на каком отрезке находится арксинус числа

Арксинус

Что такое арксинус?

Понятие арксинуса появляется в ходе решения задачи нахождения числа по данному значению синуса этого числа.

Найдём функцию, обратную к функции y=sin x. Для этого выберем промежуток [-π/2; π/2], на котором функция y=sinx строго монотонна (возрастает), то есть выполняется условие обратимости:

1) В формуле функции y=sin x на место x подставляем y, на место y — x:

2) Из полученного равенства нужно выразить y через x. Для этого вводится определения арксинуса (арксинус x обозначают как arcsin x).

Определение

Арксинусом числа a называется такое число b из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен a:

Таким образом, решение уравнения x=sin y на [-π/2; π/2] —

Так как функция y=sin x определена на промежутке [-π/2;π/2] и принимает на этом промежутке все значения [-1; 1], то область определения арксинуса — промежуток [-1; 1], область значений — [-π/2;π/2].

Таблица значений синуса из промежутка [-π/2; π/2] —

Соответственно, таблица значений арксинуса —

Графики взаимно обратных функций y=arcsinx и y=sinx (на рассматриваемом промежутке) симметричны относительно прямой y=x:

В алгебре (точнее, в тригонометрии. Раньше тригонометрия изучалась отдельным от алгебры и геометрии курсом) арксинус нужен для решения тригонометрических уравнений вида sin x=a.

Источник

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Повторим определение еще раз:

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

Строим график функции

1. Область определения

2. Область значений

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Вот график арккосинуса:

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

1. Область определения

2. Область значений

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Источник