагаемое (-(a-b+c))? Спасибо за помощь!

Если к трёхзначному числу abc приписать его цифры в обратном порядке, получится шестизначное число abccba, которое равно 100000a+10000b+1000c+100с+10b+a = 100001a+10010b+1100c = 11(9091a+910b+100c).

Очевидно, что полученное число делится на 11.

Я предполагаю, что в пятом классе умеют раскладывать число по разрядам, именно на этом решение и основано.

Если они знают признак делимости на 11 (не думаю, что они его доказывают, просто учат и используют), то можно применить этот признак к числу abccba. Знакопеременная сумма его цифр равна a-b+c-с+b-a = 0; 0 на 11 делится, значит и само число делится.

Признаки делимости Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.

Источник

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;

3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3 (10:3=3 1 3 ).

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

4576 — делится на 4, так как число 76 делится на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);

9634 — не делится на 4, так как число 34 не делится на 4 (3·2+4=10, 10:4=2 1 2 ).

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;

9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);

3456 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);

24642 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);

861 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;

3458 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;

34681 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);

861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;

234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 если сумма цифр стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах или отличается от нее на число кратное 11.

Источник

Методический материал к уроку математики по теме «Признаки делимости»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Прокопенко Надежда Ивановна,

учитель математики МОУООШ №21 город Оленегорск

3. Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10, изучаемые в школе 7-8

4. Признаки делимости натуральных чисел

4.1.Признаки делимости на 4 9.

4.2. Признак делимости на 7 9

4.3.Признаки делимости на 8 10.

4.4.Признаки делимости на 11 11.

4.5Признак делимости на 17 12

4.6.Признак делимости на 13 13

4.7.Признаки делимости на 19 13

4.8.Признак делимости на 23 13

4.9.Признак делимости на 29 14

4.10.Признак делимости на 31 14

4.11.Признак делимости на 49 14

5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач 15-18

6. Применение признаков делимости в числовых фокусах 19

8.Список использованной литературы 21.

существующее нельзя было бы постичь ни

само по себе, ни в его отношениях к другим

деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и в музыке».

Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э

Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Старинная восточная притча:

Сказал так и умер. Братья и возразить не успели, что девятнадцать верблюдов невозможно разделить таким образом. Не резать же верблюдов. Думали братья, думали, ничего не придумали и отправились за советом к учёному.

Посчитал ученый и сказал: «Ничего не поделаешь, если вы хотите остаться верными отцовскому завещанию, то верблюдов нужно резать. Иначе никак!»

Но братьям не хотелось убивать животных. Поэтому они решили сходить за советом к старому мудрецу.

Мудрец выслушал их проблему и сказал: «Не волнуйтесь, никого убивать не придётся. Я вам одолжу своего верблюда на время. Теперь у вас 20 верблюдов и они легко делятся на 2, на 4 и на 5. Десять верблюдов для старшего брата, пять – для среднего, а четыре или одна пятая, для младшего. Остается один верблюд лишний, но помните, вы должны мне одного верблюда. Я его забираю обратн

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне еще за 2 тысячи лет до нашей эры. Так, не случайно, на одной из египетских пирамид иероглифами написано число 2520. Оно является наименьшим общим кратным всех целых чисел от 1 до 10. Признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число. Признак описан в трактате «Особенности делимости чисел». Паскаль рассуждал так: пусть при делении 10 на число А получается остаток r _1, при делении 10 r ₁ на А – остаток r _2, при делении 10 r ₂ на А – остаток r ₃ и так далее.

то и число MCDU делится на А. 8,46

Например.7536 делится на 8, так как 10 : 8=1(ост.2), 20 : 8=2(ост.4), 40 : 8=5(ост.0),

6 + 3  2 + 5  4 + 7  0 = 32, 32 делится на 8.

Древнегреческий математик Евклид ( III в. до н.э.). В его главной работе «Начало» подведен итог предшествующему развитию греческой математики. Он ввел понятие иррационального числа, показал бесконечность множества простых чисел, изложил аксиоматический способ построения геометрии, которая сейчас изучается в школе.

Последний отличный от нуля остаток r _п , будет НОД (а; в).

