для решения какой задачи линейного программирования используется симплекс метод

Подробный разбор симплекс-метода

Пролог

Недавно появилась необходимость создать с нуля программу, реализующую алгоритм симплекс-метода. Но в ходе решения я столкнулся с проблемой: в интернете не так уж много ресурсов, на которых можно посмотреть подробный теоретический разбор алгоритма (его обоснование: почему мы делаем те или иные шаги) и советы по практической реализации — непосредственно, алгоритм. Тогда я дал себе обещание — как только завершу задачу, напишу свой пост на эту тему. Об этом, собственно, и поговорим.

Замечание. Пост будет написан достаточно формальным языком, но будет снабжен комментариями, которые должны внести некоторую ясность. Такой формат позволит сохранить научный подход и при этом, возможно, поможет некоторым в изучении данного вопроса.

§1. Постановка задачи линейного программирования

Определение: Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n- мерного пространства, задаваемых системами линейными уравнений и неравенств.

Общая задача линейного программирования (далее – ЛП) имеет вид:

§2. Каноническая форма задачи ЛП

Каноническая форма задачи ЛП:

Замечание: Любая задача ЛП сводится к канонической.

Алгоритм перехода от произвольной задачи ЛП к канонической форме:

Замечание: ≥0.

§3. Угловые точки. Базисные/свободные переменные. Базисные решения

Определение: Точка называется угловой точкой, если представление возможно только при .

Иными словами, невозможно найти две точки в области, интервал проходящий через которые содержит (т.е. – не внутренняя точка).

Графический способ решения задачи ЛП показывает, что нахождение оптимального решения ассоциируется с угловой точкой. Это является основной концепцией при разработке симплекс-метода.

Определение: Пусть есть система m уравнений и n неизвестных (m

Источник

Симплексный метод решения задач линейного программирования

При графическом методе решения задач ЛП мы фактически из множества вершин, принадлежащих границе множества решений системы неравенств, выбрали такую вершину, в которой значение целевой функции достигало максимума (минимума). В случае двух переменных этот метод совершенно нагляден и позволяет быстро находить решение задачи.

Если в задаче три и более переменных, а в реальных экономических задачах как раз такая ситуация, трудно представить наглядно область решений системы ограничений. Такие задачи решаются с помощью симплекс-метода или методом последовательных улучшений. Идея метода проста и заключается в следующем.

Рассмотрим симплексный метод на конкретном примере задачи о составлении плана.

Еще раз заметим, что симплекс-метод применим для решения канонических задач ЛП, приведенных к специальному виду, т. е. имеющих базис, положительные правые части и целевую функцию, выраженную через небазисные переменные. Если задача не приведена к специальному виду, то нужны дополнительные шаги, о которых мы поговорим позже.

Рассмотрим задачу о плане производства, предварительно построив модель и приведя ее к специальному виду.

Эта задача имеет специальный вид (с базисом, правые части неотрицательны). Ее можно решить симплекс-методом.

II этап. Проверка опорного плана на оптимальность.

Данной таблице 3.4 соответствует следующий опорный план:

Возможны различные ситуации.

1. В индексной F-строке нет отрицательных элементов. Значит, план оптимален, можно выписать решение задачи. Целевая функция достигла своего оптимального значения, равного числу, стоящему в правом нижнем углу, взятому с противоположным знаком. Переходим к IV этапу.

2. В индексной строке есть хотя бы один отрицательный элемент, в столбце которого нет положительных. Тогда делаем вывод о том, что целевая функция F→∞ неограниченно убывает.

3. В индексной строке есть отрицательный элемент, в столбце которого есть хотя бы один положительный. Тогда переходим к следующему III этапу. пересчитываем таблицу, улучшая опорный план.

III этап. Улучшение опорного плана.

Из отрицательных элементов индексной F-строки выберем наибольший по модулю, назовем соответствующий ему столбец разрешающим и пометим «↑».

Чтобы выбрать разрешающую строку, необходимо вычислить отношения элементов столбца свободных членов только к положительным элементам разрешающего столбца. Выбрать из полученных отношений минимальное. Соответствующий элемент, на котором достигается минимум, называется разрешающим. Будем выделять его квадратом.

Выбрав разрешающий элемент, делаем перечет таблицы по правилам:

1. В новой таблице таких же размеров, что и ранее, переменные разрешающей строки и столбца меняются местами, что соответствует переходу к новому базису. В нашем примере: х₁ входит в базис, вместо х₅, которая выходит из базиса и теперь свободная (табл. 3.6).

2. На месте разрешающего элемента 2 записываем обратное ему число ½.

3. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент.

4. Элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и записываем с противоположным знаком.

5. Чтобы заполнить оставшиеся элементы таблицы 3.6, осуществляем пересчет по правилу прямоугольника. Пусть мы хотим посчитать элемент, стоящий на месте 50.

Соединяем этот элемент мысленно с разрешающим, находим произведение, вычитаем произведение элементов, находящихся на другой диагонали получившегося прямоугольника. Разность делим на разрешающий элемент.

Итак, . Записываем 10 на место, где было 50. Аналогично:
, , , .

После пересчета таблицы убеждаемся, что в индексной строке нет отрицательных элементов, следовательно, задача решена, базисный план оптимален.

IVэтап. Выписывание оптимального решения.

— необходимо в план выпуска включить 20 изделий типа А, 40 изделий типа В, при этом прибыль будет максимальной и будет равна 220 руб.

В конце этого параграфа приведем блок-схему алгоритма симплекс-метода, которая в точности повторяет этапы, но, возможно, для некоторых читателей будет более удобна в пользовании, т. к. стрелочки указывают четкую направленность действий.

Ссылки над прямоугольниками в блок-схеме показывают, к какому этапу или подпункту относится соответствующая группа преобразований. правило нахождения первоначального опорного плана будет сформулировано в пункте 3.7.

Условно стандартная задача линейного программирования

Источник

Симплексный метод решения ЗЛП

Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Экстремальное решение достигается на границе области допустимых решений в одной из вершин угловых точек многоугольника, либо на отрезке между двумя соседними угловыми точками.

Суть симплекс-метода. Движение к точке оптимума осуществляется путем перехода от одной угловой точки к соседней, которая ближе и быстрее приближает к X_опт. Такую схему перебора точек, называемую симплекс-метод, предложил Р. Данцигом.
Угловые точки характеризуются m базисными переменными, поэтому переход от одной угловой точки к соседней возможно осуществить сменой в базисе только одной базисной переменной на переменную из небазиса.
Реализация симплекс-метода в силу различных особенностей и постановок задач ЛП имеет различные модификации.

Построение симплекс-таблиц продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Как с помощью симплекс-таблицы определить, что решение задачи линейного программирования является оптимальным?
Если последняя строка (значения целевой функции) не содержит отрицательных элементов, следовательно, найдет оптимальный план.

Если задано условие «Необходимо, чтобы сырье III вида было израсходовано полностью», то соответствующее условие представляет собой равенство.

Аналитическое введение в симплекс-метод

Например, пусть дана система

Совокупность переменных x₁ и x₂ образует базис: Б (x₁, x₂). Если x₃ = 0, то полученное частное решение (5, 11, 0) называется базисным решением, соответствующим базису Б (x₁, x₂).

Базисное решение, соответствующее базису Б (x₁, x₃), таково: (-19/5; 0; 11/5).

Если теперь от базиса Б (x₁, x₃) нам захочется перейти к базису Б (x₂, x₃), то

На этом примере очень наглядно продемонстрирована идея метода: постепенно переходя от базиса к базису, при этом всегда обращая внимание на значения целевой функции, которые должны улучшиться, мы приходим к такому базису, в котором значение целевой функции улучшить нельзя, оно оптимально. Заметим, что базисов конечное число, поэтому количество шагов, совершаемых нами до того нужного базиса, конечно.

Источник

Понятие и алгоритм

Под симплексным методом понимается последовательный переход от одного базисного нахождения системы решений к другому. Эта перестановка повторяется до тех пор, пока переменная величина цели не достигнет своего наибольшего или наименьшего значения. Такой подход является универсальным, его можно использовать для решения любой задачи последовательного программирования.

Метод был разработан в 1947 году математиком из США Бернардом Данцигом. Предложенный способ оказался весьма эффективным для решения задач, связанных с оптимизацией использования ограниченных ресурсов. То есть он позволяет оценить и откорректировать параметры системы, а также получить качественные аналитические результаты.

