условие фано кодирование информации

Привет! Сегодня узнаем, как решать 4 задание из ЕГЭ по информатике нового формата 2021.

Четвёртое задание из ЕГЭ по информатике раскрывает тему кодирование информации. Одним из центральных приёмов при решении задач подобного типа является построение дерева Фано. Рассмотрим на примерах этот метод.

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только шесть букв: А, B, C, D, E, F. Для передачи используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв A, B, C используются такие кодовые слова: А — 11, B — 101, C — 0. Укажите кодовое слово наименьшей возможной длины, которое можно использовать для буквы F. Если таких слов несколько, укажите то из них, которое соответствует наименьшему возможному двоичному числу.

Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова. Коды, удовлетворяющие условию Фано, допускают однозначное декодирование

Т.к. код букв должен удовлетворять условию Фано (т.е. однозначно декодироваться), то расположим буквы, которые уже имеют код (A, B, C), на Дереве Фано.

Дерево Фано для двоичного кодирования начинается с двух направлений, которые означают 0(ноль) и 1(единицу) (цифры двоичного кодирования).

От каждого направления можно также рисовать только два направления: 0(ноль) и 1(единицу) и т.д. Для удобства будем рисовать 1(единицу) только вправо, а 0(ноль) только влево.

Получается структура похожая на дерево!

В конце каждой ветки можно располагать букву, которую мы хотим закодировать, но если мы расположили букву, от этой ветки больше нельзя делать новых ответвлений.

Такой подход позволяет однозначно декодировать сообщение, состоящее из этих букв.

Буква C заблокировала левую ветку, поэтому будем работать с правой частью нашего дерева.

Если мы расположим какую-нибудь букву на оставшуюся ветку (100), то эта ветка заблокируется, и нам некуда будет писать остальные 2 буквы. Поэтому продолжаем ветку (100) дальше.

Теперь свободно уже две ветки, а нам нужно закодировать ещё три буквы. Поэтому должны ещё раз продолжить дерево от какой-нибудь ветки.

Но уже видно, что букве F будет правильно присвоить код 1000, т.к. нам в условии сказано, что код буквы F должен соответствовать наименьшему возможному двоичному числу. Как расположить буквы D и E в данной задаче не принципиально.

Ещё один важный тип задания 4 из ЕГЭ по информатике нового формата 2021.

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, И, К, Л, С, Ц. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: Б — 00, К — 010, Л — 111. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова АБСЦИССА?

Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.

Коды букв должны удовлетворять условию Фано. Некоторые буквы уже имеют заданные коды (Б, К, Л). Нам нужно, чтобы слово АБСЦИССА имело как можно меньше двоичных знаков. Заметим, что буква C встречается три раза, а буква A два раза, значит, этим буквам стараемся присвоить как можно меньшую длину!

Отметим на дереве Фано уже известные буквы (Б, К, Л).

Если продолжить линию 1-0, то получится такая картина :

Теперь получились 4(четыре) свободные ветки равной длины (3(трём) двоичным символам). Т.к. ветки равной длины, то не важно на какую ветку какую букву расположим.

Посчитаем общую длину слова АБСЦИССА.

3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 23.

Продлим линию 1-1-0 (можно и 0-1-1, не принципиально, т.к. эти ветки имеют одинаковую длину.), то получится:

С мы присваиваем 1-0, т.к. это буква повторяется в сообщении самое большое количество раз, значит, ей присваиваем самый маленький код, чтобы всё сообщение имело наименьшую длину.

Из этих же соображений букве А присваиваем код из трёх двоичных символов 0-1-1.

Подсчитаем общее количество символов в сообщении.

3 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 2 + 3 = 22

Длина получилась меньше, чем в первом варианте. Других вариантов нет, поэтому ответ будет 22.

Для передачи по каналу связи сообщения, состоящего только из символов А, Б, В и Г, используется неравномерный (по длине) код: А-10, Б-11, В-110, Г-0. Через канал связи передаётся сообщение: ВАГБААГВ. Закодируйте сообщение данным кодом. Полученное двоичное число переведите в восьмеричный вид.

В этой задаче ничего не сказано про условие Фано. Здесь уже все буквы закодированы, осталось написать сам код.

Задача сводится к переводу из двоичной системы в восьмеричную систему. На эту тему был урок на моём сайте.

На этом всё! Увидимся на следующих занятиях по подготовке к ЕГЭ по информатике.

Источник

Условие фано кодирование информации

Здравствуйте! Меня зовут Александр Георгиевич и я являюсь московским профессиональным репетитором по информатике и программированию. Вам попалась задача, связанная с кодированием и декодированием информации, и вы запутались в алгоритме ее решения?

В чем смысл прямого условия Фано?

Условие Фано названо в честь его создателя, итальянско-американского ученого Роберта Фано. Условие является необходимым в теории кодирования при построении самотерминирующегося кода. Учитывая другую терминологию, такой код называется префиксным.

С математической точки зрения условие можно сформулировать следующим образом: «если код содержит слово B, то для любой непустой строки C слова BC не существует в коде».

Давайте рассмотрим примеры, когда прямое условие Фано выполняется и когда происходит его нарушение. Прежде, чем рассматривать эти примеры, рекомендую освежить знания о равномерном и неравномерном коде.

Такие кодовые слова практически невозможно однозначно декодировать.

В чем смысл обратного условия Фано?

Существует также и обратное правило Фано, формулировка которого звучит следующим образом: «ни одно кодовое слово не может выступать в качестве окончания любого другого кодового слова».

С математической точки зрения обратное условие можно сформулировать следующим образом: «если код содержит слово B, то для любой непустой строки C слова CB не существует в коде».

Общий вывод: при таких кодовых словах абсолютно четко выполняется обратное условие Фано.

Очевидно, что здесь имеет место быть нарушение обратного условия Фано. Внимательный читатель заметит, что нарушение происходит даже не один раз.

Однозначно декодировать подобные кодовые слова не представляется возможным, хотя в редчаших случаях здесь могут быть исключения. Об этом более детально сможем поговорить на моих частных занятиях.

Практическое применение условия Фано

Связь условия Фано с другими темами информатики

Прямое и обратное условие Фано являются обязательными для изучения и понимания теми, кто планирует успешно сдать экзамен ЕГЭ по информатике. Но на практике вы не столкнетесь с заданиями, которые конкретно ориентированы на эту тему.

Применение условий Фано требуется обычно неявно! То есть в постановке задачи не будет и слова об этом условии. Вы должны сообразить, что в данном случае нужно воспользоваться этим правилом.

Практически во всех заданиях ЕГЭ по информатике, где вам потребуется применить условие Фано, упор делается на однозначное кодирование и декодирование какой-либо информации.

Также условие Фано неразрывно связано с неравномерным кодом. Хочу обратить особое внимание на тот факт, что правило Фано практически не распространяется на случаи, когда информация кодируется равномерным кодом.

Пример задачи, которую можно эффективно решить, при помощи условия Фано

Источник

Кодирование и декодирование. Условие ФАНО

Содержимое разработки

Кодирование – перевод информации с одного языка на другой (запись в другой системе символов, в другом алфавите).

Декодирование – это восстановление сообщения из последовательности кодов.

В качестве кодового алфавита часто используют двоичный алфавит, состоящий из двух символов (битов) 0 и 1.

При кодировании используют

равномерные и неравномерные коды.

Равномерные коды – все кодовые слова (коды отдельных букв)

имеют одинаковую длину.

МАМА МЫЛА ЛАМУ: 000 001 000 001 101 000 010 011 001 101 011 001 000 100

Равномерные коды позволяют однозначно декодировать сообщения.

кодовые слова имеют разную длину

Чтобы однозначно декодировать текст, закодированный при помощи неравномерных кодов, коды должны удовлетворять условиям Фано.

Прямое условие Фано. Неравномерный код может быть однозначно декодирован, если никакой из кодов не совпадает с началом какого-либо другого, более длинного кода. Такой код называют «префиксным».

Обратное условие Фано. Неравномерный код может быть однозначно декодирован, если никакой из кодов не совпадает с окончанием какого-либо другого, более длинного кода. Такой код называют «постфиксным».

Почему необходимо соблюдение условия Фано

при неравномерном кодировании?

Исходный алфавит – алфавит русских букв, строчные и прописные буквы не различаются. Размер алфавита – 33 символа.

Применяется побуквенное кодирование по следующему правилу:

буква кодируется ее номером в алфавите: код буквы А – 1; буквы Я – 33 и т.д.

Тогда код слова АББА – это 1221.

Последовательность 1221 может означать не только АББА,

но и КУ (К – 12-я буква в алфавите, а У – 21-я буква).

Префиксный код – ни одно кодовое слово не совпадает

с началом другого кодового слова.

Любой префиксный код позволяет

однозначно декодировать сообщения.

Постфикс = окончание слова.

Постфиксный код – ни одно кодовое слово не совпадает

с концом другого кодового слова

10 00 10 00 11 10 1101 001 00 11 001 00 10 0101

М А М А М Ы Л А Л А М У

Любой постфиксный код позволяет однозначно декодировать сообщения (с конца).

Для однозначного декодирования достаточно выполнения хотя бы одного из двух условий Фано:

– при выполнении прямого условия Фано последовательность кодов однозначно декодируется с начала;

– при выполнении обратного условия Фано последовательность кодов однозначно декодируется с конца.

ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВА ФАНО

Дерево Фано – это удобный и наглядный способ решения задач, связанных с подбором неравномерных двоичных кодов.

Основные принципы построения дерева Фано:

обеспечивается тогда, когда все

кодовые слова заканчиваются на

Для букв Т, Е, П используются такие кодовые слова: Т: 111, Е: 0, П: 100.

Кодовые слова для некоторых букв известны: А — 001, И — 01, С — 10.

Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова КОЛОБОК?

Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано.

Для буквы И используется кодовое слово 1; для буквы О используется кодовое слово 01.

Какова минимальная общая длина кодовых слов для всех пяти букв?

Какое кодовое слово соответствует букве Н?

Определите, какое число передавалось по каналу в виде 01100010100100100110.

1) используется код равномерной длины; т.к. 2 знака кодируются 10 двоичными разрядами (битами), на каждую цифру отводится 5 бит, то есть 2 → 00101 и 3 → 00110

2) 4 первых бита в каждой последовательности – это двоичный код цифры, а 5-ый бит (бит четности) используется для проверки и рассчитывается как «сумма по модулю два»,

то есть остаток от деления суммы бит на 2; тогда

3) пятый бит в каждой пятерке можно отбросить!

4) разобьем последовательность на группы по 5 бит в каждой: 01010, 10010, 01111, 00011.

5)отбросим пятый (последний) бит в каждой группе: 0101, 1001, 0111, 0001.

это и есть двоичные коды передаваемых чисел: 0101 2 = 5, 1001 2 = 9, 0111 2 = 7, 0001 2 = 1.

6)таким образом, были переданы числа 5, 9, 7, 1 или число 5971.

Источник

Условие фано кодирование информации

Тема: Кодирование и декодирование информации.

· кодирование – это перевод информации с одного языка на другой (запись в другой системе символов, в другом алфавите)

· обычно кодированием называют перевод информации с «человеческого» языка на формальный, например, в двоичный код, а декодированием – обратный переход

· один символ исходного сообщения может заменяться одним символом нового кода или несколькими символами, а может быть и наоборот – несколько символов исходного сообщения заменяются одним символом в новом коде (китайские иероглифы обозначают целые слова и понятия)

· кодирование может быть равномерное и неравномерное;
при равномерном кодировании все символы кодируются кодами равной длины;
при неравномерном кодировании разные символы могут кодироваться кодами разной длины, это затрудняет декодирование

· закодированное сообщение можно однозначно декодировать с начала, если выполняется условие Фано: никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова;

· закодированное сообщение можно однозначно декодировать с конца, если выполняется обратное условие Фано: никакое кодовое слово не является окончанием другого кодового слова;

· условие Фано – это достаточное, но не необходимое условие однозначного декодирования.

Пример задания:

Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, используется неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: А–00, Б–010, В–011, Г–101, Д–111. Можно ли сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по-прежнему можно было декодировать однозначно? Коды остальных букв меняться не должны. Выберите правильный вариант ответа.

1) для буквы Б – 01 2) это невозможно

3) для буквы В – 01 4) для буквы Г – 01

Решение (1 способ, проверка условий Фано):

1) для однозначного декодирования достаточно, чтобы выполнялось условие Фано или обратное условие Фано;

2) проверяем последовательно варианты 1, 3 и 4; если ни один из них не подойдет, придется выбрать вариант 2 («это невозможно»);

«прямое» условие Фано не выполняется (код буквы Б совпадает с началом кода буквы В);

«обратное» условие Фано не выполняется (код буквы Б совпадает с окончанием кода буквы Г); поэтому этот вариант не подходит ;

«прямое» условие Фано не выполняется (код буквы В совпадает с началом кода буквы Б);

«обратное» условие Фано не выполняется (код буквы В совпадает с окончанием кода буквы Г); поэтому этот вариант не подходит ;

«прямое» условие Фано не выполняется (код буквы Г совпадает с началом кодов букв Б и В); но «обратное» условие Фано выполняется (код буквы Г не совпадает с окончанием кодов остальных буквы); поэтому этот вариант подходит ;

Решение (2 способ, дерево):

1) построим двоичное дерево, в котором от каждого узла отходит две ветки, соответствующие выбору следующей цифры кода – 0 или 1; разместим на этом дереве буквы А, Б, В, Г и Д так, чтобы их код получался как последовательность чисел на рёбрах, составляющих путь от корня до данной буквы (красным цветом выделен код буквы В – 011):

2) здесь однозначность декодирования получается за счёт того, что при движении от корня к любой букве в середине пути не встречается других букв (выполняется условие Фано);

3) теперь проверим варианты ответа: предлагается перенести одну из букв, Б, В или Г, в узел с кодом 01, выделенный синим цветом

4) видим, что при переносе любой из этих букв нарушится условие Фано; например, при переносе буквы Б в синий узел она оказывается на пути от корня до В, и т.д.; это значит, что предлагаемые варианты не позволяют выполнить прямое условие Фано

5) хочется уже выбрать вариант 2 («это невозможно»), но у нас есть еще обратное условие Фано, для которого тоже можно построить аналогичное дерево, в котором движение от корня к букве дает её код с конца (красным цветом выделен код буквы В – 011, записанный с конца):

видно, что обратное условие Фано также выполняется, потому что на пути от корня к любой букве нет других букв

6) в заданных вариантах ответа предлагается переместить букву Б, В или Г в синий узел; понятно, что Б или В туда перемещать нельзя – перемещённая буква отказывается на пути от корня к букве Г; а вот букву Г переместить можно, при этом обратное условие Фано сохранится

Ещё пример задания:

Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, решили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи. Использовали код:
А–1, Б–000, В–001, Г–011. Укажите, каким кодовым словом должна быть закодирована буква Д. Длина этого кодового слова должна быть наименьшей из всех возможных. Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования.

1) 00 2) 01 3)11 4) 010

8) заметим, что для известной части кода выполняется условие Фано – никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова

9) если Д = 00, такая кодовая цепочка совпадает с началом Б = 000 и В = 001, невозможно однозначно раскодировать цепочку 000000: это может быть ДДД или ББ; поэтому первый вариант не подходит

10) если Д = 01, такая кодовая цепочка совпадает с началом Г = 011, невозможно однозначно раскодировать цепочку 011: это может быть ДА или Г; поэтому второй вариант тоже не подходит

11) если Д = 11, условие Фано тоже нарушено: кодовое слово А = 1 совпадает с началом кода буквы Д, невозможно однозначно раскодировать цепочку 111: это может быть ДА или ААА; третий вариант не подходит

12) для четвертого варианта, Д = 010, условие Фано не нарушено;

· условие Фано – это достаточное, но не необходимое условие однозначного декодирования, поэтому для уверенности полезно найти для всех «неправильных» вариантов контрпримеры: цепочки, для которых однозначное декодирование невозможно

Еще пример задания:

Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11, соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов БАВГ и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится

14) из условия коды букв такие: A – 00, Б –01, В – 10 и Г – 11, код равномерный

15) последовательность БАВГ кодируется так: 01 00 10 11 = 1001011

16) разобьем такую запись на тетрады справа налево и каждую тетраду переведем в шестнадцатеричную систему (то есть, сначала в десятичную, а потом заменим все числа от 10 до 15 на буквы A, B, C, D, E, F); получаем

1001011 = 0100 1011₂ = 4B ₁₆

17) правильный ответ – 1.

· расчет на то, что при переводе тетрад в шестнадцатеричную систему можно забыть заменить большие числа (10–15) на буквы (1011₂ = 11, получаем неверный ответ 411₁₆)

· может быть дан неверный ответ, в котором нужные цифры поменяли местами (расчет на невнимательность), например, B 4₁₆

· в ответах дана последовательность, напоминающая исходную (неверный ответ BACD ₁₆), чтобы сбить случайное угадывание

Еще пример задания:

Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из двух бит, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:

Источник