На что делится 1001
Информация о числах
Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители.
Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел.
Сейчас изучают числа:
Число 1001
Одна тысяча один
RGB(0, 3, 233) или #0003E9
(возможное основание)
женственность, чувствительность, интуиция, близость, поддержка, доверие, сотрудничество, мир, дипломатичность
Описание числа 1001
Неотрицательное действительное четырёхзначное число 1001 является составным. Сумма цифр числа: 2. 8 — количество делителей у числа 1001. И сумма этих делителей: 1344. 1001 и 0.000999000999000999 являются обратными числами.
Число 1001 можно представить произведением простых чисел: 7 * 11 * 13.
Системы счисления: двоичная система счисления: 1111101001, троичная система счисления: 1101002, восьмеричная система счисления: 1751, шестнадцатеричная система счисления: 3E9. 1001 байт представляет из себя число байт 1001.
Число не является числом Фибоначчи.
Обратное число 1001 = 0.000999000999001
Двоичная система счисления 10012: 1111101001
Проверка:
| 512 | +512 (2 9 ) | 1 |
| 256 | +256 (2 8 ) | 1 |
| 128 | +128 (2 7 ) | 1 |
| 64 | +64 (2 6 ) | 1 |
| 32 | +32 (2 5 ) | 1 |
| 16 | 0 | |
| 8 | +8 (2 3 ) | 1 |
| 4 | 0 | |
| 2 | 0 | |
| 1 | +1 (2 0 ) | 1 |
Примеры:
четыре тысячи сто пять умножить на одна тысяча один равно четыре миллиона сто девять тысяч сто пять
одна тысяча один плюс восемь миллионов сорок одна тысяча семьсот двадцать два равно восемь миллионов сорок две тысячи семьсот двадцать три
одна тысяча один минус семь миллионов пятьсот шестнадцать тысяч шестьсот девяносто восемь равно минус семь миллионов пятьсот пятнадцать тысяч шестьсот девяносто семь
восемь миллионов восемьсот девяносто восемь тысяч сто пятьдесят шесть минус одна тысяча один равно восемь миллионов восемьсот девяносто семь тысяч сто пятьдесят пять
Было бы логичным предположить, что Вы захотите заказать бизнес-план недорого. Сэкономьте драгоценное время!
Информация о числах
Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители.
Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел.
Сейчас изучают числа:
Число 10001
Десять тысяч один
RGB(0, 39, 17) или #002711
(возможное основание)
женственность, чувствительность, интуиция, близость, поддержка, доверие, сотрудничество, мир, дипломатичность
Описание числа 10001
Целое положительное число 10001 является составным числом. Это полупростое число. 2 — сумма цифр числа. У числа 10001 4 делителя: 1, 73, 137, 10001. 0.00009999000099990002 является обратным числом к 10001.
Данное число представляется произведением простых чисел: 73 * 137.
Глава IX. Разделится или нет?
Число и наука о нем
Остановимся сначала на хорошо знакомых вещах: рассмотрим признак делимости на 9. Он поможет нам лучше понять те методы, которыми пользуются при выводе всевозможных иных признаков делимости.
Признак делимости на 9 основывается на том, что всякое число, имеющее в нашей системе счисления вид единицы с нулями (всякая степень десяти), даёт при делении на 9 остаток 1. Действительно,
Первое слагаемое, составленное сплошь из девяток, очевидно, делится на 9. Поэтому в остатке от деления 10″ на 9 будет обязательно единица.
Если бы «хвост» 4 + 3 + 5 + 1, представляющий собой («сумму цифр» данного числа, делился на 9, то и всё число разделилось бы на 9. Отсюда вывод: если «сумма цифр» данного числа делится на 9, то и само число разделится.
Повторим то же рассуждение, пользуясь понятием сравнения. 10 при делении на 9 даёт в остатке 1, т. е. 10 и 1 сравнимы по модулю 9:
Возводим обе части сравнения в произвольную степень m; получим:
Умножив обе части этого сравнения на любое число N, получим:
Полученный результат можно сформулировать так: произведение любого числа N на степень десяти даёт при Делении на 9 тот же остаток, что и само число N.
