для какого типа шкал могут рассчитываться квартили

Квартили, децили, перцентили

Обобщающие характеристики центра распределения и степени вариации не дают представления о форме распределения, так как не вскрывают характера изменения частот.

Для выражения особенностей формы распределения применяются ранговые характеристики.

Ранговые характеристики – это варианты, занимающие в вариационном ряду определенное место.

К их числу относятся квартили, децили, перцентили.

Квартили – значения признака, которые делят ранжированный ряд на 4 равные по численности части.

Q₁ Q₂ Q₃

Первая квартиль – Q₁

Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы: сначала определяют положение (место) квартили в ряду.

Место первой квартили:

Место второй квартили:

Место третьей квартили:

Затем по накопленным частотам определяют численное значение по формуле:

где x_Q – нижняя граница интервала, в котором находится квартиль

N_Q – место квартили

S_(Q-1) – накопленная частота интервала, предшествующего тому, где находится квартиль

f_Q – частота интервала, в котором находится квартиль

Децили – значения признака, которые ранжированный ряд делят на 10 равных частей. Расчеты ведутся аналогично расчетам квартилей:

и так далее до , где n – общее число единиц в совокупности

Численное значение определяется по формуле:

где x_D – нижняя граница интервала, в котором находится дециль

S_(D-1) – накопленная частота интервала, предшествующего тому, где находится дециль

f_D – частота интервала, в котором находится дециль

Перцентили –значения признака, делящие ранжированный ряд на 100 равных частей. Все вычисления аналогичны вычислениям децилей и квартилей.

Предварительная оценка рассеяния признака определяется с помощью размаха вариации:

Но, если критические значения признака не типичны для совокупности, то есть они являются аномальными значениями, то используют квартильный, децильный и перцентильный размах.

Квартильный размах:

С точки зрения применения для различных шкал:

а) коэффициент вариации вычисляется и имеет смысл только для шкал равных отношений

б) медиана рассчитывается только для порядковых шкал

в) Мода – только для номинальных шкал

г) Средняя арифметическая – для интервальных и шкал равных отношений

д) Все показатели вариации вычисляются только для интервальных шкал или шкал равных отношений.

Источник

Обсудив меры центральной тенденции, рассмотрим подход к описанию положения статистических данных, который включает в себя определение пороговых значений, в пределах которых лежат указанные пропорции данных.

Мы знаем, что медиана делит распределение пополам. Мы можем определить другие разделительные линии, которые разбивают распределение на меньшие части.

Например, первый квартиль (Q₁) делит распределение так, что 25 процентов наблюдений лежат не выше него; следовательно, 1-й квартиль также является 25-м процентилем.

Второй квартиль (Q₂) представляет 50-й процентиль, а третий квартиль (Q₃) представляет 75-й процентиль, потому что 75 процентов наблюдений лежат не выше него.

Имея дело с фактическими данными, мы часто обнаруживаем, что нам нужно найти приблизительное значение процентиля. Например, если нас интересует значение 75-го процентиля, мы можем обнаружить, что ни одно наблюдение не разделяет выборку так, что ровно 75 процентов наблюдений лежат не выше этого значения.

Следующая процедура, однако, может помочь нам определить или оценить процентиль. Процедура включает в себя сначала определение положения процентиля в наборе наблюдений, а затем определение (или оценку) значения, связанного с этой позицией.

Формула для позиции процентиля в массиве из n записей, отсортированных по возрастанию:

Ly = (n + 1) y / 100 (формула 8)

В качестве примера случая, когда L_y не является целым числом, предположим, что мы хотим определить 3-ий квартиль доходности за 2012 год (Q₃ или P₇₅) для 16 европейских фондовых рынков, представленных в Таблице 8.

В соответствии с Формулой 8 позиция третьего квартиля имеет вид L₇₅ = (16 + 1) (75/100) = 12.75 или между 12-м и 13-м позициями в Таблице 9, в которой доходность представлена в порядке возрастания.

Определив «0.75» как «12.75», мы пришли бы к выводу, что P75 находится на 75% расстояния между 15.90% и 20.72%.

Подведем итоги:

1) Когда позиция Ly представляет собой целое число, она соответствует фактическому наблюдению. Например, если бы Дания не была включена в выборку, то n + 1 было бы равно 16, а при L₇₅ = 12 третий квартиль был бы P₇₅ = X₁₂, где X_i определяется как значение наблюдения в i-й (i = L₇₅) позиции данных, отсортированных в порядке возрастания (т. е. P₇₅ = 15.90).

2) Когда L_y не является целым числом, L_y лежит между двумя ближайшими целыми числами (одно сверху и одно снизу), и мы используем линейную интерполяцию между этими двумя положениями для определения P_y. Интерполяция означает оценку неизвестного значения на основе двух известных значений, которые его окружают (лежат над и под ним); термин «линейный» относится к линейной оценке.

Возвращаясь к расчету P₇₅ для доходности капитала, мы обнаружили, что L_y = 12.75; следующее более низкое целое число равно 12, а следующее более высокое целое число равно 13.

