для какой операции представлена таблица истинности
Самостоятельная работа по теме «Построение таблиц истинности»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
по теме «Таблицы истинности»
Определите, для какой операции представлена таблица истинности:
Для какой операции, высказывание, является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Для высказывания (В построили таблицу истинности, выберите верную.
Постройте таблицу истинности:
по теме «Таблицы истинности»
Определите, для какой операции представлена таблица истинности:
Для какой операции, высказывание, является ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Для высказывания (В построили таблицу истинности, выберите верную.
Постройте таблицу истинности:
по теме «Таблицы истинности»
по теме «Таблицы истинности»
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Современные педтехнологии в деятельности учителя
Курс профессиональной переподготовки
Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-1595529
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Стартовал сбор заявок на студенческую олимпиаду «Я — профессионал»
Время чтения: 2 минуты
Около половины детей болеют коронавирусом в бессимптомной форме
Время чтения: 1 минута
В Москве стартует онлайн-чемпионат для школьников Soft Skills — 2035
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки утвердило перечень олимпиад для школьников на 2021-2022 учебный год
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Логические выражения и таблица истинности
Логические выражения и таблица истинности
Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.
Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.
Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».
Алгоритм построения таблицы истинности:
1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
3. подсчитать количество логических операций в формуле;
4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;
6. выписать наборы входных переменных;
7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.
Заполнение таблицы:
1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;
2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;
3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.
Пример 1. Для формулы A/\ (B \/ ¬B /\¬C) постройте таблицу истинности.
Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2 3 = 8.
Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.
1. В выражении две переменные А и В (n=2).
3. В формуле 5 логических операций.
4. Расставляем порядок действий
1) А\/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А\/¬В; 5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).
5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.
Логические операции. ➞ Что такое конъюнкция, дизъюнкция, импликация
Тот, кто хочет подробно разбираться в цифровых технологиях должен понимать основы такой темы, как алгебра логики. В этой статье будут разобраны основные определения, а также показаны самые важные логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д.
Основные положения
Для начала следует разобраться, для чего нужна алгебра логики – главным образом, этот раздел математики и информатики, нужен для работы с логическими выражениями и высказываниями.
Логическим высказыванием называется утверждение (или запись), которое мы можем однозначно классифицировать, как истинное или ложное (1 или 0 в информатике).
Примером таким высказываний будут являться:
Логические высказывания делятся на два типа — простые и сложные.
В алгебре логики, как простые, так и сложные высказываниями описываются булевыми выражениями.
Булево выражение – это символическое (знаковое) описание высказывания.
Операции
Ниже рассмотрим основные операции, которые применяются в булевой алгебре. Их хватит, чтобы упростить львиную долю всех выражений, которые Вам встретятся.
Конъюнкция
Конъюнкция (булево умножение) — функция, по своему смыслу приближенная к союзу «И». При выполнении конъюнкции результат истинен (равен 1) тогда и только тогда, когда истинны ВСЕ переменные. Если хотя бы одно из высказываний ложно, то ложно и всё выражение (равно 0).
Функция может работать как с двумя операндами (высказываниями), так и с тремя, четырьмя и т.д. В математике обозначается с помощью знаков \( \wedge \) и &. Обозначение в языках программирования AND, &&. Таблица истинности для двух операндов:
Дизъюнкция
Дизъюнкцией называется функция булева сложения. По смыслу дизъюнкция приближена к союзу «ИЛИ». В результате выполнения данной функции результирующие выражение является истинным, когда хотя бы одно из высказываний в этом выражении тоже истинно.
Булево сложение, также как и умножение, может работать с произвольным количеством операндов. В математике обозначается как V, а в программировании с помощью OR или I.
Инверсия
Логическое отрицание – функция, работающая с одним высказыванием, и заменяющая истину на ложь, а ложь на истину. В математике обозначается с помощью черты над значением, а в программирование и информатике с помощью слова NOT.
Импликация
Также называется булевым следованием. В русском языке данной функции соответствует оборот «Если …, то …». Например, если на улице гремит, то стоит пасмурная погода.
Эквивалентность
Булева тождественность или равенство. На простом языке будет обозначено как «… эквивалентно (равно) …». Результат будет истинным тогда, когда все значения в выражении будут иметь одинаковую истинность.
Обозначается с помощью трех черточек или ⟺.
Порядок выполнения операций
Логические операции выполняются в следующем порядке:
Если в формуле указаны скобки, то порядок выполнения действий в скобках точно такой же, как написано выше.
Пример
Дано два отрезка B = [2,10], C = [6,14]. Из предложенных вариантов ответа выберите такой отрезок A, что формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) истинна при любом значении z. Варианты ответа:
Решение: Подставим в уравнение \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) =1 значения B и C и составим таблицу истинности:
Получившаяся формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in [2,10])) \vee (z \in [6,14])=1 \). По условию \( z \in A \)=1.
Таблица истинности для всех отрезков:
Ответ: A = [3,11].
Заключение
Вот Вы и познакомились с основными логическими операциями и понятиями и знаете, что такое булево сложение и умножение. Если вас заинтересовала данная тема, то можете изучить булевы законы. Эти законы не проходятся в рамках школьной программы и служат для упрощения сложных выражений.
Информатика
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Способы решения задач по логике
Многие задачи можно решить, используя инструменты алгебры логики. Чтобы получить результат, можно пойти 3 путями:
Логический подход подразумевает перевод условия из естественного языка на язык символов, схем и формул. Для такой формализации высказываний нужно выполнить ряд шагов.
Этапы решения логических задач:
Табличный способ – этапы, особенности
Таблица истинности – табличное выражение результата логических операций для каждого отдельного набора значений переменных.
Такие таблицы позволяют абстрагироваться от маловажной информации, сосредоточиться только на связях между исходными данными, над происходящими процессами. Таким образом, человек может абстрагироваться от непонятной для него информации, решать неспецифические задачи.
Метод таблиц
Чтобы использовать таблицы истинности, необходимо формализовать условие, то есть отойти от деталей задачи, обозначая первоначальную информацию при помощи букв и цифр 0 и 1.
Существует общий алгоритм построения таблиц:
Если необходимо перебрать все значения простых выражений, то для задач:
Если словесно описывать все эти комбинаций, на каждый из примеров понадобится десятки строк текста.
Обязательно учитывают приоритет операций:
Обозначение логических операций:
Сравнение методов решения
Метод рассуждений
Он заключается в пошаговом анализе условий с промежуточными выводами на каждом этапе. Выполняется анализ таблицы истинности каждого логического выражения.
Пример №1.
Андрей, Владимир, Георгий и Дмитрий живут на одной улице, они соседи. Они работают по таким специальностям: гитарист, плотник, егерь и стоматолог.
Чтобы рассуждать было проще, добавим изображение зданий, присвоим им номера:
Но стоматолог живет левее егеря, а правее егеря – плотник. Получается, что дом гитариста не может быть последним, а дом стоматолога не может быть предпоследними. То есть, егерь живет в предпоследнем доме:
Между домами Андрея и Дмитрия стоит один дом, значит, дом Андрея не может быть предпоследним, получается номер – 4, что автоматом исключает проживание там Дмитрия и Владимира.
Условие задачи заняло 2 предложения, а рассуждений получилось на 2 страницы.
Такой подход лучше не использовать, если условие сложное или много данных.
Табличный метод
Более удачным подходом к решению задач с большим количеством данных (несколько множеств), считается табличный, или графический (диаграммы).
Чтобы построить таблицу истинности логических выражений, следует:
Чтобы преобразовывать условие задачи в логические выражения и операции, удобно пользоваться такой сводной таблицей истинности логических операций:
Рассмотрим тот же пример.
Определяем, что только гитарист может жить в первом доме, далее смотрим на заметки и условия и получаем таких жителей:
Метод компактнее, для некоторых задач нагляднее.
Построение таблиц истинности для различных типов задач
Несмотря на многообразие задач, многие условия повторяются, если оставить сухие формулы, не вникая в имена, места, профессии. Разобравшись с примером один раз, можно решать аналогичные задачи без труда. Рассмотрим несколько любопытных заданий, решив при помощи логически.
Пример 2.
Известно, что если первый студент летал в Англию на стажировку, то и второй тоже летал, но неправда, что если летал третий, то и второй.
Разобьём условие на 3 простые высказывания, присвоим им буквенные обозначения:
А — «Первый студент летал в Англию»;
В — «Второй студент летал в Англию»;
С — «Третий студент летал в Англию».
Запишем выясненные данные при помощи логических операций:
Пример 3.
Есть три 8-ых класса (А, В, С), которые соревнуются между собой за средний бал. Учителя в начале года сделали такие предположения:
По завершении года оказалось, что 2 предсказания оказались верными, а одно – ошибочным.
Выясним, какие же классы добились высшего бала.
Разбиваем условие задачи на элементарные высказывания:
А – «А добьется высшего бала»;
В – «В добьется высшего бала»;
С – «С добьется высшего бала».
