на каком чертеже точка принадлежит биссекторной плоскости 3 й четверти

Начертательная геометрия: конспект лекций

Данное учебное пособие представляет собой курс лекций и предназначено для студентов, сдающих экзамен по специальности «Начертательная геометрия». Подготовлено с учетом требований Министерства образования РФ.

Оглавление

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Начертательная геометрия: конспект лекций предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

1. Проекции точки на две плоскости проекций

Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.

Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А, а проекцию а́ на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией.

Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С. Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с… Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а́, b́, с́…

Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II,… а для их проекций — арабскими цифрами 1, 2… и 1́, 2́…

При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки.

Через перпендикулярные прямые Аа и Аа́ проведем плоскость (рис. 4). Полученная плоскость является перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям, потому что содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Следовательно, данная плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей. Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аа_х, а фронтальную плоскость — по прямой а́а_х. Прямые аах и а́а_х являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха́ является прямоугольником.

При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а́ будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аа_х и а́а_х не нарушится.

Получаем, что на эпюре проекции а и а́ некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.

Две проекции а и а́ некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А. Точно так же перпендикуляр из проекции а́ к фронтальной плоскости пройдет через точку А, т. е. точка А находится одновременно на двух определенных прямых. Точка А является их точкой пересечения, т. е. является определенной.

Рассмотрим прямоугольник Aaa_ха́ (рис. 5), для которого справедливы следующие утверждения:

1) Расстояние точки А от фронтальной плоскости равно расстоянию ее горизонтальной проекции а от оси пересечения плоскостей, т. е.

2) расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций равно расстоянию ее фронтальной проекции а́ от оси пересечения плоскостей, т. е.

Иначе говоря, даже без самой точки на эпюре, используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.

Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).

Ось пересечения плоскостей делит горизонтальную плоскость на две четверти — переднюю и заднюю, а фронтальную плоскость — на верхнюю и нижнюю четверти. Верхнюю часть фронтальной плоскости и переднюю часть горизонтальной плоскости рассматривают как границы первой четверти.

При получении эпюра вращается горизонтальная плоскость и совмещается с фронтальной плоскостью (рис. 7). В этом случае передняя часть горизонтальной плоскости совпадет с нижней частью фронтальной плоскости, а задняя часть горизонтальной плоскости — с верхней частью фронтальной плоскости.

На рисунках 8-11 показаны точки А, В, С, D, располагающиеся в различных четвертях пространства. Точка А расположена в первой четверти, точка В — во второй, точка С — в третьей и точка D — в четвертой.

При расположении точек в первой или четвертой четвертях их горизонтальные проекции находятся на передней части горизонтальной плоскости, а на эпюре они лягут ниже оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена во второй или третьей четверти, ее горизонтальная проекция будет лежать на задней части горизонтальной плоскости, а на эпюре будет находиться выше оси пересечения плоскостей.

Фронтальные проекции точек, которые расположены в первой или второй четвертях, будут лежать на верхней части фронтальной плоскости, а на эпюре будут находиться выше оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена в третьей или четвертой четверти, ее фронтальная проекция — ниже оси пересечения плоскостей.

Чаще всего при реальных построениях фигуру располагают в первой четверти пространства.

В некоторых частных случаях точка (Е) может лежать на горизонтальной плоскости (рис. 12). В этом случае ее горизонтальная проекция е и сама точка будут совпадать. Фронтальная проекция такой точки будет находиться на оси пересечения плоскостей.

В случае, когда точка К лежит на фронтальной плоскости (рис. 13), ее горизонтальная проекция k лежит на оси пересечения плоскостей, а фронтальная ḱ показывает фактическое местонахождение этой точки.

Для подобных точек признаком того, что она лежит на одной из плоскостей проекций, служит то, что одна ее проекция находится на оси пересечения плоскостей.

Если точка лежит на оси пересечения плоскостей проекций, она и обе ее проекции совпадают.

Когда точка не лежит на плоскостях проекций, она называется точкой общего положения. В дальнейшем, если нет особых отметок, рассматриваемая точка является точкой общего положения.

2. Отсутствие оси проекций

Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между проекциями. Линия сгиба будет изображать ось пересечения плоскостей. Если после этого согнутый кусок бумаги вновь расправить, получим эпюр, похожий на тот, что изображен на рисунке.

Совмещая две плоскости проекций с плоскостью чертежа, можно не показывать линию сгиба, т. е. не проводить на эпюре ось пересечения плоскостей.

При построениях на эпюре всегда следует располагать проекции а и а́ точки А на одной вертикальной прямой (рис. 14), которая перпендикулярна оси пересечения плоскостей. Поэтому, даже если положение оси пересечения плоскостей остается неопределенным, но ее направление определено, ось пересечения плоскостей может находиться на эпюре только перпендикулярно прямой аа́.

