если прямая не принадлежащая плоскости параллельна какой нибудь прямой в этой плоскости то она

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №4. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.

Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.

В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.

В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.

Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.

Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.

Лемма. Если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.

Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка-она параллельна плоскости пола.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Тип задания: Единичный / множественный выбор

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.

MC

Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит

. BC=AD= 8 см;

Источник

Параллельность прямой и плоскости

Урок 6. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Параллельность прямой и плоскости»

· рассмотрим параллельность прямой и плоскости, как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве;

· сформулируем и докажем теорему о параллельности прямой и плоскости;

· докажем еще два утверждения, которые часто применяют при решении задач.

Раньше мы с вами уже узнали аксиомы стереометрии. На этом уроке нам понадобится вторая аксиома: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

Отсюда вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Первый случай. Прямая лежит в плоскости, т.е. каждая точка прямой лежит в плоскости. Например, если SABC – треугольная пирамида, то прямая CB лежит в плоскости ABC.

Второй случай. Прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют только одну общую точку. Например, прямая B₁B пересекается с плоскостью грани ABCD параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

И третий случай. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Например, если ABCDA₁B₁C₁D₁– куб, то прямая A₁D₁ и плоскость, в которой лежит грань ABCD, не пересекаются.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается следующим образом . Читают: «Прямая a параллельна плоскости α».

Отрезок (луч) называется параллельным плоскости, если он лежит на прямой, параллельной данной плоскости.

Приведем несколько примеров параллельности прямой и плоскости.

Вот возьмем, к примеру, гитару. Натянутая гитарная струна и плоскость грифа параллельны. Линии электропередач параллельны плоскости земли.

Еще примером может послужить линия пересечения стены и потолка. Эта линия параллельна плоскости пола.

Обратите внимание, в плоскости пола также есть прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной.

Прямые о которых мы сейчас говорили, обозначены буквами а и b. Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащая в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны.

Это утверждение (теорема) является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Докажем теорему. Пусть у нас есть две параллельные прямые а и b и плоскость α. Причем они расположены так, что прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости. Докажем, что прямая а параллельна плоскости α.

Предположим, что прямая а пересекает плоскость α в некоторой точке М. А значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также должна пересекать плоскость α. Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости α по условию. Таким образом, наше предположение неверно. И прямая а не пересекает плоскость α. По условию она не лежит в плоскости α. Следовательно, прямая а параллельна плоскости α. Теорема доказана.

На рисунке изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Прямая A₁B₁ параллельна плоскости α, в которой лежит грань ABCD. Действительно, прямая A₁B₁ параллельна прямой AB, лежащей в плоскости α. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости A₁B₁ параллельна α.

Докажем еще два утверждения, которые часто применяются при решении задач.

Первое утверждение. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Докажем это утверждение. Пусть плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β. И плоскости α и β пересекаются по прямой b. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости α) и не пересекаются: ведь в противном случае, если бы прямые а и b пересекались в некоторой точке М, тогда бы прямая а пересекала плоскость β в точке М. Что невозможно, поскольку прямая а параллельна плоскости β по условию.

Таким образом, прямые а и b параллельны. Что и требовалось доказать.

Второе утверждение. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Доказательство. Пусть прямые а и b параллельны. Причем прямая а параллельна плоскости α. Тогда прямая а не пересекает плоскость α, и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также не пересекает плоскость α. А значит, прямая b либо параллельна плоскости α, либо лежит в этой плоскости. Что и требовалось доказать.

Задача. Прямая . Точка . Докажите, что прямая, проходящая через точку и параллельная прямой , лежит в .

Доказательство. Пусть прямая b проходит через точку K и параллельна прямой а.

Предположим, что прямая b не лежит в плоскости α, т.е. пересекает плоскость α в точке К. Тогда прямая а также пересекает плоскость α по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми. А это противоречит условию. Следовательно, прямая b лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели параллельность прямой и плоскости, как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве. Сформулировали и доказали признак параллельности прямой и плоскости. А также доказали два утверждения, которые часто применяют при решении задач.

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Содержание

Параллельность прямых и плоскостей

Прямые

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Прямая и плоскость

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельно данной плоскости. См.Рис.1.

Свойство прямой, параллельной плоскости:

Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. См.Рис.2.

Плоскости

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Признаки параллельности плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей:

Источник

Нужны определения всех теорем по геометрии 10 класс (без доказательств)

Теорема 15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Следствие: Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Теорема 15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 15.4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X и Y принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.

Теорема 16.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Теорема 16.2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теорема 16.3. Если прямая, не принадлежащая плоскости параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Теорема 16.4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теорема 16.5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 17.1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Теорема 17.2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Теорема 17.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 17.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Теорема 17.5. Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Теорема 17.6. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема 18.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Источник

Лекция «Параллельность прямой и плоскости»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Параллельность прямой и плоскости.

Возможны три расположения прямой и плоскости:

1. прямая лежит в плоскости

1. прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются

1. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.

MC

Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит

. BC=AD= 8 см;

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Похожие материалы

Лекция «Параллельность прямых в пространстве»

Презентация на тему «Решение задач по нахождению угла между прямой и плоскостью»

Презентация на тему «Решение задач на нахождение угола между прямыми в пространстве»

Внеклассное мероприятие по геометрии «Великие математики»

Тексты задач по окружности из сборника по подготовке к ОГЭ

Презентация урока подготовки к ОГЭ задача по теме «Окружность» 9 класс

Билеты для зачета по геометрии 8 класс

Презентация по геометрии на тему «Площади четырехугольников»(8 класс)

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5277745 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Мишустин поручил проводить международную олимпиаду по философии

Время чтения: 0 минут

Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно

Время чтения: 2 минуты

День преподавателя высшей школы будет отмечаться 19 ноября

Время чтения: 1 минута

Вузам Москвы и Подмосковья рекомендовали с 8 ноября ввести смешанный формат обучения

Время чтения: 1 минута

Школьники Свердловской области с 8 ноября перейдут на дистанционку

Время чтения: 0 минут

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник