кривые второго порядка что такое

Содержание:

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

Пример:

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Кривые второго порядка

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Источник

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка — кривые, которые задаются в некоторой аффинной системе координат на плоскости уравнением второй степени:

a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0 <\displaystyle a_<11>x^<2>+2a_<12>xy+a_<22>y^<2>+2a_<1>x+2a_<2>y+a_<0>=0>

Содержание

Эллипс, гипербола и парабола [ править ]

Геометрическое определение [ править ]

Теорема. Сечение прямого кругового бесконечного в обе стороны конуса плоскостью, не проходящей через вершину, является или эллипсом, или гиперболой, или параболой. При этом, указанная плоскость может располагаться тремя способами:

Доказательство. Для доказательства будем использовать шары Данделена — шары, вписанные в конус и касающиеся плоскости. Введем обозначения

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Эллипс. Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому

Гипербола. Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому

Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому | X F 1 | = | X Y 1 | <\displaystyle |XF_<1>|=|XY_<1>|> .

В соответствии с этой теоремой эллипс, гиперболу и параболу называют кониками.

Аналитические определения коник [ править ]

Эллипс [ править ]

Тогда геометрическое определение перепишется в виде

Таким образом, координаты точек эллипса удовлетворяют уравнению (1).

y 2 = b 2 − b 2 a 2 x 2 <\displaystyle y^<2>=b^<2>—<\frac >>>x^<2>>

Тогда расстояние от этой точки до первого фокуса

| r 1 | = ( x + c ) 2 + y 2 = x 2 + 2 c x + c 2 + b 2 − b 2 a 2 x 2 = = a 2 − b 2 a 2 x 2 + 2 c x + c 2 + b 2 = c 2 a 2 x 2 + 2 c x + a 2 = = | c a x + a | = a + c a x <\displaystyle <\begin|\mathbf _<1>|&=<\sqrt <(x+c)^<2>+y^<2>>>=<\sqrt +2cx+c^<2>+b^<2>—<\frac >>>x^<2>>>=\\&=<\sqrt <<\frac -b^<2>>>>x^<2>+2cx+c^<2>+b^<2>>>=<\sqrt <<\frac >>>x^<2>+2cx+a^<2>>>=\\&=\left|<\frac >x+a\right|=a+<\frac >x\end>>

Выражение под знаком модуля положительно, так как | x | ≤ a ⇒ | c a x | ≤ c a <\displaystyle |x|\leq a\Rightarrow \left|<\tfrac >x\right|\leq c .

таким образом, точки, удовлетворяющие уравнению (1), принадлежат эллипсу.

Уравнение (1) называют каноническим уравнением эллипса.

Гипербола [ править ]

Тогда, аналогично эллипсу, упрощая геометрическое определение, получим

Таким образом, координаты точек гиперболы удовлетворяют уравнению (2).

Для доказательства обратного утверждения проведем рассуждения, аналогичные случаю эллипса и получим

Таким образом, точки, удовлетворяющие уравнению (2), принадлежат гиперболе.

Парабола [ править ]

Тогда геометрическое определение примет вид

x 2 − p x + p 2 4 + y 2 = x 2 + p x + p 2 4 <\displaystyle x^<2>-px+<\frac><4>>+y^<2>=x^<2>+px+<\frac><4>>>

y 2 = 2 p x <\displaystyle y^<2>=2px>

(3)

Таким образом, координаты точек параболы удовлетворяют уравнению (3).

Последнее равенство верно, так как x = y 2 / 2 p ≥ 0 <\displaystyle x=y^<2>/<2p>\geq 0> .

Уравнение (3) называют каноническим уравнением параболы.

Общая теория кривых второго порядка [ править ]

Канонические уравнения [ править ]

Кривые второго порядка задаются в некоторой аффинной системе координат уравнением

Это уравнение можно преобразовать к матричному виду

a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = [ x y ] [ a 11 a 12 a 12 a 22 ] [ x y ] + 2 [ a 1 a 2 ] [ x y ] + a 0 = [ x y 1 ] [ a 11 a 12 a 1 a 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a 0 ] [ x y 1 ] <\displaystyle a_<11>x^<2>+2a_<12>xy+a_<22>y^<2>+2a_<1>x+2a_<2>y+a_<0>=<\beginx\ y\end><\begina_<11>\ a_<12>\\a_<12>\ a_<22>\end><\beginx\\y\end>+2<\begina_<1>\ a_<2>\end><\beginx\\y\end>+a_<0>=<\beginx\ y\ 1\end><\begina_<11>\ a_<12>\ a_<1>\\a_<12>\ a_<22>\ a_<2>\\a_<1>\ a_<2>\ a_<0>\end><\beginx\\y\\1\end>>

Теорема. Для любой кривой существует прямоугольная система координат, в которой она имеет один из следующих видов (называемых каноническими уравнениями):

Доказательство. Для доказательства покажем как привести общее уравнение (4) кривой к каноническому виду.

