на какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень

Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?

Решение

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось

;

с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости v_y=0, а :

. (1)

Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v_0y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось:

(2)

и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения:

, (3)

. (4)

Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется, так как . Вычтем почленно (4) из (3), и с учетом (2) получим:

. (5)

Из (5) находим v_0y: .

Далее из (1) находим высоту подъема: .

Решение

Поскольку , то

. (1)

Далее, из получим

. (2)

Решение

Теперь находим полное ускорение: .

С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

Решение

На ракету действует сила притяжения Земли, которая по закону всемирного тяготения равна:

,

где m – масса ракеты, М_З – масса Земли, r=R_Земли+h – расстояние до центра Земли. Элементарная работа против силы тяжести при перемещении ракеты вверх на dr равна: dA=Fdr; полная работа при перемещении ракеты от поверхности Земли до высоты h рассчитывается интегрированием:

.

По закону сохранения энергии кинетическая энергия, которой обладала ракета на Земле, будет израсходована на работу против силы притяжения: . Тогда получим уравнение:

.

После сокращения на m и подстановки r=R_Земли+h получим выражение для высоты:

.

Здесь учтено, что — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузы массой 0.1 кг и 0.11 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы? Найти силы натяжения шнура по обе стороны блока. Масса блока 0.4 кг.

Решение

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, для обоих грузиков (рис.1):

Здесь учтено, что модули ускорений обоих грузов одинаковы, так как шнур считаем нерастяжимым.

За положительное направление вращения блока примем вращение по часовой стрелке; запишем для него закон динамики вращательного движения:

где I – момент инерции сплошного диска (или цилиндра):

; (4)

ε – угловое ускорение блока, связано с линейным ускорением обода блока и шнура (предполагаем, что проскальзывания нет):

, (5)

здесь R – радиус блока; модули моментов сил натяжения шнура относительно оси вращения:

Решая систему уравнений (1-7), получим:

,

откуда находим ускорение:

,

а затем из (1) и (2) – силы натяжения шнура:

Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения со скоростью 10 см/с, ударяется о стенку и откатывается от нее со скоростью 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе.

Решение

Будем считать стенку массивной и неподвижной. Тогда по закону сохранения энергии выделившаяся при ударе теплота равна изменению механической энергии шара:

Полная кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, так как качение тела является суперпозицией этих двух движений:

. (2)

Так как качение происходит без проскальзывания, то линейная скорость движения центра масс и угловая скорость вращения связаны соотношением:

где R – радиус шара, I – момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс:

. (4)

Подставив (3) и (4) в (2), получим формулу для энергии катящегося шара:

. (5)

Аналогично, начальная кинетическая энергия шара:

. (6)

Подставляем (5) и (6) в (1) и получаем искомую теплоту:

Однородный медный стержень длиной 1 м равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разорвется?

Решение

Найдем зависимость силы натяжения F стержня от координаты x. На расстоянии x от оси вращения выделим фрагмент стержня бесконечно малой длины dx и массой

На него действуют силы: сила натяжения стержня F – вверх, сила натяжения стержня F+dF (со стороны нижней части стержня) – вниз и сила тяжести gdm – тоже вниз (рис.2). Запишем второй закон Ньютона для массы dm:

где а=ω 2 x – центростремительное ускорение. Отсюда

.

Зависимость F(x) теперь можно найти, интегрируя предыдущее выражение или найдя первообразную от выражения () и учтя очевидное граничное условие: F(l)=0:

.

Максимальное натяжение будет при x=0:

,

а соответствующее механическое напряжение приравняем к пределу прочности:

.

Решаем полученное уравнение относительно угловой скорости и затем находим частоту:

.

Решение

Колебания груза в масле являются затухающими, их круговая частота:

,

где – круговая частота собственных незатухающих колебаний; – коэффициент затухания. Тогда частота затухающих колебаний .

Шуму на оживленной улице соответствует уровень громкости 70 фон, крику – 80 фон. Какой будет уровень громкости звука, полученного в результате сложения крика и шума улицы? Считать частоту равной 1 кГц.

Решение

Для частоты 1000 Гц уровень громкости по определению совпадает с уровнем интенсивности, выраженному в децибелах, тогда .

Выразим интенсивность звука: , тогда получим для шума и для крика соответственно интенсивности звука: ; . Интенсивность результирующего звука можно найти сложением интенсивностей двух звуков, поскольку интенсивность – энергетическая характеристика звуковой волны и характеризует среднюю плотность потока энергии, переносимой волной:

Теперь можно найти уровень громкости по определению:

.

Импульс релятивистской частицы массой m равен mС. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз при этом возрастет энергия частицы: 1) кине­тическая; 2) полная?

Решение

Воспользуемся формулой взаимосвязи импульса и полной энергии: . Тогда получим для двух состояний частицы:

,

,

откуда . Кинетическая энергия равна разности полной и энергии покоя: . Тогда

,

.

И, наконец: .

Ответ: ; .

