десять чисел в сумме дают 1001 какое наибольшее значение может принимать их нод

Десять чисел в сумме дают 1001 какое наибольшее значение может принимать их нод

Даны n ≥ 3 натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию.

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

б) Наибольшее натуральное число, меньшее 1000, — 999. Такую сумму имеет арифметическая прогрессия, все 999 членов которой равны 1. Очевидно, что большему количеству членов прогрессии будет соответствовать сумма, большая 999.

в) Заметим, что 129 = 1 · 3 · 43. Поэтому прогрессии, состоящие из 129 единиц, или 43 троек, или трех чисел 43 подходят, а другие постоянные арифметические прогрессии — нет. Рассмотрим случай, когда прогрессия непостоянная. Без ограничения общности будем считать, что она возрастающая. Пусть a — ее первый член, а d — разность. Тогда для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число n является делителем числа 258 = 2 · 3 · 43. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а) да; б) 999; в) 3, 6, 43, 129.

Это же задание для различных чисел, образующих арифметическую прогрессию, было предложено в 2013 году на досрочном ЕГЭ по математике (см. задание 502119). Приводим решение ниже.

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

Значит, откуда находим Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990

Таким образом, число является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Источник

Десять чисел в сумме дают 1001 какое наибольшее значение может принимать их нод

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено

а) Если частное равно то что верно, например, при — частное числа и суммы его цифр равно

б) Если частное равно то Так как a

Учитывая, что получаем:

откуда

Частное числа и суммы его цифр равно Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно

Ответ : а) да; б) нет; в) 91.

В пункте а) можно решить без подбора, точной методикой:

100a+10b+c=90a+90b+90c, тогда 10a-80b=89c и 10(a-8b)=89c.

Число 89*с не делится нацело на 10, так как с натуральное число от 1 до 9 или 0, число a-8b является целым, так как числа a и b натуральные. Значит, a-8b=c=0, откуда a-8b=0. Тогда так как a

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.

в) Всего детей было играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой партий и разыграли очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум очков, а играя между собой, девочки распределили очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно Тем самым, имеем: Следовательно, девочек не могло быть больше одной.

Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

Приведём похожее решение.

а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.

б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.

в) Пусть девочек а мальчиков В партиях между собой девочки набрали очков, а мальчики в партиях между собой набрали очков. Всего состоялось партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: откуда или Ясно, что отсюда то есть или Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.

Источник

Десять чисел в сумме дают 1001 какое наибольшее значение может принимать их нод

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 11?

б) Может ли это отношение быть равным 5?

в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?

Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.

При равенство будет выполнено. Следовательно, 198 — один из возможных примеров.

Но следовательно, левая часть равенства не меньше 95, а правая часть не больше 36. Противоречие.

в) Число имеет вид 700 + 10b + c, необходимо найти наибольшее целое значение выражения Разберем случаи, когда b + c ≤ 2 (см. табл.). Для таких b и c наибольшее отношение равно 80.

b	c
0	1
0	2
1	0
1	1
2	0

При b + c ≥ 3 справедлива оценка

поэтому в этом случае наибольшее возможное отношение меньше 80. Следовательно, наибольшее возможное отношение достигается при b = 2, c = 0, оно равно 80.

Ответ: а) да, б) нет, в) 80.

Приведём решение пункта б) Дьяковой Дарьи (Москва).

Положим и запишем условие в виде По условию, S натуральное, а значит, число должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Наименьшее возможное значение S соответствует наименьшему поэтому С другой стороны, Полученное противоречие показывает, что среди трехзначных чисел, оканчивающихся нулем, искомого нет.

Рассмотрим числа оканчивающиеся на 5. В этом случае С другой стороны, Выпишем трехзначные числа, заканчивающиеся на 5, сумма цифр которых не меньше 21 и не больше 23. Получим числа: 995, 985, 975, 895, 885, 795. Но каждое из найденных чисел при делении на 5 даст больше 23. Следовательно, среди трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, искомого тоже нет.

Пример числа, удовлетворяющего требованиям пункта а), единственный. Действительно, при левая часть равенства не меньше 89. А правая часть при не больше 79, при не меньше 90.

Другие пути решения аналогичных задач показаны нами в заданиях 563580 и 563695.

Аналоги к заданию № 563580: 563677 563659 Все

Источник

Десять чисел в сумме дают 1001 какое наибольшее значение может принимать их нод

Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 999?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 66?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Упорядочим числа по возрастанию x₁

999 + 1000 + 1001 + 1002 > 1026 + 1027 + 1028.

б) Если там есть число 66, то

в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие

не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше.

Если x₃₀ ≠ x₂₉ + 1, то можно заменить x₃₀ на x₂₉ + 1. Если после этого x₂₉ ≠ x₂₈ + 1, то можно заменить x₂₉ на x₂₈ + 1 и x₃₀ на x₂₈ + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд (даже все числа от x₂ до x₃₀ можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства

а примером могут служить числа от 79 до 108.

Источник

Десять чисел в сумме дают 1001 какое наибольшее значение может принимать их нод

Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?

б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?

а) Разумно в поиске примера использовать простые числа. Пример быстро находится: 1, 2, 5, 7, 11.

б) Среди данных пяти чисел может быть не более одного четного числа. Если чётное число одно, тогда остальные четыре числа — нечетные. И сумма всех чисел — четная. Противоречие. Если чётных чисел нет, то сумма всех чисел не меньше, чем Но Противоречие.

в) Если четное число одно, то сумма чисел не меньше, чем Если четных чисел нет, то, как ранее показано, сумма не меньше 25. Пример для суммы 18 приведен.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 18.