Найдите площадь равнобедренного треугольника если известно что
Как посчитать площадь равнобедренного треугольника
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить площадь равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
Введите их в соответствующие поля и узнаете площадь равнобедренного треугольника (S).
Как посчитать площадь равнобедренного треугольника зная длину основания и высоту
Какова площадь равнобедренного треугольника (S) если известны длина основания (b) и высота (h)?
Формула
Пример
Если основание b = 5 см, а высота h = 10 см, то:
S = ½⋅5⋅10 = 50/2 = 25 см 2
Как посчитать площадь равнобедренного треугольника зная длину двух равных сторон (a) и угол между ними (β)
Какова площадь равнобедренного треугольника (S) если известны длина двух равных сторон (a) и угол между ними (β)?
Формула
Пример
Если сторона а = 10 см, а ∠β = 30°, то:
S = ½⋅10 2 ⋅sin30° = ½ ⋅100⋅0.5= 50/2 = 25 см 2
Как посчитать площадь равнобедренного треугольника зная длину двух равных сторон (a) и угол между стороной и основанием (α)
Какова площадь равнобедренного треугольника (S) если известны длина двух равных сторон (a) и угол между стороной и основанием (α)?
Формула
Пример
Если сторона а = 10 см, а ∠α = 75°, то:
S = ½⋅10 2 ⋅sin(180-2⋅75)° = ½ ⋅100⋅0.5 = 50/2 = 25 см 2
Как посчитать площадь равнобедренного треугольника зная длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
Какова площадь равнобедренного треугольника (S) если известны длина двух равных сторон (a) и длина основания (b)?
Формула
Пример
Если сторона а = 10 см, а основание b = 5, то:
Площадь равнобедренного треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь равнобедренного треугольника. Для нахождения площади равнобедренного треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Площадь равнобедненного треугольника по основанию и стороне
Пусть в равнобедренном треугольнике известны основание a=BC и сторона b=AC (AC=BC) (Рис.1):
 |
Найдем площадь треугольника. Проведем высоту h=AH. Поскольку в равнобедренном треугольнике высота являетcя также биссектрисой и медианой, то:
Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AHC:
 |
Площадь треугольника по основанию и высоте имеет следующий вид:
 |
Подставляя (2) в (3), получим:
Пример 1. Основание равнобедренного треугольника равна a=4.5, а боковая сторона − b=7. Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя значение a=5 и b=7 в (4), получим:
 |
Ответ: 
Площадь равнобедненного треугольника по боковым сторонам и углу между ними
Пусть в равнобедренном треугольнике известны боковые стороны b=c и угол между ними α (Рис.2).
 |
Плошадь треугольника по сторонам и углу между ними вычисляется с помощью следующей формулы (см. теорему 2 статьи Площадь треугольника онлайн):
 |
Учитывая, что b=c, получим:
Пример 2. Боковые стороны равнобедненного треугольника равны b=c=12, а угол между ними равна α=67°. Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя значения b=12 и α=67° в (5), получим:
 |
Ответ: 
Площадь равнобедненного треугольника по основанию и прилежащему углу
Пусть в равнобедренном треугольнике известны основание a и прилежащий угол γ (Рис.3):
 |
Найдем площадь треугольника. Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHC можно записать:
Формулу вычисления площади по основанию и прилежащему углу получим подставляя (6) в (3):
Пример 3. Основание равнобедненного треугольника равна a=25.4, а прилежащий угол равен γ=27°. Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (7). Подставляя значения a=25.4 и α=27° в (7), получим:
 |
Ответ: 
Площадь равнобедненного треугольника по основанию и противолежащему углу
Пусть в равнобедренном треугольнике известны основание a и противолежащий угол α=∠BAC (Рис.4):
 |
Найдем площадь треугольника. Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHC можно записать:
Формулу вычисления площади по основанию и противолежащему углу получим подставляя (8) в (3):
Пример 4. Основание равнобедненного треугольника равна a=17, а прилежащий угол равен γ=21.4°. Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (9). Подставляя значения a=17 и α=21.4° в (9), получим:
 |
Ответ: 
Площадь равнобедненного треугольника по основанию и высоте
Пусть в равнобедренном треугольнике известны основание a и высота h (Рис.5):
 |
Формула для вычисления площади треугольника имеет вид (3):
Пример 5. Основание равнобедненного треугольника равна a=18, а высота равна h=31. Найти площадь треугольника.
Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (10). Подставляя значения a=18 и h=31 в (10), получим:
 |
Ответ: 
Площадь равнобедренного треугольника — формулы вычисления
Площадь равнобедренного треугольника важна для вычисления многих геометрических и математических задач. Например, определение площади любого многоугольника связано с его разделением на ряд треугольников и расчетом площади каждого из них.
Геометрическое тело, обладающее двумя равными сторонами и углами – есть частный случай простого разностороннего многоугольника.
Каждая из идентичных линий называется боковой, а третья – основанием.
Если в таком треугольнике опустить среднюю линию из его вершины на 3-ю сторону, то образовавшиеся два плоских тела будут идентичны (так как имеют все признаки подобия).
Площадь (S) фигуры с тремя углами возможно установить:
по двум сторонам и высоте;
через угол между двумя сторонами и величину одной из них;
через синус противолежащего основанию угла;
зная синус прилежащего угла и др.
Площадь равнобедренного треугольника через высоту
Вычисление площади треугольника с использованием его высоты и параметров основания – самый актуальный вариант, на базе которого строятся многие другие методы решения.
У планиметрической фигуры с двумя тождественными углами и боковыми отрезками высота может рассматриваться, как медиана и биссектриса. То есть линия, проведенная из вершины, делит планиметрический объект на два эквивалентных прямоугольных треугольника.
И общая их площадь сводится к:
b — размер основания;
Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.
Вычисления выглядят следующим образом:
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.
Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,
и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.
После проведения медианы к середине 3-его отрезка, в равнобедренном треугольнике образуются 2 единообразных плоских тела с h между 2-мя катетами.
Таким образом, используя свойство сторон прямоугольного треугольника, выводим формулу, которая показана на картинке:
При высчитывание S равностороннего треугольника это выражение примет другой вид. Сравнить формулы нахождения площади равностороннего и равнобедренного треугольников можно, взглянув на картинку:
У остроугольного равнобедренного треугольника даны габариты боковины b = 3 см и базиса a = 2 см. Надлежит найти его S:
Площадь равнобедренного треугольника через синус угла
В геометрии встречаются задания по отысканию площади многоугольника с тремя схожими краями через данный угол и длину прилегающей стороны.
В этой ситуации определение размера h будет осуществляться с использованием угла, прилегающего к измеренной грани. Таким образом выводится выражение, которое хорошо иллюстрирует следующая картинка:
Посмотрим на рисунок, приведенный выше. Известно, что ∠ACB фигуры 30 градусов, а величина его боковой стороны AC = AB равняется 4 см. Требуется вычислить её S.
Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла
Как правило, в планиметрии нередко встречаются задания по нахождению S треугольника, в котором определено значение стороны и угол.
Разнообразные равенства для решения задач, в том числе и нахождения S через тангенс угла, можно увидеть ниже:
Прежде всего посмотрим, как найти нам требуемую величину и какую применить формулу. Остановим свой выбор на формуле нахождения площади S по тангенсу угла.
Зная, что у нас равнобедренный треугольник, у которого углы у основания равны, найдем третий угол:
180 — 45 — 45 = 90 0 — угол OPQ.
SOPQ = 5 2 /4 * tg 45° = 25/4 * 1 = 6, 25 см 2
Вот так, используя прежде всего знания о свойствах фигур, можно получать самые разнообразные способы вычисления той величины, какая требуется в задаче.
Как найти площадь равнобедренного треугольника
Формула
Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника (рис. 1), необходимо вычислить произведение половины основания этого треугольника на его высоту:
Примеры вычисления площади равнобедренного треугольника
Решение. Искомая площадь равна произведению высоты на основание, деленному на два:
Как найти площадь равнобедренного треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Найти площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 5 см, а основание 8 см.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).
А тогда искомая площадь
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Обозначим через х катет имеющегося равнобедренного треугольника, имеющего прямой угол. В этом случае его площадь будет представлять собой ½ длины его катета, возведенную в квадратную степень. Это значит, что квадрат катета равен двум площадям треугольника (2S). В нашем случае это:
Для того чтобы найти длину катета, нужно извлечь корень квадратный из числа 32:
Теперь можно высчитать длину гипотенузы, которая будет равна:
Ответ: Длина гипотенузы равна 8 см.
Дан треугольник АВС, в котором АВ=ВС и АС=32 см.
Проведем к основанию треугольника высоту ВН, также являющуюся медианой.
Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на высоту:
Из этой формулы можно выразить ВН:
Известно, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны:
Теперь можно высчитать периметр (Р) треугольника АВС, который будет равен сумме длин его сторон:
Ответ: Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 72 см.
Обозначим буквой х катет имеющегося треугольника. Тогда по теореме Пифагора:
12²=x² + x², что равно 144=2х²
Отсюда находим значение х:
Зная длину катета равнобедренного треугольника, можно найти его площадь (S):
S = √72 * √72/2 = 36 см кв.
Ответ: Площадь треугольника равна 36 см кв.
Разберемся с первым из треугольников. Так как он является равнобедренным, то оба угла при его основании будут равны. Зная о том, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусом, мы можем найти третий угол треугольника, находящийся при его вершине:
Переходим ко второму треугольнику. Известно, что угол при его вершине равен 230 градусом. Исходя из этого можно рассчитать величины его углов, расположенных в основании фигуры:
Очевидно, что треугольники являются подобными на основании равенства углов.
Следует определить коэффициент подобия двух треугольных фигур. Квадрат коэффициента подобия будет равен отношению площадей треугольников:
Коэффициент подобия представляет собой отношение основания первой подобной треугольной фигуры ко второй. Это значит, что:
Ответ: Отношение оснований двух треугольников равно 7/4.
Площадь (S) треугольника с прямым углом составляет ½ часть произведения его катетов. Принимая во внимание тот факт, что треугольник является равнобедренным, можно утверждать, что длины его катетов равны. Их можно обозначить через х. В этом случае формулу для расчета площади треугольника можно записать в следующем виде:
Согласно теореме Пифагора, действительной для прямоугольного треугольника:
Подставим в формулу площади получившееся равенство:
Ответ: Площадь равнобедренного треугольника равна ¼с² см кв.
Площадь (S) любой треугольной фигуры рассчитывается путем деления пополам произведения длины его основания (с) и высоты (h):
Площадь каждого треугольника, в том числе и равнобедренного, рассчитывается как половина, взятая от произведения длины высоты треугольника и его основания. Формула имеет следующий вид:
Проводим высоту к основанию треугольника. Она же будет являться и медианой по той причине, что треугольник равнобедренный. В результате образовался треугольник с прямым углом и гипотенузой, длина которой равна 85 см. Один из катетов треугольника равен h, а второй рассчитывается как а/2:
Теперь можно рассчитать длину второго катета (на основании теоремы Пифагора):
Когда все необходимые для расчета площади треугольника величины известны, можно найти ее значение:
S=1/2 *a*h=1/2 *150*40=3000 см.
Вычислим длину боковой стороны равнобедренного треугольника, отняв от его периметра длину основания и разделив полученное число на 2:
Тогда площадь равнобедренного треугольника с заданными параметрами будет равна:
S=b/4*√(4a²-b²)=12*√(2704-2304)=12*20=240 cм кв.
К основанию равнобедренного треугольника проведем высоту, делящую его на две равные треугольные фигуры, каждая из которых имеет угол 90 градусов и катет длиной 12/2 = 6 см. Гипотенуза подобных треугольников имеет длину 10 см.
В случае с прямоугольным треугольником может быть применима теорема Пифагора, которая поможет найти катет, являющийся высотой треугольника:
Избавимся от квадратов:
Тогда площадь треугольника будет равна:
S = 12 * 8 : 2 = 48 см кв.