Существует два подхода решения задачи:

Первый можно использовать для оптимизационного решения двухмерных задач. Например, существует два производственных цикла по сборке ящиков. Выпуск товара характеризуется ограничением в поставках древесины и временем формовки изделия. Для одного необходимо 30 досок, а для другого — 40. Поставщики доставляют в неделю 2 тыс. единиц материала. Первый ящик собирается за 15 минут, а второй — за 30. Нужно определить, какое количество ящиков необходимо производить за неделю на первом конвейере и на втором. При этом первое изделие приносит 10 рублей прибыли, а второе — пять. Время изготовление ограничено 160 часами.

Решение заключается в принятии за Х1 и Х2 количество выпущенных ящиков. Затем — в нахождении максимальной еженедельной прибыли и описании процесса ограничения в виде уравнения.

Это типовая двухмерная задача, условия неотрицательности которой определяются границами прямых: 30*Х1 + 4 0*Х 2 ≤ 2000 (для досок) и 20*Х 1 ≤ 50*Х 2 = 1600 (для сборки). Отложив по оси ординат Х1, а Х2 по абсцисс, и указав на них точки соответствующие уравнениям, можно будет подобрать оптимальное решение для использования сырья и времени.

Графический метод удобно применять для двухмерных задач, но его невозможно использовать при решениях, связанных с размерностью, превышающей три. При этом во всех алгоритмах оптимальный результат принимается допустимым базисному. Симплекс-метод же является вычислительной процедурой, использующей принятое положение, описываемое в алгебраической форме.

Симплекс-метод при базисном решении

Впервые способ был изложен Данцигом в книге «Линейное программирование, его обобщения и применения», изданной на русском языке в 1966 году. Эта теория основывалась на вычислительной процедуре и представлялась в виде стандартных алгебраических форм. Основное направление метода заключается в указании способа нахождения опорного решения, переходе к другому, более оптимальному расчёту и определении критериев, позволяющих остановить перебор опорных вариантов.

Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс методом следующий:

Другими словами, указывается оптимальное опорное решение, способ перехода от одного нахождения ответа к другому, варианты улучшения расчётов. После нахождения первоначального решения с «единичным базисом» вычисляется оценка разложения векторов по базису и заполняется симплексная таблица.

В тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи, используют метод с искусственным базисом. Это симплекс-метод с так называемой М-задачей (ММЭ), решаемый способом добавления к левой части системы уравнений искусственных единичных векторов. При этом новая матрица должна содержать группу единичных линейно-независимых векторов.

Двухфазный способ

Двойственный метод используется при анализе задач линейного программирования, записанного в форме основной задачи. При этом среди векторов, m уравнений, составленных из коэффициентов, должны быть единичные. Такой метод можно использовать, когда свободные члены уравнений являются любыми числами.

Например, существует ограниченность, описываемая функцией:

F = C 1 X 1+ C 2 X 2+…+ CnXn. Используется условие, что Х1Р1+Х2Р2+…+Х(m +1) P (m +1)+ +… XnPn = Р0, где Х j больше либо равно 0 (j =1, n). Принимается, что среди чисел bi (i =1, m) имеются отрицательные.

Решением будет выражение: х= (b1; b2;…; bm ;0;…;0), однако этот ответ не будет разрешать задание, так как к нему могут относиться и отрицательные числа. Так как векторы Р1, Р2… Рм единичные, то каждый из них можно описать линейной областью, состоящей из них же. При этом коэффициентами разложения векторов Рj по области будут числа: Xij = aij (i =1, m; j =1, n) по модулю.

Выражение х= ( b1; b2;…; bm ;0;…;0) определяется базисом. Называют его псевдоплан. Считается, что если дельта j больше либо равна нулю, то для любого: j ( j =1, n ) по модулю. В то же время если в псевдоплане с находимым базисом существует хотя бы одно отрицательное число, то тогда задача вообще не будет иметь планов. Но когда для этих отрицательных чисел верно, что аij меньше нуля, то можно будет перейти к новому псевдоплану.

Объяснение псевдоплана помогает построить алгоритм двойственного метода. Если взять за основу х = (b1; b2;…; bm ;0;…;0) и представить это выражение псевдопланом, то, учитывая исходные данные, можно составить симплекс-таблицу. В ней часть элементов будет отрицательная. Так как дельта j должна быть больше либо равна нулю, то при отсутствии таких чисел в таблице уже будет записан оптимальный план. В обратном случае выбирается по модулю наибольшее из чисел с минусом.

Принцип решения задачи включает следующее:

Если анализ оптимален, считается, что найдено верное решение. В другом случае устанавливается неразрешимость задачи либо составляется новый псевдоплан. Делается это в результате пересчёта табличных данных, например, методом Жордана-Гаусса.

Пример задачи

Использование метода линейного программирования распространено в решениях транспортных задач. Он помогает в целевых расчётах и нужен для минимизации затрат в условиях ограниченной грузоподъёмности и времени обслуживания заказчиков.

Задачи линейного программирования (ЗЛП) позволяют выбрать оптимальную загрузку при перемещении какого-либо товара из одних мест в другие. Во вводных данных указывается число пунктов отправления (м) и количество мест назначения (n). Первые обозначаются как А1, А2…Ам, а вторые – В1, В2…Вn. За аi принимается объём продукции на складе, а bi – потребность. Затраты на перевозку с i пункта в j обозначаются Сij.

Главная задача — составить план таким образом, чтобы общая стоимость была минимальна. Пусть дано четыре песчаных карьера, с которых необходимо поставить песок на четыре склада. При этом осуществляться перевозки должны за определённую стоимость. Составляем таблицу.

Записываем уравнение ограничения. Сумма всего перевезённого песка с первого карьера должна быть меньше или равна 140. Поэтому можно записать: x11+x12+x12+x14+T1 = 140, где Т1 переменная для хранения остатка. Сумма ограничений будет записана как х11+х21+х31 =115. Аналогичные уравнения составляют и для оставшихся карьеров.

В последней строчке прямоугольника проставляют сумму произведений Сб на этот столбец и вычитают значение суммы перемножения Сб с А0. Делают дополнительное вычисление. Для каждой строки А0 делят на выделенное число, ищут наименьший результат и умножают его на положительные числа из последней строки.

Наибольшее число определяется пересечением ранее выбранных значений, на базе которых создают новый базис. После в соответствии с единичными базисами меняют Сб и Хб. Операцию повторяют до тех пор, пока не исчезнут все положительные числа из последней строки. Заполняют новую таблицу.

Расчёт в Excel

Для включения пакета анализа в программе необходимо перейти в раздел «Параметры» и выбрать строчку «Перейти». В новом окне найти строчку «Пакет анализа», кликнуть по ней и нажать кнопку ОК.

Затем понадобится загрузить и открыть шаблон для проверки в Excel. Используя манипулятор типа «мышь» или клавиатуру, выбрать ячейку G4 и выполнить команду «Сервис/Поиск решения». Далее указать исходные данные, а после нажать кнопку «Выполнить».

Полученное решение можно представить в форме отчёта, содержащего:

Онлайн-сервис для чайников

Метод решения относится к высшей математике, поэтому в нём довольно трудно разобраться даже подготовленному человеку, не говоря уже о чайнике. Существует некоторое количество сайтов с подробным онлайн-решением методом симплекса. На таких сервисах предлагается ввести количество переменных и строк (ограничений). А далее просто заполнить симплекс-таблицу и нажать расчёт. Причём при необходимости вводимые данные можно править, тем самым видеть, как изменяется результат от изменения исходной информации.

Удобным является ещё и то, что обычно на сайтах предлагается создать шаблон решения в Excel или Maple. Решаться любая задача будет почти мгновенно. Подробно можно выполнить расчёт онлайн-калькулятор по методу симплекса на следующих сайтах:

Выполнить расчёт с помощью онлайн-сервисов сможет любой. При этом вероятность ошибки в ответе стремится к нулю. Тем более что для решения задачи даже необязательно знать принцип симплекс-метода.

Источник

Симплексный метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод решения задач линейного программирования

Введение

Общая постановка задачи

а) Если система ограничений ЗЛП обладает хотя бы одним решением, она называется совместной в противном случае несовместной; б) Допустимое множество решений ЗЛП не пусто, если система ограничений совместна; в) Множество допустимых решений ЗЛП (если оно не пусто) в общем случае является многогранным множеством. Линейная функция Q(X ) называется функцией цели, целевой функцией (ЦФ), множество планов <X > удовлетворяющих системе ограничений (2) – (5), ­­- множеством допустимых решений (альтернатив) и обозначается символом R, X є Ω Допустимый план X є Ω, доставляющий целевой функции (1) экстремальное значение, называется оптимальным. Задача в форме (1) – (5) представляет общую задачу линейного программирования.

Cтандартная форма задачи

Если все ограничения задачи заданы в виде строгих равенств и на переменные величины наложено условие неотрицатаельности x_j ≥0, j = 1(1)n, то такую формулировку называют стандартной:

Экстремумы функций в общем случае связаны простыми соотношениями

Переход от общей задачи к стандартной

Каноническая форма задачи

Удобство этой формы ЗЛП состоит в том, что она позволяет предельно просто получить первое допустимое решение. Для этой формы должны быть выполнены условия:

правые части в ограничениях – неотрицательны b_i ≥ 0, i = 1(1)m;

каждое уравнение содержит переменную x_j ≥0 с коэффициентом при ней равным “1” в этом уравнении и с коэффициентом “0” во всех других уравнениях; эти переменные называют дополнительными или искусственными;

в ЦФ эти переменные входят с коэффициентом “0”;

определение опорного плана (начальной вершины) выполняют методом искусственного базиса, что ещё до решения задачи позволяет выяснить факт существования решения.

Если исходная задача имеет хотя бы один план, то расширенная задача (после введения искусственных переменных в систему ограничений) также содержит этот план в качестве своего допустимого решения

Геометрическая интерпретация ЗЛП

Выпишем их и присвоим им имена

Целевая функция. Что можно сказать о линейной форме (ЦФ)? Это функция двух переменных x₁ и x2, её образ в трёхмерном пространстве – плоскость, проходящая через начало координат. Найдём частные производные ЦФ по х_j

Таким образом, перемещаясь вдоль вектора C или по прямой х₂ =с₂х₁/c₁, легко построить линию уровня (она перпендикулярна х₂ = с₂х₁/c₁ ) и вычислить значение ЦФ Q для этой линии. Экстремум Q, очевидно, будет достигаться в положении касания линией уровня (её проекцией) границы множества допустимых решений. Такое касание может быть трёх типов: в вершине, по ребру, по грани многогранника. Этим типам касания соответствуют: единственное решение в вершине и бесконечное множество решений в других случаях. Область допустимых решений. Рассмотрим случаи ограниченной и неограниченной области допустимых решений. В последнем случае поиск экстремума Q может приводить к отсутствию решения, так как extr Q → ±∞ или существует опорная прямая линия, касающаяся неограниченного многогранника, и тогда решение существует.

Пример. Описание области допустимых решений.

Мы можем записать уравнение границы области D заданной неравенствами:

Теорема 1. Любой вектор n-мерного векторного пространства можно представить, как линейную комбинацию векторов базиса, притом единственным образом. Определение 2.5. Максимальное число линейно независимых векторов линейного пространства называется размерностью линейного пространства. Линейное пространство обычно обозначают, R_n где n – его размерность. Выпуклой оболочкой точек называется множество всевозможных выпуклых комбинаций этих точек. Множество называется выпуклым, если вместе с двумя любыми его точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию. С геометрической точки зрения это означает, что выпуклое множество содержит вместе с любыми двумя своими точками и соединяющий их отрезок. Выпуклое множество совпадает со своей выпуклой оболочкой. Примерами выпуклых множеств являются прямолинейный отрезок, квадрат, круг, прямая, полуплоскость, куб, шар, полупространство и другие. Угловыми точками выпуклого множества называются точки, не являющиеся выпуклой линейной комбинацией двух произвольных точек множества. Например, угловыми точками треугольника являются его вершины, угловыми точками круга – точки окружности. Таким образом, выпуклое множество может иметь конечное или бесконечное число угловых точек, но может не иметь их совсем. Например, прямая, плоскость, полуплоскость, пространство, полупространство угловых точек не имеют. Одним из основных понятий теории линейного программирования является понятие выпуклого многогранника в n-мерном пространстве, частными случаями которого являются при n = 1 отрезок на прямой, при n = 2 выпуклый многоугольник на плоскости. Выпуклым многоугольником называется выпуклое замкнутое ограниченное множество точек на плоскости, имеющее конечное число угловых точек, называемых вершинами. Прямолинейные отрезки, соединяющие две вершины и образующие границу, называются сторонами многоугольника.

Опорной прямой выпуклого многоугольника называется прямая, имеющая с многоугольником, расположенным по одну сторону от нее, хотя бы одну общую точку.

Выпуклым многогранником называется выпуклое замкнутое ограниченное множество точек пространства, имеющее конечное число угловых точек, называемых его вершинами. Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями, а отрезки, по которым пересекаются грани, называются ребрами. Опорной плоскостью многогранника называется плоскость, имеющая с многогранником, расположенным по одну сторону от нее, хотя бы одну общую точку.

Теорема 2.2. Выпуклый n-мерный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.

Следствие 2.3. Из теоремы вытекает, что выпуклый многогранник порождается своими угловыми точками (вершинами): отрезок – двумя точками, треугольник – тремя точками, n – угольник на плоскости – n точками и т. д. В тоже время выпуклая многогранная область, содержащая бесконечно удаленную точку, являясь неограниченным множеством, не определяется однозначно своими угловыми точками: любую ее точку нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек.

Элементы выпуклых множеств

Определение 1. Множеством называется совокупность элементов любой природы, для которых задано правило принадлежности к данному множеству.

Определение 7. Множество М называется в ы п у к л ы м, если вместе с любыми двумя точками, принадлежащими данному множеству, оно содержит и отрезок их соединяющий. В общей форме ЗЛП каждый символ R1, R2, …, Rm означает один из знаков: = или ≠. В такой форме задачи линейного программирования часть переменных может быть подчинена условию неотрицательности (x_i ≥ 0), часть – условию неположительности (x_j ≤ 0), а какие-то переменные, возможно, могут принимать любые значения.

Общий алгоритм симплексного метода ЗЛП

Пусть система невырожденна и совместна, т.е. r_A = r_B = r = m

Все введённые переменные в новых обозначениях удобно свести в таблицу, которая называется симплексной.

Алгоритм решения

1) Формируем исходный план при свободных переменных; x_j =0, j = m+1(1)n, x_j = β_ф, ф = 1(1)m при β_ф > 0 план x o допустим Q(x) =x_o.

2) Проверяем этот план на оптимальность, используя значения γ_j коэффициентов ЦФ в последней строке таблицы. Могут быть два случая:

б) некоторые γ_j > 0. В этом случае увеличение значений соответствующих свободных переменных x_j (γ_j > 0) будет минимизировать Q, так как

Чтобы Q уменьшалось, такие переменные следует вводить (последовательно) в базис, но, чтобы размерность пространства не изменялась из базиса должны выводиться переменные в число свободных (по одной) формируем множество индексов Г = < j | γ_j >0>. Какая переменная должна первой вводиться в базис? Вообще последовательно перебирая (вершины симплекса) решение отыскивается при произвольном выборе, но для определённости выбираем новую базисную переменную с индексом v = argmax <x_j>, где j ∈ Г. Теперь определим переменную (базисную), которая будет выводиться из базиса.

В системе уравнений

Начинаем увеличивать х_v до тех пор, пока некоторый х_ф станет отрицательным. Первый же х_ф ≤ 0 будет выводиться из базиса. Определение. Столбец с индексом v и строка с индексом ф = i называются направляющими.

3) Проверка существования решения (ограниченность ЗЛП). В выражениях, связывающих х, ∝, β, х_ф = β_ф -∝_фvх_v, ф=1(1)m, могут быть все ∝_фv 0. Пусть ЦФ ограничена и некоторые ∝_фv > 0. Сформируем множество индексов S = < ф | ∝_фv >0>. Из базиса необходимо выводить переменную с индексом i, так как она первая обращается в нуль, i = argmin(β_ф/∝_фv), где ф∈S, таким образом, базисная переменная x_i выводится из базиса.

4) Формируем новые множества:

Дальнейшие действия алгоритма:

преобразуем задачу, т.е. все базисные переменные и целевую функцию выражаем через свободные переменные;

заполняем новую симплексную таблицу;

делаем все свободные переменные х_j = 0 и находим опорный план;

Опорный план (вектор) такой Х’ = ; Q(Х’ ) ≤ Q₀ ;

если план не оптимален, то определяем направляющий столбец;

проверяем существует ли оптимальный план;

если оптимальный план существует, то находим направляющую строку и вновь изменяем базис и т. д.

Переход от одной таблицы к другой связан с трудоемкими расчетами (о чем надо еще написать) Вводимую в базис переменную х_ν (икс ню) выражаем через свободные переменные и выводимую х_i. Действуем так.

При ручном счете все эти действия проще выполнять с использованием вспомогательных таблиц по правилам специального алгоритма. Эти таблицы имеют прежнюю структуру, но клетки делятся на две полуклетки. В верхней полуклетке оставляем содержимое из прежней таблицы.

При решении задач линейного программирования вычисляются ранги у матрицы ограничений и расширенной матрицы ранги должны быть равны r=m.

