дробь после сокращения примет вид

Сокращение дроби.

Мы уже познакомились с основным свойством дроби (см. статью здесь). И знаем, как получить дробь, равную данной. Но сегодня мы поговорим о ДЕЛЕНИИ дроби на одно и то же число.

Деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число называется СОКРАЩЕНИЕМ ДРОБИ. Но при этом – дроби остаются РАВНЫМИ.

Как сокращать дроби? Будем разбираться.

Итак, сокращение дроби – это действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Сокращение дроби выполняют для того, чтобы ее упростить.

Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, которое будет называться общим делителем.

Например, дана дробь 2/6.

На какие числа можно разделить 2? 2 делится на 1, 2. На какие числа можно разделить 6? 6 делится на 1, 2, 3, 6.

Но, мы знаем, что если дробь разделить на 1, то будет та же самая дробь. Поэтому на 1 не сокращают!

Теперь посмотрим на делители чисел 2 и 6. Сравним их:

Найдем одинаковые делители – это только число 2. Значит, мы можем разделить числитель и знаменатель нашей дроби только на 2.

Дробь 1/3 сократить нельзя.

Посмотрим на дробь 16/44. 16 делится на 2, 4, 8, 16. 44 делится на 2, 4, 11, 44. Одинаковые делители – 2, 4.

Разделим дробь на 2 — 16:2/44:2 = 8/22. Эту дробь можно еще сократить на 2. 8/22 = 8:2/22:2 = 4/11. Это очень долго, поэтому будем сокращать сразу на 4.

Дробь 4/11 сократить нельзя.

Рассмотрим дробь с большими числами: 210/315.

210 делится на 2, 3, 5, 7, 10, 30, 70, 105, 210.

315 делится на 3, 5, 7, 9, 15, 21, 63, 105, 315.

Общие делители: 3, 5, 7, 105. Будем сокращать дробь постепенно:

Мы видим, что если сокращать поочереди на все общие числители, начиная с меньшего, очень долго. Поэтому для удобства принято сокращать дробь сразу на больший числитель. Т.е. 210/315 = 210:105 / 315:105 = 2/3 Полученную дробь 2/3 сократить нельзя.

Наибольший общий делитель называют сокращенно — НОД.

Бывают случаи, когда общего делителя нет. Например, у дробей 3/59, 6/31, 11/23 и т.д. Тогда говорят о том, что эти дроби не подлежат сокращению.

Дроби, которые сократить НЕЛЬЗЯ называются НЕСОКРАТИМЫМИ, а числитель и знаменатель называют ВЗАИМНО-ПРОСТЫМИ.

Т.е. наша задача превратить любую дробь в несократимую. Итак, мы познакомились в двумя способами сокращения дробей:

Проверка: 28/36 – наибольший общий делитель (НОД) = 4, значит 28:4/36:4 = 7/9;

56/28 – НОД = 28, значит, 56:28/28:28 = 2/1 = 2;

114/171 – НОД = 57, значит, 114:57/171:57 = 2/3;

102/153 – НОД = 51, значит, 102:51/153:51 = 2/3.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 66

Источник

Общие сведения

Первые упоминания о дробях встречаются в Древнем Египте. Его жители умели делить два предмета на три части. Применяли они для этого специальное обозначение: 1/2, 2/3, 1/3. При этом запись вида 2/3 была единственной, где в верхней части использовалась не единица, а двойка. Египтяне для обозначения, впрочем, как и вавилоняне, использовали формулу: 1/ n. Для записи других дробей использовалась сумма. Например, вместо 8/15 они использовали сложение двух выражений: 1/3 и 1/5.

Работать с такими дробями было сложно. Различные философы и учёные пытались придумать запись, универсальную для любых случаев. Так, были попытки использовать шестидесятеричные дроби, которыми пользовались в Вавилоне и Греции. Но выполнять над ними операции опять же было сложно. В Риме использовали систему, называемую асс. В её основе лежало деление на двенадцать. Долю, которую она составляла, называли унцией.

Современную же систему записи предложили в Индии. Единственным отличием от общепринятой записи была её перевернутость. Сверху писали делимое, а внизу — делитель. Дробную черту не ставили. Запись же, используемая сегодня, была предложена арабами.