Если на эпюре точки нет оси проекций, как на первом рисунке 14 а, можно представить положение этой точки в пространстве. Для этого проведем в любом месте перпендикулярно прямой аа́ ось проекции, как на втором рисунке (рис. 14) и согнем чертеж по этой оси. Если восстановить перпендикуляры в точках а и а́ до их пересечения, можно получить точку А. При изменении положения оси проекций получаются различные положения точки относительно плоскостей проекций, но неопределенность положения оси проекций не влияет на взаимное расположение нескольких точек или фигур в пространстве.

3. Проекции точки на три плоскости проекций

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной.

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х, общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей — осью у, а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей — осью z. Точка О, которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

Источник

Вставить чертеж см. листок

Задача 2Точка задана координатами: А(20, 15, 25). Построить двухкартинный и трёхкартинный комплексные чертежи точки А с осями и без осей, а также её аксонометрию.

Решение..Через точку Ах проводим вертикальную линию связи и, отложив у, получаем А₁, отложив z, получаем А₂. Через фронтальную проекцию А2 точки А проводим горизонтальную линию связи и, отложив у от точки Аz, получаем профильную проекцию А3 точку А. Обычно точки Ах и Аz на чертеже не указывают. Получим трехкартинный чертеж с осями.. В аксонометрии строим координатную ломанную x-y-z и отмечаем точки А I ₁ и А I (рис….) Если стоится безосный чертеж, то выбирается, например, положение фронтальной проекции А₂ (рис….). Затем, отложив отрезок (у + z) по вертикальной линии связи и (х + у) по горизонтальной, отмечаем положения горизонталдьной А₁ и профильной А₃ проекций. Часто в работе пользуются двухкартинным чертежом,. Тогда на оси х проекций нужно выбрать начало отсчета 0 (рис….) и построить (А₁ А₂ ), как показано на рисунке …… В таком же безосном чертеже (рисунок ….) координата по оси х может не использоваться.

Дополнительные задачи

Задача 1Построить комплексный чертёж точек А, В, С, Д, лежащих в биссекторных плоскостях: А и В в чётной и в разных четвертях, С и Д в нечётной и в разных четвертях.

Задача 2Построить следы профильной прямой АВ и указать, через какие четверти пространства она проходит.

Задача 3Построить комплексный чертёж прямой линии с, проходящей через 4, 1, и 2 четверти. Показать видимость частей прямой и построить точки, принадлежащие прямой с и лежащие: А во 2 четверти, В в 1 четверти и М в 4 четверти.

ТЕМА 2 Комплексный чертеж Монжа

(плоскость)

Вопросы самоконтроля

1. Покажите способы задания плоскости общего и частного положения на комплексном чертеже?

2. Какие плоскости называются плоскостями общего и частного положения?

3. Дайте определение горизонтали и фронтали, линии наибольшего наклона плоскости.

4. Сформулируйте условие принадлежности прямой плоскости.

5. Сформулируйте условие принадлежности точки плоскости.

6. Как через прямую провести проецирующую плоскость?

7. Что называется следом плоскости?

Упражнения

4.1.1 Символической записью дать название плоскостей, способ их задания. Указать их положение относительно плоскостей П₁ и П₂.

в)

4.1.2 Достроить недостающие проекции прямых t и l,принадлежащих плоскости β(АВС) и α(α₂).

4.1.3 Достроить недостающую проекцию точки N, принадлежащую плоскости α (а∩b).

Задачи

4.2.1 В плоскости Q (Q₁) построить равнобедренный треугольник АВС с основанием АС= 30 мм. Высота треугольника равна 40 мм.

4.2.2 В плоскости Е (АВС) провести горизонталь через точку D и фронталь через точку Е. Построить недостающие проекции точек D и Е.

4.2.3 Через прямую m провести плоскость:

б) общего положения.

4.2.5 Определить длину пути шарика М, катящегося по плоскости S(АВС), и угол наклона этой плоскости к П₁. Показать решение этой задачи на пространственном чертеже.

4.2.4 Постройте следы плоскости, заданный двум пересекающимся прямыми АВ и АС. Заданы координаты: А (90; 20; 30), В (70; 10; 60), С (50; 70; 10).

Примеры решения задач:

Задача 1Плоскость задана пересекающимися прямыми: Σ(а∩b). Известна горизонтальная проекция прямой m (m₁ ), лежащей в этой плоскости. Построить фронтальную проекцию этой прямой линии.(рисунок…..)

Решение:

Задача 2Определить углы наклона плоскости α(АВС) к плоскостям проекций П₁ иП₂.