Это-не произведение чисел а, b и т. д., а число, содержащее l единиц, Десятков и т. д. Его можно записать и так:
Напишем столбиком ряд сравнений, справедливых на основании только что сказанного:
Сложим почленно эти сравнения. Слева мы получим
Признак делимости на 9 используется в следующем поучительном фокусе. Предложите товарищу написать незаметно для вас любое трёх- или четырёхзначное число, состоящее из различных цифр. Пусть он переставит цифры в каком хочет ином порядке; тогда он получит новое число. Меньшее из этих двух чисел пусть он вычтет из большего. Теперь предложите ему зачеркнуть одну цифру полученной разности и назвать вам сумму незачёркнутых цифр. Вы сейчас же сможете назвать зачёркнутую цифру.
* ( Предлагаем читателю доказать это.)
Рассмотрим теперь какое-нибудь число, например, 57 385. Разобьём его на грани по две цифры в каждой, справо налево, как это делается при извлечении квадратного корня. При этом в крайней левой грани может получиться и одна цифра (что как раз имеет место в нашем примере: 5’73’85). Что представляет собой первая грань? Пять десятков тысяч (5×10000). Каждый десяток тысяч даст при делении на 11 остаток 1, значит, пять десятков тысяч дадут при делении на 11 остаток 5. Следующая грань (73) представляет собой 73 сотни. Каждая сотня даст при делении на 11 остаток 1. Значит, 73 сотни дадут в остатке 73. Остаётся ещё крайняя правая грань: 85. Значит, наше число равно
т. е. числу, делящемуся на 11 + «сумма граней». Отсюда получается следующее правило:
Если сумма граней делится на 11, то и всё число разделится на 11.
563 035 делится на 11. Действительно, разбиение на грани даёт 56’30’35 (здесь первая грань состоит из двух цифр). Складываем грани 56 + 30 + 35 = 121. Сумма граней делится на 11; значит, и 563 035 делится на 11.
* ( Понятно, что в этом случае безразлично, считать ли цифры справа налево или слева направо: если число цифр в числе нечётное, то каждая цифра будет одинаковой чётности и слева и справа, а если число цифр чётное, то при счёте слева и справа чётность цифр изменится, но сумма чётных цифр останется равной или неравной сумме нечётных цифр.)
Пусть читатель подумает сам, как доказать этот признак делимости. Рассуждение будет особенно просто, если использовать понятие сравнения.
Рассмотрим задачу, связанную с признаками делимости на одиннадцать.
Задача. Написать наименьшее делящееся на 11 шестизначное число, первая цифра которого 7 и все цифры различны.
Пишем вслед за семёркой четыре цифры, начиная с нуля, в порядке их роста: 70123. Ясно, что таким образом мы получим наименьшее число нужного нам вида. Остаётся приписать последнюю цифру так, чтобы всё число разделилось на 11.
Совершенно аналогичен признак делимости на 37. Число 1000 и все его степени (т. е. числа, изображаемые единицей с числом нулей, кратным трём) дают при делении на 37 остаток, равный 1. Действительно, 999 делится на 37 (получается 27). Значит,
Если при испытании делимости на 11 мы разбивали число на грани по две цифры в каждой, то при испытании делимости на 37 приходится делить его на грани по три цифры в каждой, тоже справа налево. При этом в крайней левой грани могут получиться одна, две или три цифры. Если сумма граней делится на 37, то и всё число разделится. Например, 25 012 делится на 37: разбивая на грани, получим 25’012; сумма граней равна 25+12 = 37.
Переходим к признакам делимости на 7 и на 13. Они основаны на том, что 1001 делится на 7 и на 13; кстати, 1001 делится и на 11, так что мы, мимоходом, получим третий признак делимости на 11.
Рассмотрим какое-нибудь число, например 357 285. Это число содержит 357 тысяч и 285 простых единиц. Его можно записать так: 357000+285. Прибавим и отнимем от нашего числа число его тысяч, т. е. 357; от этого ничего не изменится; сделаем далее простые преобразования:
* ( Имеются в виду не разряды, а классы тысяч и простых единиц.)
Со свойствами числа 1001 связан любопытный арифметический фокус. Предложите кому-нибудь написать какое угодно трёхзначное число так, чтобы вы не видели, какое. Предложите, далее, приписать к этому числу справа такое же число (если, например, было задумано 167, то получится 167 167). Предложите разделить результат на 7. Всё благополучно разделится, хотя, казалось бы, взятое наугад число вовсе не обязано делиться на 7. Результат предложите разделить на 11; снова всё благополучно разделится! Наконец, последний результат предложите разделить на 13. Деление пройдёт без остатка, и в результате получится первоначально задуманное число.
* ( Жирный шрифт, как и в главах IV и V, обозначает число, записаннное в недесятичной, в данном случае в троичной системе счисления.)
Найдём все системы счисления, в которых признаком делимости любого числа на данное число а является делимость его суммы цифр на число а.
Заметим прежде всего, что этот признак делимости можно сформулировать иначе, именно так: разность между любым числом и суммой его цифр должна делиться на а. Действительно, в этом (и только в этом!) случае из делимости любого числа на а будет следовать делимость на а суммы его цифр и наоборот.
Обратно: из этого равенства следует, что любая степень n при делении на а даст в остатке единицу. В самом деле, наше равенство выражает совершенно то же, что сравнение
возведя это сравнение в любую степень k, получим:
Но если любая степень основания системы счисления даёт при делении на А в остатке единицу, то, повторив слово в слово вывод обычного признака делимости на 3 или на 9, убедимся, что делимость суммы цифр некоторого числа на а обеспечит делимость на а самого этого числа.
Итак, наш признак делимости будет иметь место во всех системах счисления, основание которых на единицу больше произвольного кратного числа а. Например, делимость суммы цифр будет обеспечивать деление числа на 9 не только в десятичной (10 = 1*9+1), но и в девятнадцатиричной (19 = 2*9+1), и в двадцативосьмиричной (28 = 3*9+1), и во всех системах с основанием, равным 9m+1. Ни в каких иных системах счисления этот признак делимости не будет иметь места.
Вот ещё задача: найти наименьшее основание системы счисления, в которой имеют место следующие признаки делимости:
1°. Если сумма цифр некоторого числа делится на 5, то и само число разделится на 5.
2°. Если число, образованное двумя последними цифрами произвольного числа, делится на 7, то и само число разделится на 7.
Из предыдущей задачи мы знаем, что первому условию можно удовлетворить, взяв в качестве основания системы счисления число вида 5m+1:
Займёмся вторым условием. Если делимость некоторого числа на 7 обусловливается делимостью на 7 числа, образованного его двумя последними цифрами, то, значит, единица третьего разряда 100 = n 2 должна делиться на 7 * ; тогда и любое число единиц третьего разряда будет делиться на 7, и вопрос сведётся к исследованию второго и первого разрядов. Итак, n 2 должно делиться на семь: n 2 = 7p. Чтобы правая часть равенства была точным квадратом, число р должно равняться 7, умноженному на точный квадрат: р = 7k 2 ; мы будем иметь
Для определения n получилось два линейных уравнения с тремя неизвестными:
Приравнивая друг другу правые части, получим одно неопределённое линейное уравнение с двумя неизвестными:
Решать такие уравнения в целых числах мы умеем. Без особого труда найдём:
Число 21 и будет ответом на нашу задачу. Наименьшим основанием системы счисления, в которой имеют место данные выше признаки делимости, является число 21.
Разобрав вопрос о связи признаков делимости с различными системами счисления, мы перейдём к таким теоремам о делимости чисел, которые от системы счисления не зависят.
Информация о числах
Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители.
Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел.
Сейчас изучают числа:
Число 10001
Десять тысяч один
RGB(0, 39, 17) или #002711
(возможное основание)
женственность, чувствительность, интуиция, близость, поддержка, доверие, сотрудничество, мир, дипломатичность
Описание числа 10001
Целое положительное число 10001 является составным числом. Это полупростое число. 2 — сумма цифр числа. У числа 10001 4 делителя: 1, 73, 137, 10001. 0.00009999000099990002 является обратным числом к 10001.
Данное число представляется произведением простых чисел: 73 * 137.