Найди пересечение множеств к и м что ты замечаешь
1. а) Реши задачу, составляя выражение:
«Три одинаковых торта весят 12 кг. Какова масса 5 таких же тортов?»
б) Составь и реши обратные задачи.
Все ли варианты обратных задач рассмотрены? Что в них общего и чем они различаются? Почему такие задачи называются задачами «на приведение к единице»?
2. а) Реши задачу разными способами: «На 2 м 2 земли посадили 16 кустов клубники. На какой площади можно разместить 80 кустов клубники при сохранении плотности посадки?»
б) Составь задачу по выражению: 27:(15:5).
3. а) За 5 одинаковых конвертов заплатили 45 руб. Сколько таких конвертов можно купить за 72 рубля?
б) Из 27 м ткани сшили 9 одинаковых платьев. Сколько таких платьев можно сшить из 60 м этой ткани?
4. Пусть М=<а; ☐>, К=
а) Являются ли множества М и К подмножествами D? Сделай запись, используя знаки ⊂ и ⊄.
б) Нарисуй диаграмму множеств М, К и D.
5. Пусть К=
а) Какое из этих множеств является подмножеством другого?
б) Нарисуй диаграмму Эйлера-Венна множеств К и М.
в) Вставь пропущенные знаки ∈ или ∉.
г) Найди пересечение множеств К и М. Что ты замечаешь?
Сделай вывод.
6. Построй два отрезка так, чтобы их пересечением были: а) отрезок; б) точка; в) пустое множество.
7. Одна сторона треугольника равна 60 см, другая сторона в 3 раза меньше первой, а третья сторона на 27 см меньше суммы первой и второй сторон. Чему равен периметр треугольника.
8. а) Отметь на числовом луче двузначные числа, кратные 16.
б) Выполни деление с остатком.
9. Два отца и два сына делили 3 апельсина. Может ли достаться каждому по 1 апельсину?
10. Запиши решение примеров.
1. Объясни с помощью рисунка, как найти произведение чисел 24 и 8. Рассмотри различные способы записи умножения в столбик. Какой из этих способов наиболее удобный?
2. Вычисли.
3. Вычисли произведения, используя запись в столбик.
4. Запиши с помощью фигурных скобок:
а) множество двузначных чисел, меньших 14.
б) множество трехзначных чисел, больших 998.
в) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 5, 8, 1 (цифры в записи числа не повторяются).
5*. А=<0; 5; 7>, B=<0; 3; 5; 7; 9>.
а) Какое из этих множеств является подмножеством другого? Сделай запись.
б) Нарисуй диаграмму Эйлера-Венна множеств А и В.
в) Найди объединение множеств А и В.
Что ты замечаешь? Сделай вывод.
6. С=
9. Прочитай задачи. Чем они похожи и чем различаются? Являются ли они взаимно обратными? Сделац краткую запись этих задач и реши их.
а) В 3 одинаковых ящика разложили 15 кг винограда. Сколько винограда уместится 40 ящиках?
б) В 3 одинаковых ящика разложили 15 кг винограда. Сколько потребуется таких ящиков, чтобы разложить 40 кг винограда?
10. Как увеличить число на 3 единицы, в 10 раз? Как уменьшить число на 5 единиц, в 2 раза? Заполни таблицу.
11. Составь программу действий и вычисли.
13. а) Отметь на числовом луче двузначные числа, кратные 18.
б) Выполни деление с остатком.
14. В трех автобусах едут 99 человек. В первом автобусе едут 42 человека. Это на 6 человек больше, чем во втором автобусе. Во сколько раз в третьем автобусе меньше людей, чем в первом?
15. Звездочками обозначены некоторые цифры. Объясни, правильно ли решены примеры.
16. Найди закономерность и нарисуй фигуру в пустой клетке таблиц.
4. Определи по рисункам, каким свойством обладают элементы пересечения множеств А и В. Обведи общую часть диаграммы этих множеств цветным карандашом.
5. Даны множества М и К. Запиши с помощью фигурных скобок множество М∩К. Отметь элементы множеств М и К на диаграмме Эйлера-Венна и обведи цветным карандашом множество М∩К.
6. На каждом рисунке закрась цветным карандашом множество А∩В.
7. Множества А и В на рисунке не имеют общих элементов. Такие множества называются непересекающимися. Приведи свои примеры непересекающихся множеств и допиши равенство.
8. Начерти два треугольника так, чтобы их пересечением были: а) шестиугольник; б) пятиугольник; в) четырехугольник; г) треугольник; д) отрезок; е) точка; ж) пустое множество.