Матрица и её ранг. Система mn чисел, расположенных в форме прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется матрицей.

Определение. Минором k-го порядка матрицы [A] (k ≤ m, k ≤ n) называется определитель D, составленный (с сохранением порядка) из k 2 элементов матрицы, лежащих на пересечении некоторых её k столбцов и k строк См. схему выше минор D из 3-х строк и 3-х столбцов. Обозначается матрица символами:

Матрица А и ее миноры с различным окаймлением

Приведем пример вычисления ранга матрицы.

С выполнением каждого шага связаны процедуры:

1. Получение опорного плана; 2. устанавливается, является ли данный опорный план оптимальным; 3. если нет, то существует ли оптимальный план вообще, или задача является неограниченной; 4. если оптимальный план существует, то, как перейти на следующем шаге, к новому опорному плану с меньшим значением ЦФ.

Алгоритм СМ применяется к ЗЛП после её приведения к канонической форме, т.е. отыскивается минимум целевой функции min Q(X) на множестве векторов Х .

(здесь x_e, e =(m+1)(1)n). Матрица этой системы неособенная и, следовательно, система имеет единственное решение x_j , j =1(1)m.

Исходный опорный план ЗЛП – вектор, содержащий значения всех переменных задачи как базисных, так и свободных, т.е. этот вектор Х , удовлетворяет ограничениям, но не обеспечивает, как правило, экстремума ЦФ. Общее число опорных планов очевидно равно числу сочетаний из n по m. Оптимальный план можно выявить, перебрав их все. Такой путь громоздок и неприемлем уже при n, m ≈ 10 ÷15.

Алгоритм СМ тоже перебирает опорные планы, но не все, а направленно, т.е. на каждом шаге ЦФ уменьшается. Число шагов имеет тот же порядок, что и число уравнений в ограничениях.

Приведем пояснения некоторым понятиям и терминам, широко используемым в алгоритме решения задач линейного программирования симплексным методом и тесно связанными с ним методами.

Определение. Системой линейных уравнений называют систему следующего вида. Ранг матрицы определяется через миноры r = – 5.

Определение. Симплекс – выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n + 1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. Симплексы выделены в отдельный класс потому, что в n-мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости. Другими словами, симплекс – это простейший многоугольник, содержащий некоторый объем n-мерного пространства. В обычном (трехмерном) пространстве симплекс – это тетраэдр; трехмерный объем совпадает с объемом тела. На плоскости симплекс – это треугольник, двумерный объем – площадь; на прямой – симплекс – отрезок, объем – длина отрезка.

Определение. Гиперпространство, гиперплоскость. Гиперпространство многомерного (n-мерного) пространства – это его подпространство размерности (n – 1). Главное свойство гиперпространства – то, что оно «самое большое» подпространство. Иначе говоря, если к базису выбранного гиперпространства добавить еще один линейно независимый вектор, то можно получить базис всего пространства.

Например, для трехмерного пространства гиперпространством является плоскость (любая), проходящая через начало координат. Для двумерного пространства – гиперпространство – это прямая линия, проходящая через нуль.

Гиперплоскость в n-мерном пространстве обобщает наши представления о роли прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Например, в n-мерном пространстве через любые n точек можно провести единственную гиперплоскость (как в трехмерном через три точки общего положения, т.е. не лежащие на одной прямой).

Гиперплоскость определяется линейной формой: а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_nx_n = k, где коэффициенты (а₁, а₂, …, а_n) представляют собой координаты вектора А.

Гиперплоскость делит пространство (соответствующей размерности) на два полупространства. Все точки каждого из них определяются неравенствами. Например, в случае прямой линии на плоскости: а₁х₁ + а₂х₂ ≥_Z, или а₁х₁ + а₂х₂ >Z _, а₁х₁ + а₂х₂ Литература

Ваулин А. Е. Методы цифровой обработки данных.– СПб.: ВИККИ им. А. Ф. Можайского, 1993.– 106 с.

Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982.

Корбут А.А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1969.

Макаров И. М. и др. Теория выбора и принятия решений.– М.: Наука, 1982.– 328 с.

Пфанцагль И. Теория измерений. – М.: Наука, 1988.–384 с.

Таха Х. А. Введение в исследование операций. 7-е изд. М.: Изд. дом «Вильямс», 2005.

Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений. – М.: Наука,1978. –352 с.

Источник