Используя линейную интерполяцию, находим:

Как указано выше, на 12-й позиции находится доходность акций Франции, поэтому X₁₂ = 15.90%; X₁₃ = 20.72%, что соответствует доходности акций Австрии.

Таким образом, наша оценка методом линейной интерполяции составит:

Мы следуем этой схеме всякий раз, когда L_y не является целым числом: ближайшие целые числа ниже и выше L_y устанавливают позиции наблюдений, которые ограничивают P_y, а затем используются для интерполяции.

Пример, приведенный ниже иллюстрирует расчет различных квантилей для дивидендной доходности компонентов основного европейского индекса акций.

Пример расчета процентилей, квартилей и квинтилей.

Рыночная капитализация ранжируется в порядке возрастания.

Таблица 17. Рыночная капитализация EURO STOXX 50.

Рыночная
капитализация
(млрд. Euro)

Источник

Квартиль

Опубликовано 16.06.2021 · Обновлено 17.06.2021

Что такое Квартиль?

Квартиль – это статистический термин, который описывает разделение наблюдений на четыре определенных интервала на основе значений данных и их сравнения со всем набором наблюдений.

Общие сведения о квартилях

Медиана является надежным средством оценки местоположения, но ничего не говорит о том, как данные по обе стороны от ее значения распространяются или рассредоточены. Вот где вступает в игру квартиль. Квартиль измеряет разброс значений выше и ниже среднего путем деления распределения на четыре группы.

Ключевые моменты

Как работают квартили

Точно так же, как медиана делит данные пополам, так что 50% измерения лежит ниже медианы, а 50% – выше нее, квартиль разбивает данные на кварталы, так что 25% измерений меньше нижнего квартиля, 50 % меньше среднего, а 75% меньше верхнего квартиля.

Квартиль делит данные на три точки – нижний квартиль, медиана и верхний квартиль – для формирования четырех групп набора данных. Нижний квартиль или первый квартиль обозначается как Q1 и является средним числом, которое находится между наименьшим значением набора данных и медианой. Второй квартиль, Q2, также является медианным. Верхний или третий квартиль, обозначаемый Q3, является центральной точкой, которая находится между медианой и наивысшим номером распределения.

Теперь мы можем выделить четыре группы, сформированные из квартилей. Первая группа значений содержит наименьшее число до Q1; во вторую группу входит Q1 до медианы; третий набор – это медиана Q3; четвертая категория включает Q3 в самую высокую точку данных всего набора.

Каждый квартиль содержит 25% от общего числа наблюдений. Как правило, данные располагаются от наименьшего к наибольшему:

Пример квартиля

Предположим, что баллы по математике в классе из 19 учеников в порядке возрастания распределены следующим образом:

59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98

Сначала отметьте медианное значение Q2, которое в данном случае является 10- м значением: 75.

Q1 – это центральная точка между наименьшей оценкой и медианой. В этом случае Q1 попадает между первым и пятым баллом: 68. [Обратите внимание, что медиана также может быть включена при вычислении Q1 или Q3 для нечетного набора значений. Если бы мы включили медианное значение по обе стороны от средней точки, то Q1 будет средним значением между первым и 10- м баллами, что является средним значением пятого и шестого баллов – (пятый + шестой) / 2 = ( 68 + 69) / 2 = 68,5].

Q3 – это среднее значение между Q2 и наивысшим баллом: 84. [Или, если вы включаете медиану, Q3 = (82 + 84) / 2 = 83].

Теперь, когда у нас есть квартили, давайте интерпретируем их числа. Оценка 68 (Q1) представляет первый квартиль и 25- й процентиль. 68 – это медиана нижней половины оценки, установленной в имеющихся данных, то есть медиана оценок от 59 до 75.

Q1 говорит нам, что 25% оценок ниже 68 и 75% оценок класса выше. Q2 (медиана) – это 50- й процентиль и показывает, что 50% оценок меньше 75, а 50% оценок выше 75. Наконец, Q3, 75- й процентиль, показывает, что 25% оценок являются больше и 75% меньше 84.

Особые соображения

Если точка данных для Q1 дальше от медианы, чем Q3 от медианы, то мы можем сказать, что существует больший разброс среди меньших значений набора данных, чем среди больших значений. Та же самая логика применяется, если Q3 дальше от Q2, чем Q1 от медианы.

В качестве альтернативы, если имеется четное количество точек данных, медиана будет средним из двух средних чисел. В нашем примере выше, если бы у нас было 20 студентов вместо 19, медиана их оценок будет средним арифметическим 10- го и 11- го числа.

Квартили используются для расчета межквартильного размаха, который является мерой изменчивости вокруг медианы. Межквартильный размах просто рассчитывается как разница между первым и третьим квартилями: Q3 – Q1. Фактически, это диапазон средней половины данных, который показывает, насколько разбросаны данные.

Для больших наборов данных в Microsoft Excel есть функция КВАРТИЛЬ для вычисления квартилей.