Решение

Массовый расход жидкости – это, аналогично объемному расходу, масса жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени:

.

. (1)

Считаем течение ламинарным вплоть до критического числа Рейнольдса, тогда

, (2)

где кинематическая вязкость связана с динамической:

, (3)

а средняя скорость движения жидкости v позволит найти путь, пройденный частицами воды за время dt: dl=vdt и объем протекшей через поперечное сечение S за это время жидкости:

Решая систему уравнений (1-4), получим: , далее . Наконец, выразим площадь сечения трубы через диаметр: , тогда

.

Источник

Примеры решения задач. Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с

Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?

Решение

;

с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости v_y=0, а :

. (1)

Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v_0y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось:

(2)

и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения:

, (3)

. (4)

Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется, так как . Вычтем почленно (4) из (3), и с учетом (2) получим:

. (5)

Из (5) находим v_0y: .

Далее из (1) находим высоту подъема: .

Решение

Поскольку , то

. (1)

Далее, из получим

. (2)

1. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. Какова была начальная скорость тела? На какую высоту поднялось тело?

2. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через 2 секунды мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

3. Тело падает вертикально с высоты 19.6 м без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за первую 0.1 с своего движения? За последнюю 0.1 с своего движения?

4. Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.

6. Поезд, движущийся со скоростью 72 км/ч, проходит от начала торможения до остановки расстояние 1 км. Чему равно ускорение? Найти скорость поезда у светофора, находящегося в середине тормозного пути.

7. Зависимость координаты тела от времени дается уравнением x=9t–6t 2 +t 3 (координата – в метрах, время – в секундах). Найти зависимость скорости и ускорения от времени; путь, перемещение, скорость и ускорение тела через 2 секунды после начала движения. Движение прямолинейное.

9. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения тела имеет вид: x=2+3t+0.01t 3 (координата – в метрах, время – в секундах). Каковы скорость и ускорение в моменты времени 0 с и 10 с от начала движения?

10. Тело падает вертикально с высоты 19.6 м без начальной скорости. За какое время тело пройдет первый метр своего пути? Последний метр своего пути?

11. Камень бросили вверх на высоту 10 м. Через сколько времени он упадет на землю? На какую высоту поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?

12. Тело падает без начальной скорости с высоты 490 м. Определить перемещение тела в последнюю секунду падения.

13. Камень, брошенный горизонтально с высоты 2 м над землей, упал на расстоянии 7 м от точки бросания (по горизонтали). Найти его первоначальную и конечную скорости.

14. Камень брошен горизонтально с высоты 30 м с начальной скоростью 30 м/с. На каком расстоянии по горизонтальному направлению и под каким углом к горизонту он упал?

15. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м со скоростью 15 м/с. Через сколько времени тело упадет на землю? На каком расстоянии от места бросания по горизонтали упадет тело и какова будет его скорость в момент падения?

16. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении, упало на расстоянии 40 м от основания башни под углом 45 0 к горизонту. Найти высоту башни и начальную скорость тела.

17. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с, упало на землю на расстоянии, вдвое большем, чем высота башни. Найти высоту башни.

20. Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40 0 к горизонту. Найти: на какую высоту поднимется мяч; на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю; сколько времени он будет в движении; под каким углом к горизонту летел мяч на половине максимальной высоты.

21. Тело брошено под углом к горизонту. Продолжительность полета 2.2 с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

22. Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со скоростью 10 км/ч, а обратно – 16 км/ч. Найти среднюю скорость парохода и скорость течения реки.

23. Движение двух материальных точек выражается уравнениями:

x₁=20+2t–4t 3 и x₂=2+2t+0.5t 3 (координаты в метрах, время в секундах). В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

24. Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью 10 км/ч, вторую треть со скоростью 20 км/ч и последнюю треть – со скоростью 60 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.

25. Тело начинает падать со скоростью 16 м/с, находясь на высоте 200 м. Определить, через сколько времени тело достигнет земли, если начальная скорость направлена: а) вверх; б) вниз. Доказать, что скорость приземления в обоих случаях одинакова.

26. Тело свободно падает и последние 196 м пути проходит за 4 секунды. Сколько времени падало тело? Чему равна высота?

27. Тело брошено под углом 30 0 к горизонту. С какой скоростью было брошено тело и какова горизонтальная дальность его полета, если оно находилось в полете 2 с? Какова максимальная высота подъема тела?

28. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения проходит половину всего пути. Найти, с какой высоты падает тело; продолжительность его падения.

29. Фонарь, находящийся на расстоянии 3 м от вертикальной стены, бросает на нее световой «зайчик». Фонарь равномерно вращается вокруг вертикальной оси с частотой 0.5 Гц. При вращении фонаря «зайчик» бежит по стене по горизонтальной прямой. Найдите скорость «зайчика» через 0.1 с после того, как луч света был перпендикулярен стене.

Источник

• ← на какую максимальную высоту можно поднять воду
• на какую максимальную высоту поднимается птица →