Например. Найти НОД(1035, 851)

46 = 23  2 + 0 Ответ: НОД(1035, 851) = 23

1. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Число делится на 2, если число оканчивается чётной цифрой или нулём.

Например: Число 248 будет делиться на 2, так как в конце этого числа стоит чётная цифра 8.

Число не разделится на 2, если число оканчивается на нечётную цифру.

Например: Число 235 не разделится на 2, так как на конце этого числа стоит нечётная цифра.

Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.

Например: Число 342 (3 + 4 + 2 = 9) будет делиться на 3, так как сумма его цифр равна 9, а число 9 делится на 3.

Число не делится на 3, если сумма цифр числа не делится на 3.

Например: Число 526 (5 + 2 + 6 = 13) не разделится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 13, а 13 не делится на 3.

Число делится на 5, если последняя цифра числа 0 или 5.

Например: Число 675 будет делиться на 5, так как на конце этого числа стоит цифра 5.

Число не делится на 5, если на конце не стоит ни 0, ни 5.

Например: Число 456 не разделится на 5, так как на конце этого числа не стоит ни 5, ни 0.

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.

Например: Число 963 (9 + 6 + 3 = 18) будет делиться на 9, так как сумма цифр этого числа равна 18, а число 18 делится на 9.

Число не разделится на 9, если сумма цифр числа не делится на 9.

Например: Число 739 (7 + 3 + 9 = 19) не разделится на 9, так как сумма цифр этого числа равна 19, а число 19 не делится на 9.

Число делится на 10, если последняя цифра числа нуль.

Например: Число 840 будет делиться па 10, так как это число оканчивается на нуль.

4. Признаки делимости натуральных чисел

При выполнении действий деления и умножения натуральных чисел, обнаружились закономерности, которые позволили получить признаки делимости чисел на 4,8,7,11,13 и другие.

Если число, составленное из двух последних цифр кратно 4, то и число делится на 4

4.2.П ризнак делимости натуральных чисел на 7

Если из числа десятков вычесть удвоенное число единиц и получится число, которое кратно 7, то и всё число кратно 7.

4.3.П ризнаки делимости натуральных чисел на 8

Если число образованное тремя последними цифрами кратно 8, то, число делится на 8.

Если цифра сотен чётная, то число, составленное из двух последних цифр, кратно 8 без остатка, а если цифра сотен нечётная, то остаток составляет 4.

4.4.П ризнаки делимости натуральных чисел на 11

Если от суммы цифр стоящих на нечётных местах отнять сумму цифр на чётных местах (или наоборот) и в результате получим число, которое кратно 11, то и сама число кратно 11.

Если число разбить на части (по две цифры справа налево), и эти две части сложить, и в результате получим число, которое кратно 11, то и данное число кратно 11.

Если от числа десятков отнять число единиц и получится число, которое кратно 11, то и данное число кратно 11.

4.5. П ризнак делимости натуральных чисел на 17

Если после разбиения числа на две части по две (начиная справа), разность правой и удвоенной левой частей делится на 17, то и число делится на 17.

Если из числа десятков вычесть упятеренное число единиц и получится число, которое кратно 17, то и всё число кратно 17.

4.6.П ризнак делимости натуральных чисел на 13

Если число десятков сложенное с учетверенным числом единиц кратно 13, то и число кратно 13.

4.7. П ризнак делимости натуральных чисел на 19

Если число десятков сложенное с удвоенным числом единиц кратно 19, то и число кратно 19.

4.8. П ризнак делимости натуральных чисел на 23

Если число десятков сложить с усемеренным числом единиц и получится число, которое кратно 23, то и всё число кратно 23.

4.9.П ризнак делимости натуральных чисел на 29

Если число десятков сложить с утроенным числом единиц и получится число, которое кратно 29, то и всё число кратно 29.

4.10.П ризнак делимости натуральных чисел на 31

Если из числа десятков вычесть утроенное число единиц и получится число, которое кратно 31, то и всё число кратно31.

4.11.П ризнак делимости натуральных чисел на 49

Если число десятков сложить с упятеренным числом единиц и получится число, которое кратно 49, то и всё число кратно 49.

5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, при сокращении дробей, при приведении дробей к одному знаменателю, при решении текстовых задач на применение НОД и НОК, при решении уравнений в целых числах и т. д.

Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

Ответ : 29 пятиклассников; 7 учебников

Задача 2 . Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина, 175 : 15 = 11 – орехов и 225 : 15 = 15 – конфет.

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Решение: Так как обезьяны собрали орехов поровну и поровну бросили, то принесли они поровну. Число 35 делится на 5 и на 7. Возможны 2 случая:

— Обезьян было 5, принесли по 7 орехов, бросили по 4 ореха, а значит, каждая собрала 7+4=11.

— Обезьян было7, принесли по 5 орехов, бросили по 6 ореха, а значит, каждая собрала 5+6=11.

Доказать, что делится на 7. (Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).

Решение: =  10101 =  37  13  7  3

Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ: Наибольшее – 987652413, наименьшее – 102347586.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.

Найти наименьшее шестизначное число, делящееся на 3, 7 и 13 без остатка.

Искомое число должно делиться на 3 7 13=273, а наименьшее шестизначное число 100000 = 366273 + 82. Если прибавить к нему 191, то получим 100191 = 367273.

Если сумма первой и второй цифр трёхзначного число, у которого одинаковые цифры сотен и единиц, делится на 7, то и число делится на 7. Докажите.

Имеем число 100а + 10в + а = 10(а + в) +91а. Так как (а+в) по условию делится на 7 и 91 делится на 7(91:7=13), то и число 100а + 10в +а делится на 7.

Решение . Число 36 = 4 9;следовательно, искомые числа делятся и на 4 и на 9.

Чтобы число 34x5y разделилось на 4, необходимо, чтобы число 5y делилось на 4. Тогда y равно либо 2, либо 6.

Чтобы число 34x5y разделилось на 9, необходимо, чтобы 3+4+x +5+y = 12 + x+y разделилось на 9.

Если y = 2, то 12+2+ x = 14+ x. 14+ x разделится на 9, если x равен 4.

Если y = 6, то 12+6+ x = 18+ x. 18+ x разделится на 9, если x равен 0 или 9.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют три числа: 34452, 34056, 34956.

Ответ: 34452, 34056, 34956

6. Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах:

1) Можно так же предложить друзьям загадать четырёхзначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное восьмизначное число на 137. Затем предложить результат разделить на 73. К удивлению друзей, получится в результате загаданное им число.

Объясняется это легко: 73 ∙ 137 =10001, = ∙ 10001

2) Признак делимости на 7, 11, 13 используется при следующем числовом фокусе. Предложить друзьям загадать трехзначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное шестизначное число на 7. Это число нацело разделится на 7. Затем предложить полученное число разделить на 11, а результат – на 13. К удивлению друзей, они получат в результате загаданное им число.

Объясняется это так: 7 ∙ 11 ∙ 13 = 1001, 1001 ∙ =

Число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001 = 77 х 13), из 91 одиннадцаток или из 143 семерок (число 7 считалось магическим числом); если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 ночь состоит

52 х 7 + 52 х 7 + 26 х 7 + 13 х 7, то есть из 1год + 1год + полгода + четверть года.10,306

3) на свойствах числа 1001 базируется метод определения делимости чисел на 7, на 11, на 13. Этот метод объясняется на примере.

Пример. Делится ли на 7 число 348285?

Число 348285 = 348 х 1000 + 285 = 348 х 1000 + 348 – 348 + 285 = 348 х 1001 – (348 – 285);

Чтобы число 348285 делилось на 7, достаточно, чтобы на 7 делилась разность 348 – 285.

И так как 348 – 285 = 63, а 63 делится на 7, то и 348285 также делится на 7

8.Список использованной литературы:

Волина В.В. Занимательная математика.- С.-Петербург, 1996, с.103

Воробьев Н.Н. Признаки делимости.- Москва, «Наука», 1988, с.148

Клименченко Д. В. Задачи по математике для любознательных.- Москва, «Просвещение», 1991, с.43

Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – с. 352.

Чистяков В.Д. Старинные задачи по математике. Минск.1987, с 46

Перельман Я.И. г. Екатеринбург, Тезис,1994, с 88

Станислав Коваль. От развлечения к знаниям. W ARSZAWA., С.306

Источник