10. Найди значения выражений.
11. Подбери корни уравнения.
Математика часто оперирует абстрактными объектами, для задания связи между которыми существуют различные операции, такие как пересечение и объединение множеств. Понятие множества является интуитивным, не определяемым. Оно обычно ассоциируется с набором чего-либо, группой каких-то предметов или живых объектов, совокупностью некоторых условий, рассматривается как класс, семейство в некоторой классификации, промежуток числовой прямой. Например, в геометрии рассматриваются линии как множества точек.
То, из чего состоит множество, называется его элементами.
Графическим изображением, служащим для наглядности рассматриваемых объектов, является круг Эйлера.
Что такое пересечение множеств
Для любого набора множеств их пересечением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из заданных. Другими словами, это совокупность всех общих элементов.
С помощью кругов Эйлера-Венна пересечение можно изобразить так:
Часто применяется для определения решений систем уравнений и неравенств.
Ассоциируется с обычным умножением двух числовых объектов.
Что такое объединение множеств
Изображение кругами Эйлера выглядит следующим образом:
Часто используется при решении уравнений и неравенств, подчёркивая наличие серий корней и решений, нескольких используемых промежутков числовой прямой.
В обычной математике близко по смыслу с операцией, называемой «сложение».
Свойства пересечения и объединения множеств
Для решения задач нужно знать о следующих свойствах:
1. Коммутативность (перестановочность):
Эти свойства распространяются на любое количество компонентов. Следуют из определения операций.
2. Ассоциативность (расстановка скобок):
Данные свойства также применимы к большому количеству компонентов. Позволяют опускать скобки и упрощать запись.
3. Дистрибутивность (раскрытие скобок):
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
4. Закон идемпотентности (идентичности):
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается перечёркнутым нулём: Ø
Выполнение операций с Ø:
Прослеживается аналог со сложением и умножением на ноль.
Операции над множествами
Помимо объединения и пересечения существуют другие операции:
Для двух множеств A и B можно определить их разность как набор элементов, входящих в A и не содержащихся в B:
Рассматривая некоторое множество в качестве содержащего все остальные, можно прийти к понятию «дополнение», как к совокупности всех элементов, не входящих в A:
Благодаря этой операции свойства объединения и пересечения можно расширить/
Примеры решения задач
Задача №1
Выписать все элементы множества
При поиске M операции выполняются последовательно.
B \ A состоит из всех элементов B, которые не принадлежат A, поэтому:
B ∪ A включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. Таким образом:
M = (B \ A) \ (B ∪ A) состоит из всех элементов B \ A, которые не принадлежат B ∪ A, следовательно, M = Ø.
Задача №2
Доказать методом включений тождество:
Необходимо доказать выполнение включений:
Выбирается произвольный x из (A ∩ B) ∪ C. По определению операции объединения x ∈ B ∩ A или x ∈ C.
Если x ∈ B ∩ A, то по определению пересечения x ∈ B и x ∈ A.
Так как x ∈ A, то x ∈ C ∪ A; так как x ∈ B, то x ∈ C ∪ B, следовательно, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Если x ∈ C, то x ∈ C ∪ A и x ∈ C ∪ B, а значит: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Поскольку x ∈ (A ∩ B) ∪ C был выбран произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), то есть:
Выбирается произвольный y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
По определению операции пересечения y ∈ C ∪ A и y ∈ C ∪ B.
Так как y ∈ C ∪ A, то y ∈ A или y ∈ C; так как y ∈ C ∪ B, то y ∈ C или y ∈ B. Таким образом, y ∈ C или y ∈ A и y ∈ B.
Если y ∈ A и y ∈ B, то y ∈ B ∩ A, а, следовательно, y ∈ (A ∩ B) ∪ C; если y ∈ C, то также y ∈ (A ∩ B) ∪ C.
Поскольку y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) выбирался произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∩ B) ∪ C, то есть
Из пунктов 1 и 2 вытекает, что
Задачи на пересечение и объединение множеств (Круги Эйлера)
Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.
«Обитаемый остров» и «Стиляги»
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?
Решение
Чертим два множества таким образом:
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:
Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».
Любимые мультфильмы
Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение
В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
«Мир музыки»
В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
Решение
Изобразим эти множества на кругах Эйлера.
Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:
Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.
Гарри Поттер, Рон и Гермиона
На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
Решение
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.
Пионерский лагерь
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение
Изобразим множества следующим образом:
70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.
Экстрим
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Решение
Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.