на каком графике верно изображена функция y x 2 x
Построение графиков функций
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
У нас есть отличные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы! Приходи на пробное занятие с нашими лучшими преподавателями!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
На каком графике верно изображена функция y x 2 x
На рисунке изображён график квадратичной функции y = 
.
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) 
= 
2) Наибольшее значение функции равно 3.
3) 
при 
Проверим каждое утверждение.
1) = Первое утверждение верно.
2) Наибольшее значение функции равно 4. Второе утверждение неверно.
3) при Третье утверждение верно.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) Наибольшее значение функции равно 9.
3) f( x )>0 при x f(1). Второе утверждение верно.
3) На луче (−∞; 0) функция принимает как положительные так и отрицательные значения. Третье утверждение неверно.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) 
при x 0 при −1 Ответ: 12.
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) Функция убывает на промежутке [1; +∞)
2) Наименьшее значение функции равно – 4
3) f(−2) f(3). Третье утверждение неверно.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = .
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) Функция возрастает на промежутке [2; +∞)
2) при 
3) 
Проверим каждое утверждение.
1) Из графика видно, что функция убывает на промежутке [2; +∞). Значит, первое утверждение неверно.
2) Из графика видно, что при 
Второе утверждение верно.
3) Из графика видно, что 
= 
Третье утверждение неверно.
Заметим, что при оценке справедливости утверждения о том, что на некотором промежутке, достаточно убедиться, что во всех точках этого промежутка. При этом не требуется, чтобы во всех точках, не принадлежащих этому промежутку, условие не выполнялось. Другими словами, значения функции могут быть больше 0 и при других значениях аргумента.
На каком графике верно изображена функция y x 2 x
На рисунке изображён график квадратичной функции y = .
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) =
2) Наибольшее значение функции равно 3.
3) при
Проверим каждое утверждение.
1) = Первое утверждение верно.
2) Наибольшее значение функции равно 4. Второе утверждение неверно.
3) при Третье утверждение верно.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) Наибольшее значение функции равно 9.
3) f( x )>0 при x f(1). Второе утверждение верно.
3) На луче (−∞; 0) функция принимает как положительные так и отрицательные значения. Третье утверждение неверно.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) при x 0 при −1 Ответ: 12.
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) Функция убывает на промежутке [1; +∞)
2) Наименьшее значение функции равно – 4
3) f(−2) f(3). Третье утверждение неверно.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = .
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) Функция возрастает на промежутке [2; +∞)
2) при
3)
Проверим каждое утверждение.
1) Из графика видно, что функция убывает на промежутке [2; +∞). Значит, первое утверждение неверно.
2) Из графика видно, что при Второе утверждение верно.
3) Из графика видно, что = Третье утверждение неверно.
Заметим, что при оценке справедливости утверждения о том, что на некотором промежутке, достаточно убедиться, что во всех точках этого промежутка. При этом не требуется, чтобы во всех точках, не принадлежащих этому промежутку, условие не выполнялось. Другими словами, значения функции могут быть больше 0 и при других значениях аргумента.
На каком графике верно изображена функция y x 2 x
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера в порядке возрастания.
1) Функция возрастает на промежутке (−∞; −1].
2) Наибольшее значение функции равно 8.
Проверим каждое утверждение.
1) На луче (−∞; −1] большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, функция возрастает на этом луче; первое утверждение верно.
2) Наибольшее значение функции равно 9, а не 8, как сказано во втором утверждении. Второе утверждение неверно.
3) Значения функции в точках −4 и 2 равны нулю, поэтому f(−4) = f(2). Третье утверждение неверно.
В ответе следует указать номера неверных утверждений, то есть 23.
Заметим, что если функция непрерывна на промежутке [a; b] и возрастает (убывает) на промежутке (a; b), то она возрастает (убывает) на промежутке [a; b]. Таким образом, утверждение, что данная функция возрастает на промежутке (−∞; −1], является верным, хотя точка −1 является точкой максимума функции.
На рисунке изображён график функции вида 
. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
| УТВЕРЖДЕНИЯ | ПРОМЕЖУТКИ | |||||||||||
и убывает на промежутке 
Таким образом, из приведённых промежутков функция только возрастает на промежутке 
убывает на промежутке 
то при 
функция возрастает, при 
— убывает. Значению 
соответсвует значение функции в точке 
задаёт убывающую функцию, пересекающую ось ординат в точке 4.
задаёт возрастающую функцию, пересекающую ось ординат в точке −4.
задаёт возрастающую функцию, пересекающую ось ординат в точке 4.| УТВЕРЖДЕНИЯ | ПРОМЕЖУТКИ | |||||||||
А)  | Б)  | В)  |
и убывает на промежутке 
Следовательно, на данных промежутках функция возрастает на третьем промежутке и убывает на первом.
. Укажите номер этого рисунка.
. Укажите номер этого рисунка.
. Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.
пересекает график в точках 
и 
и затем возрастает на 
.
—>1)  | 2)  | 3)  | 4)  |
Ветви изображённой на рисунке параболы направленны вверх, а абсцисса вершины отрицательна. Следовательно, данному графику могут соответствовать функции или 
Выделим полный квадрат в обоих выражениях:
Графику соответствует вариант под номером 3.
Приведем другое решение.
Ветви изображённой на рисунке параболы направленны вверх, а абсцисса вершины отрицательна. Следовательно, данному графику могут соответствовать функции или Найдем координаты вершин параболы:
Формула 1: 
Формула 3: 
Следовательно, графику соответствует вариант под номером 3.
График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
Изображённая на рисунке гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику могут соответсвовать функции или 
При 
ордината функции на графике равна 5, следовательно, это график функции 
Установите соответствие между функциями и их графиками.
А) 
Б) 
В) 
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Все представленные здесь функции — гиперболы. Общая формула для уравнения гиперболы: 
, если 
, то ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях, в противном случае — во второй и четвёртой четвертях.
Для того, чтобы отличить гиперболы лежащие в одинаковых четвертях нужно подставить какое-нибудь значение 
в формулу и проверить, какому графику будет соответствовать полученное значение.
Таким образом, установим соответствие: А — 4, Б — 3, В — 2.
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.
4) a 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два корня, то есть график функции y = ax 2 + bx + c имеет два пересечения с осью абсцисс. Если D Ответ: 1243.
На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Если парабола задана уравнением 
, то: при 
то ветви параболы направлены вверх, а при 
— вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно.
Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А — 1, Б — 3, В — 2.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1) 
2) 
3) 
4) 
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.
Определим вид графика каждой из функций.
1) — уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.
2) — уравнение прямой.
3) — уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.
4) — уравнение гиперболы.
Тем самым найдено соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1)  | 2)  | 3)  | 4) |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Определим вид графика каждой из функций.
1) 
— уравнение прямой.
2) 
— уравнение гиперболы.
3) — уравнение параболы, ветви которой направленны вниз.
4) — уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1)  | 2)  | 3)  | 4)  |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Определим вид графика каждой из функций.
1) — уравнение гиперболы.
2) 
— уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.
3) — уравнение прямой.
4) — уравнение параболы, ветви которой направленны вниз.
Установите соответствие между функциями и их графиками.
А)
Б)
В)
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Напомним, что если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при — вниз; абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле 
парабола пересекает ось Oy в точке с.
Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины равна 
, она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 4).
Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины равна 
, она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 1).
Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз, абсцисса вершины равна , она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 3).
Тем самым, искомое соответствие: А—4, Б—1, В—3.