На плоскости проведены 10 прямых так что никакие две не параллельны

Разбиние плоскости прямыми

Всем привет. Есть задача, вот условие:
Никакие 2 прямые не параллельны и никакие 3 прямые не пересекаются в 1 точке.
1)Найти число точек пересечения n прямыми.
2)Найти число треугольников
3)На сколько частей разбивается плоскость.

с 1 и 2 пунктов справился. Вопрос:
1)Следует ли ответ на 3 пункт каким-то образом из 1 и 2.
2)Как подсчитать число закрытых частей, образованных прямыми.

Угол между прямыми на плоскости
Добрый вечер уважаемые форумчане. Решаю задачу по нахождению угла между двумя прямыми заданными с.

Расстояние между прямыми на плоскости.
Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, как найти расстояние между прямыми на плоскости.

Найти уравнения плоскости с прямыми
Написать уравнения плоскости которая имеет прямую x=3t+1, y=2t+3, z=-t-2, и параллельные прямые.

Решение

Добавлено через 2 минуты

Ну вот и встретились два одиночества

вы нашли количество «внутренних» областей, которых действительно три (Кр, Син, Зел)

Добавлено через 52 секунды
Так же очевидно, как и (1)

Давайте, упрости решение задачи для пункта 3 (1 и 2 решаются просто):
Пусть T(n) количество плоскостей образованных n прямями.
Рассмотри крайние случай:
1.n = 0 => T(0) = 1;
2.Если на плоскости проведено n-1 линия, то сколько добавит плоскостей n-ая линия?
Заметим, что
T(n) = n + T(n-1)

Таким образом получаем простенькую реккуренту:
T(0) = 1; T(n) = n + T(n-1)

После разрешения этой реккурентны получим T(n) в явном виде:

Добавлено через 4 минуты
Остальные пункты решал так:
Пункт1: в силу условия задачи (никакие 3 прямые не пересекаются в 1 точке и никакие 2 не параллельны), мы может утверждать, что любые 2 прямые обязательно пересекуться. Таким образом количество точек пересечения равно числу сочетания C(n,2) = n * (n-1) / 2

Как найти угол между двумя прямыми на плоскости по известным точкам
Есть 2 прямые, для которых известна точка пересечения и еще по одной точке для каждой прямой.

Найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости
Суть заключается вот в чём Заданы уравнения пересекающихся прямых на плоскости Y=k1x+b1 и y=k2x+b2.

Определить, принадлежит ли точка области плоскости, ограниченной прямыми
Разветвления Определить, принадлежит ли точка области плоскости, ограниченной прямыми x-y=-2.

Определить, принадлежит ли точка области плоскости, ограниченной прямыми
Определить, принадлежит ли точка области плоскости, ограниченной прямыми x-y=-5, 3x-y=2, x+3y=2.

Определить принадлежит ли точка области плоскости, ограниченной прямыми
Определить принадлежит ли точка области плоскости, ограниченной прямыми х-у=-2, х-у=2, х+у=-2.

Проверить принадлежит ли точка части плоскости между заданными прямыми
Составить линейную программу, которая печатает значение true, если указанное высказывание является.

Источник

На плоскости проведены 10 прямых так что никакие две не параллельны

На плоскости проведено 300 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее 100 треугольников.

Решение

Возьмём одну из данных прямых и рассмотрим все точки пересечения данных прямых, не лежащие на выбранной прямой, и выберем среди них ближайшую. Среди кусков, на которые разрезана плоскость, есть треугольник, одна вершина которого — выбранная точка, а две другие лежат на выбранной прямой. Действительно, треугольник, образованный выбранной прямой и двумя прямыми, проходящими через выбранную точку, не могут пересекать другие прямые. Мы сопоставили каждой прямой треугольник, причём один и тот же треугольник не может соответствовать более чем трём разным прямым. Поэтому количество треугольников не меньше 300/3 = 100.

Примечание Problems.Ru : На самом деле, среди кусков разбиения найдется не менее 298 трегольников (см. статью «Треугольники и катастрофы» Канель, Ковальджи, «Квант» 11, 1992г.)

Замечания

Примечание Problems.Ru : На самом деле, среди кусков разбиения найдется не менее 298 трегольников.

Источники и прецеденты использования

Источник