до какой высоты следует налить жидкость в цилиндрический сосуд радиусом r
До какой высоты следует налить жидкость в цилиндрический сосуд радиусом R,чтобы сила давления жидкости на дно сосуда
Ответ или решение 1
Давление жидкости (например, в сосуде) называют гидростатическим. Для него характерно то, что в любой точке её объёма оно одинаково во всех направлениях.
То есть на дне сосуда давление будет одинаковым — и на дно и на боковую стенку. Но чем выше мы будем подниматься «по стенке», тем больше будет падать давление на неё, а у поверхности оно, вообще, сведется к нулю.
По этой причине, говоря о давлении на всю боковую поверхность (стенку), имеют ввиду его усреднённое значение, которое будет половинным от значения «у самого дна».
Принимая это обстоятельство во внимание, а также формулу давления в жидкости p = ρgh (где h — высота столба жидкости) и формулу силы давления — F = pS, где p — давление, F — сила, давящая на определённую площадь, S — площадь, к которой приложена эта сила, — сравним силы давления на дно и боковую стенку нашего сосуда.
F дно = ρgh * S дна = ρgh * πR² (сосуд цилиндрический, в его основании лежит круг).
F стенк = (ρgh * S стенк)/2 (помним об усреднённом, половинном значении давлении на всю боковую стенку!) = (ρgh * 2πR * h)/2 (сосуд цилиндрический, площадь его боковой стенки есть прямоугольник, «завёрнутый в трубочку» по длине окружности дна).
Теперь нужно составить уравнение, при котором будет верно условие F дно = 2 F стенк.
Произведя нехитрые преобразование, получим
(ρgh * πR²) / ((ρgh * 2πR * h)/2) = 2;
R/h = 2; h = R/2. Таким образом, в сосуд нужно налить жидкость на высоту, равную половине его радиуса, чтобы сила давления жидкости на дно сосуда превысила её давления на боковую поверхность в 2 раза, — по условиям нашего примера.