найти какой нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы
Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Линейная алгебра. Задача 3
Системы линейных однородных уравнений
Постановка задачи. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы
1. Записываем матрицу системы:
и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы:
.
Размерность пространства решений равна 
. Если 
, то однородная система имеет единственное нулевое решение, если 
, то система имеет бесчисленное множество решений.
2. Выбираем 
базисных и 
свободных переменных. Свободные переменные обозначаем 
. Затем базисные переменные выражаем через свободные, получив таким образом общее решение однородной системы линейных уравнений.
3. Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.
Примечание. К элементарным преобразованиям матрицы относят:
1. умножение (деление) строки на множитель, отличный от нуля;
2. прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на любое число;
3. перестановка строк местами;
4. преобразования 1–3 для столбцов (в случае решения систем линейных уравнений элементарные преобразования столбцов не используются).
Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.
Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:
Полагаем 
, тогда
.
Размерность линейного пространства решений равна 3.
:: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине Озон
Размерность и базис линейного пространства
Определения размерности и базиса
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ( базисных векторов ).
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.
Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему векторов n-мерного линейного пространства можно дополнить до базиса пространства.
2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.
3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.
5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.
Примеры базисов линейных пространств
Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.
5. В пространстве матриц размеров можно выбрать 6 матриц:
которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация
6. Для любого натурального в пространстве многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены линейно независимы, так как их линейная комбинация
Во-первых, покажем, что система линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов и приравняем ее нулевой функции
т.е. функция представлена в виде линейной комбинации функций (числа — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов является базисом сопряженного пространства и (для конечномерного пространства ).
Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису
Введем некоторые определения.
Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.
Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.
Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.
Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.
Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы
Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.
Решение
Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.
Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.
Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.
Исходные данные: векторы
Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.
Решение
Ответ: указанная система векторов не является базисом.
Исходные данные: векторы
Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?
Решение
Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
По методу Гаусса определим ранг матрицы:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.
Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.
Исходные данные: векторы
Составляют ли они базис пространства размерностью 4?
Решение
Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.
Ответ: нет, не составляют.
Разложение вектора по базису
Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:
Докажем эту теорему:
Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:
Вектор x → будет представлен следующим образом:
Запишем это выражение в координатной форме:
Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x
Матрица этой системы будет иметь следующий вид:
e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )
Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.
Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы
Решение
Используем метод Гаусса:
Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x
Применим значения согласно условиям задачи:
Решим систему уравнений методом Крамера:
Связь между базисами
Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:
Указанные системы являются также базисами заданного пространства.
n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c
n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c
В виде матрицы систему можно отобразить так:
n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :
n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
И, далее действуя по тому же принципу, получаем:
n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
Матричные равенства объединим в одно выражение:
c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c
n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )
Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.
e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e
n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )
Дадим следующие определения:
Поиск размерности и базиса линейных подпространств
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Нахождение базиса и размерности линейной оболочки, порождённой системами векторов
Баш. Прошу помощи с последовательностью действий в данной задаче. Номер задания 53 (б). Если вы по.
найти решение системы линейных уравнений при различных способах выбора базиса
найти решение системы линейных уравнений при различных способах выбора базиса сама система-.
Сделал, сегодня показал учителю и мне сказали, что такой способ тоже возможен, вот, может кому нибудь пригодится:
короче привели матрицу к ступенчатому виду
https://www.cyberforum.ru/atta. tid=108270
затем смотрим:
кол-во ненулевых строк равно 3 след-но размерность тоже равна трем
идем далее:
идем по строкам и смотрим первые ненулевые элементы, запоминаем номер их столбцов. в конце же номера стобцов=номерам векторов, след-но векторы а1,а2,а4 могут образовать базис.
ну вот, как то так, надеюсь не зря всё это набирал и кому-то всё таки понадобится
Добавлено через 48 секунд
да, и так тоже можно
Добавлено через 2 минуты
в принципе векторы могут быть разные, всё зависит от конечной матрицы! но ранги и размерности должны совпадать, вот как раз у нас и совпали и у вас 3 и у меня
А вот по столбцам записывать векторы или по строкам? Есть разница? Нам вроде объясняли, что по столбцам, в интернете нашла оочень много записей по строкам.
Предположим, вы запишете векторы в строки и помощью преобразований вы выясните, что базисными строками последней матрицы будут первая и вторая. Этот факт никак не поможет вам определить, какие строки были базисными у исходной матрицы. Например, вы могли первую менять местами с десятой.
В ЛА векторы естественно ставить в столбцы. Почему?
Соответственно, ковекторы (линейные функционалы) естественно записывать строками, так что применение функционала к вектору есть умножение матрицы-строки на матрицу-столбец, которое даёт число. Поэтому если, например, неизвестные СЛУ рассматривать как компоненты вектора, то коэффициенты каждого уравнения естественно задают ковектор и ставятся в строку. Получается привычный формализм: в матрице системы коэффициенты уравнений записываются в строки. Потому что это ковекторы.
В евклидовых пространствах противопоставление может терять смысл, потому что векторы и ковекторы в нём естественно отождествляются.
Системы линейных однородных уравнений
Постановка задачи. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы
1. Записываем матрицу системы:
и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы:
3. Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.
Примечание. К элементарным преобразованиям матрицы относят:
1. умножение (деление) строки на множитель, отличный от нуля;
2. прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на любое число;
3. перестановка строк местами;
4. преобразования 1–3 для столбцов (в случае решения систем линейных уравнений элементарные преобразования столбцов не используются).
Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.
Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:
Навигация по странице.
Понятие размерности векторного пространства и базиса.
Понятия размерности и базиса векторного пространства напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что рекомендуем при необходимости обращаться к статье линейная зависимость системы векторов, свойства линейной зависимости и независимости.
Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.
Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.
Приведем некоторые рассуждения, основываясь на этих определениях.
Возьмем систему из n единичных векторов вида
Если переставить местами другие векторы системы 
, то получим еще один базис.
Если говорить о двумерном векторном пространстве (то есть, о плоскости), то ее базисом являются два любых не коллинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства являются три любых некомпланарных вектора.
Рассмотрим несколько примеров.
Являются ли векторы базисом трехмерного векторного пространства?
Исследуем эту систему векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг:
Может ли система векторов быть базисом векторного пространства?
Эта система векторов линейно зависима, так как максимальное число линейно независимых трехмерных векторов равно трем. Следовательно, эта система векторов не может быть базисом трехмерного векторного пространства (хотя подсистема исходной системы векторов является базисом).
Убедитесь, что векторы
могут быть базисом четырехмерного векторного пространства.
Составим матрицу, приняв ее строками исходные векторы:
Найдем :
Таким образом, система векторов a, b, c, d линейно независима и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, a, b, c, d являются его базисом.
Исходные векторы действительно являются базисом четырехмерного пространства.
Даже если исходная система векторов линейно независима, количество векторов в ней недостаточно для того, чтобы быть базисом четырехмерного пространства (базис такого пространства состоит из 4 векторов).
Разложение вектора по базису векторного пространства.
Так мы подошли к очень важной теореме.
Коэффициенты называются координатами вектора x в базисе .
Рассмотрим следующую задачу.
Пусть нам требуется найти координаты вектора x в базисе . Обозначим эти координаты как 
.
Так будут найдены искомые координаты вектора x в базисе .
Разберем теорию на примерах.
В некотором базисе трехмерного векторного пространства заданы векторы
Убедитесь, что система векторов также является базисом этого пространства и найдите координаты вектора x в этом базисе.
В некотором базисе 
четырехмерного векторного пространства задана линейно независимая система векторов
Известно, что 
. Найдите координаты вектора x в базисе .
Система уравнений, задающая связь координат вектора x в базисах и 
имеет вид
Подставляем в нее известные значения и находим искомые координаты :
.
Связь между базисами.
Если 
— координаты вектора в базисе , то связь координат 
и задается системой линейных уравнений (об этом мы говорили в предыдущем пункте):
, которая в матричной форме может быть записана как
Аналогично для вектора мы можем записать
Предыдущие матричные равенства можно объединить в одно, которое по сути задает связь векторов двух различных базисов
Аналогично мы можем выразить все векторы базиса через базис 
:
Матрицу 
называют матрицей перехода от базиса к базису , тогда справедливо равенство
Умножив обе части этого равенства справа на
получим
Найдем матрицу перехода, при этом не будем подробно останавливаться на нахождении обратной матрицы и умножении матриц (смотрите при необходимости статьи и ):
Осталось выяснить связь координат вектора x в заданных базисах.
Матрица перехода от базиса к базису имеет вид
;
координаты вектора x в базисах и связаны соотношениями
или
.
Мы рассмотрели понятия размерности и базиса векторного пространства, научились раскладывать вектор по базису и обнаружили связь между разными базисами n-мерного пространства векторов через матрицу перехода.
Подпространство, его базис и размерность.
Согласно определению линейного пространства, чтобы A было подпространством надо проверить выполнимость в A операций:
1) : 
;
2) 
: 
;
и проверить, что операции в A подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в L) т.е. справедлива следующая
Теорема. Пусть L линейное пространство над полем P и 
. Множество A тогда и только тогда является подпространством L, когда выполняются следующие требования:
1. : ;
2. : .
П
ример 1. Является ли подпространством пространства векторов-отрезков V 2 множество S всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат 0x или 0y?
Решение : Пусть 
,
и 
, 
. Тогда 
. Следовательно, S не является подпространством 
.
Пример 2. V 2 векторов-отрезков плоскости множество S всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой l этой плоскости?
Р
ешение.
В случае, когда прямая l не проходит через начало координат множество А линейным подпространством пространства V 2 не является, т.к. 
.
В случае, когда прямая l проходит через начало координат, множество А является линейным подпространством пространства V 2 , т.к.
и при умножении любого вектора
на действительное число α из поля Р получим 
. Таким образом, требования линейного пространства для множества А выполнены.
Так как 
, то 
, поэтому 
.
Для конечномерных линейных пространств справедливо и обратное утверждение.
Теорема. Всякое подпространство А линейного пространства L над полем 
является линейной оболочкой некоторой системы векторов.
При решении задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки используют следующую теорему.
Теорема. Базис линейной оболочки
совпадает с базисом системы векторов 
. Размерность линейной оболочки
совпадает с рангом системы векторов .
. М 3 = 
. 
.
И 
.
Подмножество линейного пространства образует подпространство, если оно замкнуто относительно сложения векторов и умножения на скаляры.
П р и м е р 6.1. Образует ли подпространство в плоскости множество векторов, концы которых лежат: а) в первой четверти; б) на прямой, проходящей через начало координат? (начала векторов лежат в начале координат)
а) нет, так как множество не замкнуто относительно умножения на скаляр: при умножении на отрицательное число конец вектора попадает в третью четверть.
б) да, так как при сложении векторов и умножении их на любое число их концы остаются на той же прямой.
У п р а ж н е н и е 6.1. Образуют ли подпространство следующие подмножества соответствующих линейных пространств:
а) множество векторов плоскости, концы которых лежат в первой или третьей четверти;
б) множество векторов плоскости, концы которых лежат на прямой, не проходящей через начало координат;
Размерностью линейного пространства L называется число dim L векторов, входящих в любой его базис.
Размерность суммы и пересечения подпространств связаны соотношением
dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).
П р и м е р 6.2. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:
Р е ш е н и е. Каждая из систем векторов, порождающих подпространства U и V, линейно независима, значит, является базисом соответствующего подпространства. Построим матрицу из координат данных векторов, расположив их по столбцам и отделив чертой одну систему от другой. Приведем получившуюся матрицу к ступенчатому виду.
.
dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.
2. Указанным методом можно получить базис суммы независимо от того, являются ли порождающие системы векторов линейно независимыми. Но базис пересечения будет получен правильно, только если хотя бы система, порождающая второе подпространство, линейно независима.
3. Если будет установлено, что размерность пересечения равна 0, то пересечение не имеет базиса, и искать его не нужно.
У п р а ж н е н и е 6.2. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:
а) 
б) 
Стандартное скалярное произведение вычисляется по формулам
Система векторов называется ортогональной, если векторы в ней попарно ортогональны.
Ортогональная система векторов линейно независима.
П р и м е р 7.1. Ортогонализировать систему векторов
Р е ш е н и е. Имеем = = (1, 2, 2, 1);
, = 
= = 1;
, = 
= =1;
= 
=1;
У п р а ж н е н и е 7.1. Ортогонализировать системы векторов:
.
Свободным переменным x 3 и x 4 можно придать любой набор значений, отличный от нулевого. Полагаем, например, x 3 = 0, x 4 = 1. Тогда x 2 = 0, x 1 = 1, и = (1, 0, 0, 1).
.
Для свободной переменной y 3 полагаем y 3 = 1. Тогда y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, и = (0, 1, 1, 0).
Вектор называется нормированным, если его норма равна 1.
Чтобы нормировать вектор, его следует разделить на его норму.
Ортогональная система нормированных векторов называется ортонормированной.
У п р а ж н е н и е 7.2. Дополнить систему векторов до ортонормированного базиса пространства:
П р и м е р 8.1. Являются ли линейными преобразования трехмерного пространства:
Следовательно, преобразование является линейным.
= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);
Следовательно, преобразование не является линейным.
Образом линейного отображения f: U ® V называется множество образов векторов из U, то есть
У п р а ж н е н и е 8.1. Найти ранг, дефект, базисы образа и ядра линейного отображения f, заданного матрицей:
а) А = ; б) А = ; в) А = 
.
Согласно определению линейного пространства, чтобы A было подпространством надо проверить выполнимость в A операций:
1) : 
;
2) 
: 
;
и проверить, что операции в A подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в L) т.е. справедлива следующая
Теорема. Пусть L линейное пространство над полем P и 
. Множество A тогда и только тогда является подпространством L, когда выполняются следующие требования:
Решение : Пусть 
,
и 
, 
. Тогда 
. Следовательно, S не является подпространством 
.
Пример 2. Является ли линейным подпространством линейного пространства V 2 векторов-отрезков плоскости множество S всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой l этой плоскости?
Р
ешение.
В случае, когда прямая l не проходит через начало координат множество А линейным подпространством пространства V 2 не является, т.к. 
.
Для конечномерных линейных пространств справедливо и обратное утверждение.
Теорема. Всякое подпространство А линейного пространства L над полем 
является линейной оболочкой некоторой системы векторов.
При решении задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки используют следующую теорему.
. М 3 = 
. 
.
Следовательно, ранг r (A )= 3. Итак, ранг системы векторов равен 3. Значит, размерность подпространства S равна 3, а его базис состоит из трех векторов
(т.к. в базисный минор
входят координаты только этих векторов).
Пример 5. Доказать, что множество H векторов арифметического пространства 
, у которых первая и последняя координаты равны 0, составляет линейное подпространство. Найти его базис и размерность.