Лемма. Подходящим поворотом осей координат можно добиться того, что a 12 ′ = 0 <\displaystyle a'_<12>=0> . Штрих означает коэффициент уравнения в новой системе координат.

Доказательство (леммы). Если a 12 = 0 <\displaystyle a_<12>=0> , поворот не требуется. В противном случае, рассмотрим произвольный поворот

Лемма. Многочлен вида (∗) параллельным переносом приводится к одному из следующих видов:

F ′ = λ 1 x ′ 2 + λ 2 y ′ 2 + 2 b 1 x ′ + 2 b 2 y ′ + b 0 = = λ 1 ( x ′ + b 1 λ 1 ) 2 + λ 2 ( y ′ + b 2 λ 2 ) 2 + ( b 0 − b 1 2 λ 1 − b 2 2 λ 2 ) = = λ 1 ( x ″ ) 2 + λ 2 ( y ″ ) 2 + τ <\displaystyle <\beginF’&=\lambda _<1>x’^<2>+\lambda _<2>y’^<2>+2b_<1>x’+2b_<2>y’+b_<0>=\\&=\lambda _<1>\left(x’+<\frac ><\lambda _<1>>>\right)^<2>+\lambda _<2>\left(y’+<\frac ><\lambda _<2>>>\right)^<2>+\left(b_<0>—<\frac ^<2>><\lambda _<1>>>-<\frac ^<2>><\lambda _<2>>>\right)=&=\lambda _<1>(x»)^<2>+\lambda _<2>(y»)^<2>+\tau \end>>

F ′ = λ 2 y ′ 2 + 2 b 1 x ′ + 2 b 2 y ′ + b 0 = = λ 2 ( y ′ + b 2 λ 2 ) 2 + 2 b 1 x ′ + ( b 0 − b 2 2 λ 2 ) = = λ 2 ( y ″ ) 2 + 2 b 1 x ″ <\displaystyle <\beginF’&=\lambda _<2>y’^<2>+2b_<1>x’+2b_<2>y’+b_<0>=\\&=\lambda _<2>\left(y’+<\frac ><\lambda _<2>>>\right)^<2>+2b_<1>x’+\left(b_<0>—<\frac ^<2>><\lambda _<2>>>\right)=&=\lambda _<2>(y»)^<2>+2b_<1>x»\end>>

F ′ = λ 2 y ′ 2 + 2 b 2 y ′ + b 0 = = λ 2 ( y ′ + b 2 λ 2 ) 2 + ( b 0 − b 2 2 λ 2 ) = = λ 2 ( y ″ ) 2 + τ <\displaystyle <\beginF’&=\lambda _<2>y’^<2>+2b_<2>y’+b_<0>=\\&=\lambda _<2>\left(y’+<\frac ><\lambda _<2>>>\right)^<2>+\left(b_<0>—<\frac ^<2>><\lambda _<2>>>\right)=&=\lambda _<2>(y»)^<2>+\tau \end>>

Вернемся к доказательству теоремы. В соответствии с последней леммой любое уравнение второго порядка можно свести к одному из трех указанных в ней случаях. Рассмотрим каждый из них

Инварианты многочлена второй степени [ править ]

Ортогональными инвариантами являются следующие три функции:

Характеристическим многочленом называется многочлен χ = | [ a 11 − λ a 12 a 12 a 22 − λ ] | <\displaystyle \chi =\left|<\begina_<11>-\lambda \ a_<12>\\a_<12>\ a_<22>-\lambda \end>\right|> . Можно показать, что χ = λ 2 − S λ + δ <\displaystyle \chi =\lambda ^<2>-S\lambda +\delta > .

При доказательстве теоремы о приведении к каноническому виду было показано, что любое уравнение второго порядка можно привести к одному из трех видов. Поскольку при этом применялись только ортогональные преобразования, то инварианты сохранились. Составим таблицу значений инвариантов для разных видов:

Очевидно, тип уравнения второго порядка определяется значением инвариантов:

Рассмотрим какие значения принимают инварианты в зависимости от одного из девяти типов кривых.

Источник