Введем условные обозначения, согласно которым х – это длина одного из катетов равнобедренного треугольника. В этом случае длина второго катета тоже будет равна х. Зная длину гипотенузы, можно записать формулу теоремы Пифагора для имеющегося треугольника:
Отсюда можем найти значение х:
Найдя длину катета равнобедренного треугольника, можно вычислить его площадь (S), равную ½ произведения длин его катетов:
S = √968*√968/2 = 484 см кв.
Располагая сведениями о длине основания (b) и стороны (a) треугольной фигуры с равными катетами, возможно рассчитать площадь (S) этой фигуры. С этой целью следует пользоваться приведенной ниже формулой:
Информация о длине боковых сторон (а) треугольной фигуры с катетами равной длины и размере угла (α), который образован этими катетами, позволит определить площадь этой фигуры. В этом поможет следующая формула:
Для расчета площади треугольной фигуры с катетами равной длины, при условии, что известна их длина (а), основание (b) и угол, который образован основанием и одним из катетов(α), используется следующая формула:
Примем неизвестную длину основания равнобедренного треугольника за х. В данном случае длина каждой из боковых сторон, которые в равнобедренном треугольнике равны, будет составлять (х-3). Известно, что периметр (Р) треугольника равен 30 см. Тогда:
Отсюда можно вывести х:
Ответ: Длина основания равна 12 см.
Примем х за длину основания равнобедренного треугольника. Тогда длина его боковой стороны будет составлять (х-15). Высота, проведенная в треугольнике с прямым углом, также представляет собой его медиану, которая делит его на две равных треугольных фигуры. Следует рассмотреть одну из образовавшихся треугольных фигур. Для начала вычислим ее основания, используя теорему Пифагора:
с2 = а2 + b2 = (15)²+(0,5x)²=(x-15)²
Из этого получается:
Очевидно, что сторона треугольной фигуры не может иметь длину, равную 0см. Поэтому можно сделать вывод о том, что ее длина составляет 40 см.
Для ответа на поставленный вопрос следует провести высоту из вершины того угла равнобедренного треугольника, который является противоположным его основанию. После этого длину проведенной высоты (а) нужно умножить на длину основания фигуры (b), а затем разделить полученное значение на два. Формула расчета площади треугольной фигуры, которая является равнобедренной, выглядит следующим образом:
Вычислим половину длины основания данного равнобедренного треугольника:
Имеется треугольник с прямым углом и катетами, длины которых равны 1,2 см и 1,6 см. Требуется определить длину его гипотенузы. Ее можно вычислить, используя теорему Пифагора:
с² = 1,2² + 1,6² = 1,44 + 2,56 = 4
Осталось только извлечь корень квадратный из 4:
Ответ: Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 2 см.
Известно, что углы, расположенные у основания равнобедренного треугольника, всегда являются острыми, иначе сумма всех трех углов превышала бы 180 градусов. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что тупой угол расположен у вершины данной треугольной фигуры.
Доказанным фактом является то, что та сторона фигуры, которая расположена напротив тупого угла, имеет большую длину, чем сторона, лежащая против острого угла треугольника. Это позволяет утверждать, что длина основания данного треугольника больше длины его боковой стороны. По причине того, что треугольная фигура является равнобедренной, и известны длины двух ее сторон (8 см и 14 см), можно говорить о том, что неизвестная сторона будет составлять 8 см или 14 см. Если предположить, что длина неизвестной стороны равна 14 см, тогда длина основания будет составлять 8 см, что невозможно, так как противоречит утверждению о расположении больших сторон напротив тупых углов. Это означает, что длина третьей стороны треугольника равна 8 см, а основание в данном случае составляет 14 см.
Для решения данной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора:
Отсюда можно выразить квадрат длины неизвестной стороны, который будет равен разности квадратов известной стороны и высоты:
Для того чтобы узнать длину основания равнобедренного треугольника, нужно извлечь корень квадратный из числа 400, а затем умножить полученное число на 2:
Ответ: Длина основания равнобедренного треугольника равна 40 см.
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.