Любая дробь состоит из двух частей: верхней, называемой числителем, и нижней — знаменателя. При произношении читается сначала числитель, а после знаменатель. Например, 3/8 — три восьмых. Верхняя часть обозначает, сколько взято долей, а нижняя — каких. В алгебре используется и иная формулировка. Числитель называют делимым, а знаменатель делителем.

Существуют следующие виды дробей:

В любом виде отношений могут стоять определённые числа или неизвестные переменные. Поэтому сократить дробь можно как со степенями, так и буквами или цифрами. На правило упрощения содержание делителя и делимого не влияет.

Свойства дроби

По сути, сократить дробь — значит, её упростить. Можно использовать разный алгоритм, но в любом случае применяется основное свойство отношений. Заключается оно в том, что если делитель или делимое умножить на одно и то же число, то количественное значение в ответе не изменится. Это правило справедливо и при замене операции умножения на деление.

Алгебраически свойство можно записать в виде равенства: (q * c) / (r * c) = q / r. Для объяснения этого правила используется следующее доказательство. Пусть имеется равенство (q * r) * c = (c * r) * q. Оно возможно, так как соответствует закону умножения натуральных чисел. При этом учитывается свойство деления, согласно которому, если число разделить на равное ему значение, то результатом действия будет единица. Например, с / с = 1 или 12к/12k = 1. Последнее правило довольно логичное и интуитивно понятное. Если представить, что есть число вещей, равное x, и их нужно разложить на кучки так, чтобы в каждой оказалось x предметов, то очевидно, что получится лишь одна кучка.

Исходя из этих двух правил, можно утверждать, что выражения q * c / r * c и q : c / r : c равны q / r. То есть эти два выражения равны друг другу. На уроках математики в школе предлагают графическую иллюстрацию основного свойства. Пусть есть квадрат, который набран из девяти других квадратов. Каждый из них, в свою очередь, разделён на четыре части. Можно утверждать, что основная фигура поделена на 9 * 4 = 36 частей.

Если закрасить пять больших квадратов другим цветом, то фактически будет окрашено 20 квадратов меньшего размера (4 * 5). Отмеченная область составляет 5/9 от целого квадрата или 20/36, если считать маленькие фигуры. Но так как окрашенная часть одна, то справедливо будет утверждать о верности равенства 5 / 9 = 20 / 36. Вместо чисел 20 и 36 можно подставить их произведения. В итоге получится выражение: 5 / 9 = 5 * 4 / 9 * 4 = 20 * 4 / 36 * 4 = 20 / 36. Что и следовало доказать.

Свойство дроби используется при поиске наименьшего и наибольшего общего знаменателя, а также позволяет упрощать выражения. Невозможно правильно научиться сокращать дроби, не понимая рассмотренного правила.

Алгоритм сокращения

Существующие дроби можно разделить на сократимые и несократимые. Сократить отношение — значит, разделить верхнюю и нижнюю часть на общий делитель. При этом его значение не должно быть равное единице. В итоге получится новое выражение с меньшим значением делителя и делимого. Например, пусть дана дробь 16 / 24. Числитель и знаменатель выражения можно разделить на восемь. В результате запись упростится до вида 16:8 / 24:8 = 2 / 3. Полученная дробь является уже несократимой и её дальнейшее упрощение невозможно.

Любое упрощение выражения можно представить в виде следующего алгоритма:

Таким образом, суть действия сводится к нахождению такого сократителя, после применения которого она превратится в тождественную начальной, но уже станет несократимой. Наибольшим общим делителем (НОД) называют одночлен или многочлен, являющийся самым большим из всевозможных делителей, на которое числитель и знаменатель делится без остатка. Например, для чисел 12a и 24a НОД будет равный 12a.

Чтобы быстро найти НОД, нужно знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители. Ими называют числа, которые делятся на единицу и сами на себя. Существует даже таблица простых чисел до 997, с которой знакомят на уроках алгебры в 7 классе. Но многие натуральные числовые выражения могут делиться и на другие цифры без остатка. Например, двенадцать можно разделить на 1, 2, 3, 4, 6, и 12. Эти числа называют делителями.

При разложении используется запись в виде столбика с вертикальной чертой. В правой части пишут делимое, а в левой — исходное значение. Начинают пробовать делить на двойку, если действие невозможно, повышают значение делимого на единицу. Например, 45 = 3 * 3 * 5.

При поиске НОД каждый знаменатель раскладывают на простые множители, а затем находят одинаковые цифры и перемножают их. Полученный ответ и будет искомым сокращателем. Например, в числителе стоит число 24, а в знаменателе 42. Согласно правилу, их нужно разложить: 24 = 2 * 2 * 2 * 3 и 42 = 2 * 3 * 7. В одной и другой записи повторяются цифры три и два. Их произведение 2 * 3 = 6 и является НОД, на который и будет сокращаться дробное выражение. То есть 24:6 / 42:6 = 4 / 7. Полученная дробь является уже несократимой.

Сложные выражения

Многочлены, стоящие в числителе или знаменателе, имеющие первую степень, сокращать довольно легко. Но часто в задании попадаются степенные выражения. Для того чтобы их упростить, нужно хорошо знать основные формулы и свойства степеней. Заключаются они в следующем:

В заданиях могут встречаться рациональные и простые числа, известные и неизвестные. Решают их таким же образом. Например, нужно сократить дробь со степенями и буквами: ((0,25 ) p +1 * 8 p ) / (2 2p+1 * (0,5) p-1 ) = (0,25 p * 0,25 1 * 8 p ) / (2 2p * 2 1 * 0,5 p :0,5 1 ) = (1 / 4) p * 0,25 * 8 k / 4 p * 4 * 0,5 p = 2 p * 0,25 / 2 p * 4 = 0,25 / 4 = (1/4) / 4 = 1 / 4* 4 = 1/16.

Смотря на этот пример, можно понять важность упрощения дробей. Ведь из задания, практически недоступного для решения, получилось простейшее наглядное выражение. Но при этом может случиться так, что исходная формула будет довольно сложна для предварительного анализа, например, содержать квадратный корень, экспоненту или логарифм. Для таких случаев есть резон использовать специализированные сайты-вычислители.

Использование онлайн-калькулятора

Воспользоваться возможностью сократить дробь на онлайн-калькуляторе сможет любой пользователь интернета. Такую услугу бесплатно предоставляют несколько десятков специализированных сайтов. Неоспоримое их преимущество заключается в быстром и правильном упрощении любого дробного выражения. При этом от пользователя не требуется никаких математических знаний.

Всё что необходимо, это подключение к сети и веб-браузер с поддержкой Flash плеера. Пользователю нужно просто зайти на сайт и в предложенную форму ввести упрощаемую формулу, а затем нажать виртуальную кнопку «Рассчитать». Программа сделает все вычисления самостоятельно, используя оптимальный алгоритм.

Кроме того, на этих сайтах содержится теоретический материал. Он часто подкреплён примерами. Причём даётся не просто ответ, а приводится вся цепочка вычислений, по которой можно разобраться в сути действий.

Из доступных сайтов можно выделить несколько, наиболее популярных среди пользователей:

Применение онлайн-калькуляторов может стать частью учебного процесса. Учащийся, вводя различные дроби, может воочию видеть нюансы сокращения того или иного вида выражений, а также использовать ресурсы для проверки самостоятельного решения.

Источник

Как сокращать алгебраические дроби?

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

Получаем сокращенную дробь.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Пример 1.

Пример 2.

Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

Источник

Сокращение обыкновенных дробей

Что такое «сокращение дробей»

Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.

В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.

С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:

=

=

где a, b, m — натуральные числа.

Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:

Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.

Пример 1. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 2. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.

= =

Сокращение выполнено: =

Приведение дробей к несократимому виду

Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.

Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби получили дробь

Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду

Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.

Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.

— несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:

a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.

Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12

Найдем частное: 12 : 12 = 1

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5

Найдем частное: 15 : 5 = 3

= =

Сокращение выполнено: =

Правило сокращения дробей

Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.

Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:

В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.

Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.

Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.

Пример 5. Сократите дробь

Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5

Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 6. Сократите обыкновенную дробь

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9

= =

Сокращение выполнено: =

Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.

Пример 6. Сократите дробь:

= = =

Сокращение выполнено: =

Пример 7. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24

НОД 168 и 240 равен 24

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 8. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180

НОД 360 и 540 равен 180

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 8. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420

НОД 420 и 2520 равен 420

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1

= =

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =

Пример 9. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7

3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23

Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75

НОД 1575 и 3450 равен 72

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21

= =

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =

Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.

Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.

Источник