На основании какого свойства показательной функции можно утверждать что 7 9

На основании какого свойства показательной функции можно утверждать что 7 9

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

Примеры решения задач

Задача 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y(x)				1	2	4	8

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = 2 x возрастает на всей области определения D(y)=R, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задача 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции . Для этого найдем значения функции при x = 0, ±1, ±2, ±3.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y(x)	8	4	2	1

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y)=R, так как основание функции 0

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать любое значение: D(y)=R, при этом область значений функции: E(y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти область значений функции:

Решение.

Область значений показательной функции y = 2 x – все положительные числа, т. е. 0 x x

2. y = +1

умножаем все части двойного неравенства на 3:

из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какая функция называется показательной;

— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D_(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

При a>1 функция монотонно возрастает.

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.

1) Область определения функции – любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.

Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.

Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:

Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|

2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|0.

Источник

На основании какого свойства показательной функции можно утверждать что 7 9

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII

§ 179 Основные свойства показательной функции

В этом параграфе мы изучим основные свойства показательной функции

Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1.

Свойство 1. Областью определения показательной функции является совокупность всех действительных чисел.

В самом деле, при положительном а выражение а x определено для любого действительного числа х.

Свойство 2. Показательная функция принимает только положительные значения.

Действительно, если х > 0, то, как было доказано в § 176,

Если же х x =

где — х уже больше нуля. Поэтому а — x > 0. Но тогда и

а x = > 0.

2-е свойство показательной функции имеет простое графическое истолкование. Оно заключается в том, что график этой функции (см. рис. 246 и 247) располагается целиком выше оси абсцисс.

Это свойство показательной функции также допускает простую геометрическую интерпретацию. При а > 1 (рис. 246) кривые у = а x располагаются выше прямой у = 1 при х > 0 и ниже прямой у = 1 при х x располагаются ниже прямой у = 1 при х > 0 и выше этой прямой при х 1 и х — произвольное положительное число. Покажем, что

Поскольку а > 1, то и а m > 1, Но корень из числа, большего единицы, очевидно, также больше 1.

Если х иррационально, то существуют положительные рациональные числа х’ и х», которые служат десятичными приближениями числа x :

Как показано выше, число а x’ больше единицы. Поэтому и число а x , большее, чем а x’ , также должно быть больше 1,

Итак, мы показали, что при a >1 и произвольном положительном х

Если бы число х было отрицательным, то мы имели бы

а x =

где число —х было бы уже положительным. Поэтому а — x > 1. Следовательно,

а x = 1 и произвольном отрицательном x

Это вытекает из определения нулевой степени; нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1. Графически это свойство выражается в том, что при любом а кривая у = а x (см. рис. 246 и 247) пересекает ось у в точке с ординатой 1.

Итак, при a > 1 функция у = а x является монотонно возрастающей. Аналогично доказывается, что при а x является монотонно убывающей.

Следствие. Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели.

Другими словами, если

Действительно, если бы числа b и с были не равны, то в силу монотонности функции у = а x большему из них соответствовало бы при а >1 большее, а при а b > а c , или а b c . И то и другое противоречит условию а b = а c . Остается признать, что b = с.

Свойство 6. Если а > 1, то при неограниченном возрастании аргумента х (х —> ∞) значения функции у = а x также неограниченно растут (у —> ∞). При неограниченном убывании аргумента х (х —> —∞) значения этой функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у—>0; у > 0).

Если 0 ∞) значения функции у = а x стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у—>0; у > 0). При неограниченном убывании аргумента х (х —> —∞) значения этой функции неограниченно растут (у —> ∞).

В силу монотонности функции у = а x можно сказать, что в этом случае функция у = а x монотонно убывает от ∞ до 0.

6-е свойство показательной функции наглядно отражено на рисунках 246 и 247. Строго доказывать его мы не будем.

Нам осталось лишь установить область изменения показательной функции у = а x (а > 0, а =/= 1).

Выше мы доказали, что функция у = а x принимает только положительные значения и либо монотонно возрастает от 0 до ∞ (при а > 1), либо монотонно убывает от ∞ до 0 (при 0 x при своем изменении каких-нибудь скачков? Любые ли положительные значения она принимает? Вопрос этот решается положительно. Ecли а > 0 и а =/= 1, то, каково бы ни было положительное число у₀ обязательно найдется х₀, такое, что

(В силу монотонности функции у = а x указанное значение х₀ будет, конечно, единственным.)

Доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы. Геометрическая интерпретация его состоит в том, что при любом положительном значении у₀ график функции у = а x обязательно пересечется с прямой у = у₀ и притом лишь в одной точке (рис. 248).

Отсюда можно сделать следующий вывод, который мы формулируем в виде свойства 7.

Свойство 7. Областью изменения показательной функции у = а x (а > 0, а =/= 1) служит множество всех положительных чисел.

1368. Найти области определения следующих функций:

1369. Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1:

1370. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что

1371. Какое число больше:

1372. Равносильны ли неравенства:

1374. 1) Можно ли среди всех значений функции у = 2 x выделить:

а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?

2) Можно ли среди всех значений функции у = 2 | x| выделить:

а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какая функция называется показательной;

— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D_(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

При a>1 функция монотонно возрастает.

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.

1) Область определения функции – любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.

Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.

Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:

Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|

2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|0.

Источник

Показательная функция, её график и свойства.

Описание презентации по отдельным слайдам:

ГОУ СПО Краснодарский краевой базовый медицинский колледж МЗ КК «Показательная функция» Автор преподаватель математики Высоцкая В.М.

Цель: Рассмотрение основных свойств показательной функции. Построение графика. Решение показательных уравнений. Решение показательных неравенств.

Показательные уравнения Определение Простейшие уравнения Способы решения сложных уравнений

Определение Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Примеры:

Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.

Способы решения сложных показательных уравнений. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Замена переменной Деление на показательную функцию

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Данный способ используется, если соблюдаются два условия: 1) основания степеней одинаковы; 2) коэффициенты перед переменной одинаковы Например:

Показательные неравенства Определение Простейшие неравенства Решение неравенств

Определение Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Примеры:

Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида: где a > 0, a  1, b – любое число.

При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции. Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что и при решении показательных уравнений.

Построение графика Сравнение чисел с использованием свойств показательной функции Сравнение числа с 1 а) аналитический способ; б) графический способ.

Задача 2 Сравнить числа Решение Ответ:

Задача 4 Cравнить число р с 1 р = 2 > 1, то функция у = 2t – возрастающая. 0 1. Ответ: > 1 р =

Простейшие показательные уравнения Уравнения, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Уравнения, решаемые заменой переменной случай 1; случай 2. Уравнения, решаемые делением на показательную функцию случай 1; случай 2.

Деление на показательную функцию Ответ: 0

Деление на показательную функцию Ответ: 0; 1.

Простейшие показательные неравенства Двойные неравенства Неравенства, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Неравенства, решаемые заменой переменной

Простейшие показательные неравенства

Решение показательных неравенств Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: х >3 Т.к. 3 > 1, то знак неравенства остается прежним : 10

Решение показательных неравенств Метод: Замена переменной Ответ: х 1, то

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Показательная функция — это одна из интереснейших функций в математике, и рассказ о ней мы начнём с древней индийской легенды.

Однажды царь узнал, что в его стране один мудрец изобрел замечательную игру — шахматы. Царь приказал доставить мудреца к себе во дворец, сыграл с ним несколько партий, и шахматы очень понравились ему. В восторге царь сказал мудрецу: «Выбирай себе любую награду. Всё получишь, чего ни пожелаешь!» А мудрец ответил: «Пусть на первую клетку шахматной доски положат одно пшеничное зерно. На вторую — два, на третью — четыре, и на каждую следующую в два раза больше, чем на предыдущую. Всё это зерно и будет моей наградой».

Царь рассмеялся, решив, что мудрец, должно быть, спятил, раз просит о такой ничтожной вещи, как кучка зерна, но приказал слугам всё исполнить. И на первую клетку шахматной доски положили одно зерно (2 0 = 1), на вторую два (2 1 = 2), на третью 2 2 = 4. На десятой клетке уже не помещались 2 9 = 512 зёрен.

Несколько дней царский казначей вычислял требуемое количество зёрен. Оказалось, что выполнить просьбу мудреца невозможно — даже если все поля нашей планеты засеять пшеницей! Зависимость, о которой говорится в легенде, описывается показательной функцией.

Источник