кратное число что это такое
Кратное и делитель
Если одно натуральное число делится без остатка на другое натуральное число, то первое называется кратным второго, а второе — делителем первого.
Кратное числа — это делимое, которое делится на данный делитель без остатка.
Делитель числа — это делитель, на который делимое делится без остатка.
Пример. Возьмём, например, такое деление:
Число 6 делится на число 3 без остатка. Следовательно, число 6 — кратное числа 3, а число 3 — делитель числа 6.
Пусть m и n — натуральные числа, если число m является кратным числа n, то говорят: m кратно n или m делится на n
Пример. 6 кратно 3 (шесть кратно трём) или 6 делится на 3 (шесть делится на три).
Самым маленьким кратным любого натурального числа является само это число, так как любое натуральное число можно разделить само на себя без остатка (в частном всегда будет единица).
Пример. Для числа 7 наименьшим кратным является число 7, для числа 2 — число 2:
7 : 7 = 1 (семь кратно семи);
2 : 2 = 1 (два кратно двум).
Для любого натурального числа существует бесконечно много кратных. Получить кратное для данного числа достаточно легко, можно просто умножить его на любое натуральное число, полученное произведение и будет его кратным.
Пример. Получим кратное числа 5, умножив его, например, на 2:
Число 10 — кратное числа 5:
Так как на единицу делится любое натуральное число, то число 1 является делителем любого натурального числа.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Наименьшее общее кратное (НОК)
Перечень рассматриваемых вопросов:
– разложение на простые множители;
Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.
Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.
Составные числа – это непростые натуральные числа, большие 1.
Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ранее мы узнали, что такое кратное, ввели понятие делителя, научились находить наибольший общий делитель, а можно ли каким-либо способом найти общее кратное нескольких чисел? Оказывается, можно, этим сегодня мы и будем заниматься. Но находить не просто общее кратное нескольких чисел, а их наименьшее общее кратное – НОК.
Итак, для начала вспомним, что называется кратным. Это число, делящееся на данное натуральное число без остатка.
Теперь найдём, например, общие кратные чисел 12 и 15. Для этого выпишем все кратные чисел 12 и 15.
12 – его кратные 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …
15 – его кратные 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …
Из представленных чисел общие кратные – это числа 60 и 120. Меньшее из них – 60. Это и есть наименьшее общее кратное чисел.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел можно использовать несколько способов. Один из них мы рассмотрели на примере нахождения НОК 12 и 15. Этот способ заключается в том, что выписываются все кратные двух чисел и затем находится наименьший общий из них.
Узнаем ещё одно правило нахождения НОК.
Во-первых, разложим числа на простые множители. Далее подчеркнём одинаковые множители этих чисел. Затем перемножим общие множители одного из чисел и добавим произведение всех остальных множителей от каждого числа. Это и будет НОК заданных чисел.
Найдём НОК (15; 16). Разложим числа на простые множители:
Видно, что из всех множителей общий лишь единица, значит, это взаимно простые числа.
НОК взаимно простых чисел – это произведение всех их множителей или произведение этих чисел.
В данном случае НОК равен 240.
Т. е. НОК любых двух простых чисел или двух соседних натуральных чисел будет равен произведению этих чисел.
Найдём НОК (10; 100). Разложим числа на простые множители:
Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.
Умножим их, а результат умножим ещё на оставшиеся простые множители от чисел 100 и 10.
НОК (10; 100) = 2 · 5 · 2 · 5 = 100
Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10, и НОК тоже равен 100. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.
Некоторые задачи можно решить при помощи НОК проще, чем каким-либо другим способом. Например, рассмотрим такую задачу.
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК (5;38).
Разложим числа на множители:
Мы видим, что НОК (5; 38) = 5 · 38 = 190 – это будет сумма покупки за шоколад.
Теперь найдём, сколько девочка купит плиток.
Для этого сумму покупки разделим на стоимость одной плитки шоколада.
190 : 38 руб. = 5 – наименьшее количество плиток шоколада, которые сможет купить девочка.
№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОК (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОК = 21?
Варианты ответов: 1; 2; 3.
Решение: для решения этой задачи, надо разложить на множители оба числа, при этом вместо пропуска нужно подставить по порядку все цифры. А далее найти подходящий НОК этих чисел, равный 21.
Из всех разложений на множители под НОК (7; 2_) = 21 подходит только число 21.
Ответ: искомая цифра – 1.
№ 2. Какой наименьшей длины должен быть рулон ткани, чтобы от него без остатка можно было отрезать куски по 3 м и 7 м?
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наименьшей длиной рулона ткани.
Что такое кратное число
Определение кратного числа
Некоторые признаки делимости натуральных чисел
Признак делимости на 2.
Число делится на 2, если его последняя цифра есть число четное (то есть 2, 4, 6, 8) или 0.
Признак делимости на 3.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4.
Признак делимости на 5.
Число делится на 5, если оно заканчивается либо на 0, либо на 5.
Признак делимости на 8.
Признак делимости на 9.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 11.
Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на четных местах либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Признак делимости на 25.
Задание. Среди ниже перечисленных чисел выбрать числа кратные 3:
$$27: 36 ; 58 ; 1119 ; 2345 ; 12354$$
Решение. Будем использовать признак делимости на 3, для этого найдем сумму цифр для каждого числа:
; 
; 
; 
Таким образом, на 3 делятся числа:
$$27 ; 36 ; 1119: 12354$$
Наименьшее общее кратное (НОК)
Общим кратным нескольких натуральных чисел называется натуральное число, являющееся кратным для каждого из них. Наименьшее из всех кратных называется наименьшим общим кратным (НОК).
Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел:
Что такое кратное число не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Найти НОК(360; 420)
Решение. Запишем каноническое разложение заданных чисел:
кратное
Смотреть что такое «кратное» в других словарях:
КРАТНОЕ — число, делящееся на данное целое число без остатка, напр. 12 кратно 3. Общее кратное нескольких целых чисел число, делящееся на каждое из них в отдельности, напр. 180 общее кратное чисел 30, 18, 2. При арифметических действиях особое значение… … Большой Энциклопедический словарь
Кратное — натурального (целого положительного) числа а, натуральное число, делящееся на а без остатка. Так, 156 есть К. 13, тогда как 108 не является К. 13. Число n, которое делится на каждое из чисел а, b. m, называется общим К. этих чисел. Из … Большая советская энциклопедия
Кратное — ср. Целое число, делящееся на какое либо число без остатка. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
КРАТНОЕ — число, делящееся на данное целое число без остатка, напр. 12 кратно 3. Общее К. неск. целых чисел число, делящееся на каждое из них в отдельности, напр. 180 общее К. чисел 30, 18, 2. При арифметич. действиях особое значение имеет наименьшее общее … Естествознание. Энциклопедический словарь
Кратное — Делимость одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связаное с операцией деления. Содержание 1 Определение 2 Обозначения 3 Связанные определения … Википедия
кратное — кр атное, ого … Русский орфографический словарь
кратное — ого; ср. Целое число, делящееся на данное без остатка. Шесть кра/тное чисел два и три. Наименьшее общее кра/тное нескольких чисел … Словарь многих выражений
кратное (число) — кратный многократный множественный составной параллельный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы… … Справочник технического переводчика
Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства
Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.
Общие кратные – определение, примеры
В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.
Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.
Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.
0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.
Для всех ли чисел можно найти НОК?
Общее кратное можно найти для любых целых чисел.
Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?
Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.
Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры
Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.
Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.
Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.
Связь между НОК и НОД
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.
Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.
Теорема имеет два важных следствия:
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.
Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму: