диагонали перпендикулярны у каких фигур

Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников.

Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:

Схема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.

1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне:

3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

4.Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:

В равнобедренной трапеции

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

или произведению сторон на синус угла между ними:

:

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

.

Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Диагонали перпендикулярны у каких фигур

Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.

а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.

а) S(ABE) = S(ACE), так как треугольники ABE и ACE имеют общее основание АЕ, и равные высоты, проведенные из вершин В и С соответственно (расстояние между параллельными прямыми AD и ВС неизменно).

б) Теперь рассмотрим трапецию ВАЕС. Из вершин А и Е проведем перпендикуляры к ВС, основания которых обозначим М и N соответственно.

Вспомним, что если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон обязаны быть равными. Следовательно,

Пусть NC = x, тогда BM = 4 − 2 − x = 2 − x.

В прямоугольном треугольнике аналогично в прямоугольном треугольнике

Но Следовательно,

Ответ: б)

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Известно, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 градусов.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите длину EM.

а) Углы ∠BDC и ∠BAC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу BC. Тогда в ΔABE угол ∠ABE = 30° (так как ∠BAC = 60°). Обозначим точку пересечения прямой ME со стороной AB за K. Тогда в прямоугольном треугольнике BKE угол ∠BEK = 60°. Далее, ∠BEK = ∠MED = 60° (как вертикальные). Отсюда получаем, что ΔEDM — равносторонний (так как все углы по 60°), то есть EM = ED = MD

x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.

б) Из ΔABE получаем, что Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:

Отсюда получаем, что

Ответ:

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.

а) углы ∠BDC и ∠BAC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу BC. Тогда в треугольнике ABE угол ∠ABE = 30° (так как ∠BAC = 60°). Обозначим точку пересечения прямой ME со стороной AB за K. Тогда в прямоугольном треугольнике BKE угол ∠BEK = 60°. Далее, ∠BEK = ∠MED = 60° (как вертикальные). Отсюда получаем, что — равносторонний (так как все углы по ), то есть EM = ED = MD = x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.

б) из ΔABE получаем, что Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:

Отсюда получаем, что

Ответ:

В параллелограмме (отличном от ромба) проведены биссектрисы четырех углов.

А) Докажите, что в четырехугольнике, ограниченном биссектрисами, диагонали равны.

А) Пусть биссектриса угла А пересекает BC в точке M, биссектриса угла С — AD в точке Q, биссектриса угла В — AD в точке F, биссектриса угла D — BC в точке E. Четырехугольник, ограниченный биссектрисами обозначим KHRP (см. рис.)

Соединим отрезками точки E и Q, M и F.

∠BMA = ∠MAF = 30° как внутренние накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей AM. Поскольку ∠BA = 30°, Δ ABM — равнобедренный, AB = BM. Аналогично получим: AF = FM.

Кроме того, ∠BAF = ∠ABF = ∠AFB = 60°, т. е. Δ ABF — равносторонний. Аналогично с Δ BMF. Отсюда вывод — четырехугольник ABMF — ромб (по признаку), у которого диагонали BF и AM обязаны быть перпендикулярными.

Аналогично получим: QECD — ромб, Δ ED — равносторонний. Значит, ∠CED = ∠FBE = 60°. Эти углы являются соответственными при прямых BF, ED и секущей BC. Значит, FBED — параллелограмм, откуда KP || HR.

В ромбе QECD диагонали QCи D также будут взаимно перпендикулярными. Следовательно, отрезки KH, PR, будучи перпендикулярными к параллельным KP, HRbокажутся параллельными. Таким образом, KHRP — прямоугольник. А у прямоугольника диагонали равны, что и требовалось доказать.

Б) Два равносторонних треугольника ABF и ED с равными сторонами AB и CD будут равными. Далее:

; ; ;

Аналогично, Следовательно,

Ответ: Б)

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.

а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CЕD.

б) Найдите длину отрезка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.

а) Вписанные углы ВАС и BDC опираются на одну и ту же дугу заданной окружности, следовательно,

Пусть F — точка пересечения МЕ с АВ.

отсюда: как углы, заключенные между взаимно перпендикулярными прямыми. (2)

как вертикальные углы. (3)

Из равенств (1)–(3) получим: Отсюда: DM = EM. Аналогично можно доказать, что CM = EM. Следовательно, EM — медиана треугольника CЕD.

б) В прямоугольном

Значит,

В в котором по теореме Пифагора:

В прямоугольном

Так как М — середина гипотенузы прямоугольного треугольника DEC, то она равноудалена от вершин этого треугольника, значит,

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 505691: 505787 508157 Все

Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции.

а) Докажите, что BH = DH.

б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.

а) Чтобы найти площадь трапеции поступим так.

Отложим на луче НС от точки С отрезок, равный АВ, конец отрезка обозначим К, соединим отрезком точки В и К. Полученный четырехугольник ВАСК — параллелограмм по признаку параллелограмма (AB || KС, AB = KС). Значит, BK || AC (по определению параллелограмма). По условию задачи известно, что Так как BK || AC, то т. е. Следовательно, около можно описать окружность с центром в точке Н и радиусом R = BH = KH = DH. Итак,

Из последнего равенства получаем и то, что требовалось доказать в подпункте «а», т. е. BH = DH. Далее. KD = KC + CD = AB + CD. Но по свойству средней линии трапеции. т. е. Отсюда вывод: в равнобочной трапеции, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, высота равна средней линии этой же трапеции.

б) Так как площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты, то площадь трапеции будет равна квадрату ее средней линии.

Замечание: то, что требуется доказать подпунктом «а», можно было вести и так:

Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что BH = DH. Поскольку заданная трапеция равнобедренная, в Значит, как внутренние накрест лежащие при параллельных ВА, СD и секущей ВD. Следовательно, В таком случае в где

Отсюда: — равнобедренный, т. е. BH = DH, что и требовалось доказать.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 10.

а) Пусть BD и AC пересекаются в точке M. Так как ABCD — описанный четырёхугольник, Будем считать, что и Углы ABC и ADC прямые, так как AC — диаметр. По теореме Пифагора получаем и Отсюда следует, что то есть и Это значит, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников, поэтому Следовательно, CM — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана.

б) Пусть O — центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Тогда её радиус поэтому Допустим, что тогда и Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать следовательно, Аналогично поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен Площадь же четырёхугольника ABCD равна Искомый радиус вписанной окружности равен

Ответ: б)

Источник