Источник

Статистика — это грамматика науки о данных. Часть 3

Mar 30, 2019 · 4 min read

Повторение статистики для начала путешествия по науке о данных

Меры расположения

Процентили

Процентили делят упорядоченные данные на сто равных частей. В рассортированных данных процентиль — это точка, показывающая процентное отношение значений в наборе данных, находящихся ниже данной точки.

50-й процентиль — это медиана.

Например, на графике ниже показано развитие ребенка от рождения до 2 лет. Получается, что 98% развития ребенка за первый год жизни составляет в весе меньше 11,5 кг.

Другим примером является ра с пределение доходов в стране. 99-й процентиль — это уровень дохода, при котором 99% населения зарабатывают меньше этого значения и 1% — больше. Так в Великобритании, как показано на графике ниже, 99-й процентиль составляет 75.000 фунтов стерлингов.

Квартили

Квартили — это процентили, которые делят набор данных на четверти. Первый квартиль, Q1, равен 25-ому процентилю, третий квартиль, Q3, равен 75-ому процентилю. Медиана может быть обозначена либо вторым квартилем, Q2, либо 50-ым процентилем.

Интерквартильный размах (IQR)

IQR — число, которое показывает разброс средней половины (т.е. средние 50%) набора данных и помогает определить выбросы. IQR — это разница между Q3 и Q1.

Выбросы — это, проще говоря, те значения данных, которые находятся за пределами следующих интервалов: Q1–1.5 x IQR и Q3 + 1.5 x IQR.

Диаграмма «ящик с усами»

Диаграмма «ящик с усами» показывает:

Ящик с усами имеет горизонтальную и вертикальную оси и прямоугольный ящик.

«Усы» (выделенные фиолетовым цветом) начинаются с концов ящика и заканчиваются на самом минимальном или максимальном значениях данных. Также бывают ящики с усами, у которых есть отмеченные значения выбросов (выделены красным цветом). В таких случаях, усы не достигают минимального и максимального значений.

Ящики с усами на графике нормального распределения Ящики с усами на нормальных распределениях имеют некоторые особенности: Несмотря на то, что первый и третий квартили (Q1 и Q3) имеют такие названия, они, на самом деле, не составляют 25% от числа данных! Они показывают 34,135%. Также второй квартиль (Q2) составляет не 50%, а 68,27%.

Моменты случайной величины

Моменты случайно величины описывают различные аспекты характера и формы нашего распределения.

#1 — первый момент случайной величины — среднее значение данных, которое показывает место распределения.

#2 — второй момент случайной величины — дисперсия, которая показывает разброс распределения. Большие значения имеют больший размах, чем маленькие.

#3 — третий момент случайной величины — коэффициент асимметрии — мера того, насколько неравномерным является распределение. Коэффициент асимметрии положителен, если распределение наклонено влево и левый хвост короче правого. То есть среднее значение находится правее. И наоборот:

#4 — четвертый момент случайной величины — коэффициент эксцесса, который описывает то, насколько толстый хвост и насколько острый пик распределения. Этот коэффициент показывает, насколько вероятно найти точки экстремума в данных. Чем выше значение, тем вероятнее выбросы. Это похоже на разброс (дисперсию), но между ними есть отличия.

Как видно на графике, чем выше значение пики, тем выше коэффициент эксцесса, т.е. у верхней кривой коэффициент эксцесса выше, чем у нижней.

Источник

Для какого типа шкал могут рассчитываться квартили

Ниже мы рассмотрим некоторые общие приложения квантилей.

Анализ непрерывных переменных. Непрерывные переменные, например концентрацию холестерола или дыхательный объем легких, в статистических исследованиях часто также делят на несколько диапазонов. Для этой цели обычно используют квантили, чтобы во всех группах было равное число измерений. При такой группировке часть информации теряется, но появляется возможность представить данные в более простом виде, например, в виде таблиц. Чем меньше групп, тем больше информации теряется. В регрессионном анализе непрерывные независимые переменные иногда делят по амплитуде на две или более групп. Это слегка усложняет анализ, но позволяет избежать предположения о линейном соотношении между двумя анализируемыми величинами. Однако, такой подход ведет к модели, в которой вероятность изменяется скачками при некоторых значениях переменной, а не равномерно увеличивается.

Вычисление квантилей. Вычисление центилей и других квантилей не настолько просто, как может показаться. Данные должны быть упорядочены от 1 до n в порядке возрастания. K й центиль получается вычислением величины q=k*(n+1)/100 и ее последующей интерполяцией между двумя ближайшими к q значениями данных (бо’льшим и меньшим). Например, для 5 ого центиля выборки из 145 наблюдений мы имеем q=5*146/100=7/3. Таким образом, 5-ый центиль находится на 3/10 расстояния от 7 го к 8 му упорядоченному наблюдениям. Если значения этих данных равны 11.4 и 14.9 соответственно, то искомый центиль равен 12.45. Доверительные интервалы могут быть построены для любого квантиля. 3

Источник

• ← для какого типа темперамента характерны повышенная чувствительность тревожность замкнутость
• для какого типа шкал может рассчитываться t стьюдента →