Решение:

Построим (рисунок…..). Через точку В₁ проведем горизонтальную проекцию (В₁ О₁ ) линии ската (ВО) и построим ее фронтальную проекцию (В₂О₂).Способом треугольника ∆О₁В₁ В * определяем

Построим (рисунок….) той же плоскости. В произвольном месте построим фронтальную проекцию линии наибольшего наклона плоскости а к П₂, возьмем на ней отрезок и построим горизонтальную проекцию l₁ (F₁ E₁). Способом треугольника через ∆F₂ E₂ E * и определяем .

Дополнительные задачи

4.4.1 В плоскости Q (АВС) построить произвольный треугольник, стороны которого параллельны плоскостям проекций

4.4.2 Построить недостающую проекцию точки А плоскости

Источник

Пример решения задачи на построение эпюра точки.

Построить ортогональные (эпюр, двухпроекционный чертеж) и аксонометрические проекции точек А (30,-18,32) и B (15,25, 50), а также:

— точки K, симметричной точке А относительно плоскости p₁;

— точки С, симметричной точке A относительно плоскости p₂;

— точки D, симметричной т. B относительно оси OX;

Аксонометрические проекции точек следует строить во фронтальной диметрической проекции – ГОСТ 2.317-69.

Решение.

Для построения на эпюре точки А проведем ось OX. От точки О откладываем координату x_A, полученную точку обозначаем A_x (рис.4). Через точку A_x проводим линию связи, перпендикулярную оси OX. Вдоль линии связи откладываем координаты z_A=30 мм – выше оси OX (т.к. значение положительно), y_A=18 мм выше оси OX (т.к. значение y отрицательно). В результате координата z_Aопределит положение фронтальной проекции А₂ точки А, а y_A – горизонтальной проекции A₁. Для построения аксонометрической проекции точки А нужно известные координаты отложить вдоль соответствующих осей и далее выполнять построения, очевидные по рис.4. Так как в качестве аксонометрической выбрана прямоугольная диметрия, то координата y при построениях уменьшается вдвое.

Для определения искомых координат точек, симметричных относительно геометрических объектов заданным, удобно использовать аксонометрическое изображение плоскостей p₁/p₂ под другим углом зрения (рис.5) (вдоль оси OX, ось OX направлена на нас). На рис.5, например, можно видеть построение точки D, симметричной т.B относительно оси OX.

Рис.5

Подобное представление удобно для установления связи координат искомых точек К,С, D и М, необходимых для построения их эпюров.

В истинности выражений (1) предлагается убедиться самостоятельно.

1.3. Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Определить по эпюру координаты точек в мм, определить положение точек относительно плоскостей проекций (указать угловой квадрант), построить третьи проекции точек (рис.6).

Рис.6.

Задача 3. Точка А имеет координаты (30,25,-34). Требуется построить:

1) точку В, симметричную точке А относительно p₁.

2) точку С, симметричную точке А относительно p₂.

3) точку Е, симметричную точке А относительно p₃.

Задача 4. Точка D имеет координаты (20, 46,38). Построить:

1) точку М, симметричную точке D относительно четной биссекторной плоскости t (плоскости тождеств, биссектора 2 и 4 координатных углов);

2) точку L, симметричную точке D относительно нечетной биссекторной плоскости s (плоскости симметрии, биссектора 1 и 3 координатных углов).

Задача 5. По заданным проекциям точки А построить ось проекций OZ (рис.7).

Задача 6. Задана фронтальная проекция точки В, равноудаленной от плоскостей прекций p₁ и p₂. Построить остальные проекции точки (рис.8).

Рис.8.

Задача 7. Дать ответы на следующие вопросы:

1. Каково условие принадлежности точки плоскости p₁?

2. Какой координатой определяется расстояние от точки до плоскости p₁,p₂, p₃?

3. Каково условие принадлежности точки оси OY?

4. К какой из плоскостей находится ближе всего точка А (70,64,-12)?

5. Какими координатами определяется фронтальная проекция точки?

6. Какими координатами определяется горизонтальная проекция точки проекция точки?

7. При каком условии точка будет равноудалена от плоскостей проекций p₁p₂p₃?

Задача 8. По проекции М₂ построить проекции М₁ и М₃, если z_M=y_M/2 (рис.9).

Источник

На каком чертеже точка принадлежит биссекторной плоскости 3 й четверти

Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.18).

Рисунок 18. Прямая общего положения

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня . В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.19). Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство

Рисунок 19. Горизонтальная прямая

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями ( рис.20).

Рисунок 20. Фронтальная прямая

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис. 21).

Рисунок 21. Профильная прямая

Рисунок 22. Фронтально проецирующая прямая

4. Прямые параллельные биссекторным плоскостям (рис. 25)

5. Прямые перпендикулярные биссекторным плоскостям (рис. 25)

Источник