Запишем логические операции, описанные в примере:
Мы заполнили таблицу истинности для всех возможных значений исходных данных. В примере говорилось, что только 2 утверждения в конце года казались истинными, а 1- ложным. Такому условию отвечает 3-я строка в таблице.
Пример 4.
Во время знакомства девушка, любительница загадок, сказала, что ее имя узнать легко:
Предложенные имена: Арина, Артур, Кэтрин, София.
Решим задачу, используя таблицу.
Сначала решим пошагово, выполняя операции по приоритету:
Указанному условию соответствует первое имя.
Пример 5.
Попробуем решать задачи, в которые нет четких высказываний, истинных или ложных. В них половина информации, правда, половина – ложь, при этом неизвестно, какая именно. Под такой тип задач можно подставить любое условие, но научившись решать его, можно разобраться со всеми аналогичными.
Известно, что в олимпиаде по химии участвовали 4 ученицы 8 класса: Марина, Света, Саша и Галя. Они заняли первые 4 места. Какое место заняла каждая из девочек, если есть их высказывания о победителях, но в них лишь половина информации правдива – первая или вторая половина предложения.
Маша Марина: «Саша заняла второе место, а Света – первое».
Полина Света: «Нет, это не так, Саша – победительница, а Галя, – на втором месте».
Ольга Саша: «Зачем вы всех путаете? Третье место за Мариной, а Света – на четвертом месте».
Составляем таблица для перебора вариантов. Правду обозначаем «1», ложь – «0».
Берем любое (Марины) утверждение и принимаем его первую часть за правду. Значит, Саша – 2 место, тогда Света не 1-ое (вторая половина фразы – ложь), остальных девочек на 2 место ставим «0».
Берем утверждение второй девочки. Так как Саша не может быть победительницей, то в этой фразе первая часть – ложь, а вторая должна быть истинной. Но в нем и вторая часть – неверна (второе место за Сашей, мы так приняли в начале).Уже на второй фразе получается противоречие всему.
Итог: Победительницей олимпиады стала Светлана, на втором месте – Галина, на третьем – Марина, на последнем из четырех – Александра.
Построение электронных схем, реализующих логические операции
Если рассмотреть электросхемы с точки зрения логики, особенно компьютерные, то их также можно описать при помощи «1» и «0» – электричество идет или не идет по проводам.
Попробуем нарисовать логические элементы схемы питания лампочки для нескольких простых операций.
Электросхема с конъюнктором
Рассмотрим все варианты:
Заключение – эта электрическая цепь реализует операцию «И».
Дизъюнктор, схема электропитания
Рассмотрим этот вид электрической цепочки:
Заключение – такой вид электросхем соответствует логической операции «ИЛИ».
Инвертор в электросхемах
В этой схеме переключатель не ручной, а автоматический. Здесь процесс обратный – когда ток не идет, контакты замыкаются, горит свет. Если же в сеть подается электричество, пластинка размыкается вследствие электромагнитной индукции, и сеть разъединяется – света нет.
Заключение: схема соответствует логической операции «НЕ».
Умение читать и решать логические операции, строить соответствующие электросхемы, позволяет создавать иерархически более сложные конструкции, которые используются для реализации процессов в современных ПК.
Обозначение логических элементов
Удобно создавать электросхемы в ПО SmartNotebook, которое используется с интерактивной доской.
Для какой операции представлена таблица истинности
Изучить основы алгебры логики.
Задачи лабораторной работы
В результате прохождения занятия студент должен:
Общие теоретические сведения
Основные понятия алгебры логики
Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Не всякое предложение является логическим высказыванием.
Пример. предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.
Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.
Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».
| Обозначение операции | Читается | Название операции | Альтернативные обозначения | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ¬ | НЕ | Отрицание (инверсия) | Черта сверху | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ИЛИ | Дизъюнкция (логическое сложение) | + | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| → | Если … то | Импликация |
Пример. Пусть А=«Сегодня пасмурно», тогда ¬А=«Сегодня не пасмурно». И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « • » (может также обозначаться знаками (или плюсом). Высказывание А . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. ЛИБО … ЛИБО Операция, выражаемая связками «Либо … либо», называется исключающее ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или Пример. Высказывание «Число 6 либо нечетно либо делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Либо число 6 четно либо число 6 делится на 3» – ложно, так как истинны оба высказывания входящие в него.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция. С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением). Пример.
Опираясь на данные таблицы истинности основных логических операций можно составлять таблицы истинности для более сложных формул. 3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 3).
3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 5).
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из “кирпичиков”. Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции. Алгоритм построения логических схем.
Логические законы и правила преобразования логических выражений
|
.
– логическая функция двух переменных A и B.
