Пересечение прямой линии с конической поверхностью
Пусть имеем конус, расположенный на плоскости a, и некоторую прямую а, пересекающую коническую поверхность (рис. 7.4).
Проведем через какие-нибудь точки А и В прямой а и вершину конуса S прямые SA и SB. Эти пересекающиеся прямые и определяют вспомогательную плоскость w, которая пересечет коническую поверхность по некоторым образующим. Для нахождения этих образующих построим линию пересечения плоскости w с плоскостью основания конуса a. Линия пересечения этих плоскостей пройдет через точки M и N, в которых прямые SA и SB пересекаются с плоскостью a.
Прямая MN пересекает очерк основания конуса в точках 1 и 2, через которые и проходят вышеназванные образующие. Пересечение этих образующих с данной прямой а определит искомые точки пересечения К и L.
На рис. 7.5 показано решение рассматриваемой задачи на эпюре конуса, стоящего на горизонтальной плоскости проекций. В этом случае точки M и N для прямых SA и SB, определяющих вспомогательную плоскость, являются их горизонтальными следами, а прямая MN – горизонтальным следом этой плоскости.
Выполненные на рис. 7.5 построения полностью соответствуют вышеприведенному описанию.
Отрезок [K—L] прямой а находится внутри конуса и изображается линией невидимого контура. На фронтальной проекции прямая слева от точки К и справа от точки L видна, т.к. точки К и L находятся на передней половине конуса. На горизонтальной проекции конус виден полностью, поэтому точки К и L видны и, следовательно, прямая а также видна.
В отдельных случаях точки пересечения прямой с поверхностью конуса могут быть найдены проще, чем изложено выше. На рис. 7.6, 7.7, 7.8 приведены такие примеры.
Точки пересечения К и L прямой а, пересекающей ось конуса (рис. 7.6), находим при помощи проведенной через прямую горизонтально проецирующей плоскости w, пересекающей коническую поверхность по образующим S1 и S2. В пересечении фронтальных проекций этих образующих и прямой получаем точки К¢¢ и L¢¢, а по ним находим горизонтальные проекции точек пересечения К¢и L¢.
Если прямая а перпендикулярна плоскости проекций p1 (рис. 7.7), то горизонтальная проекция точки пересечения К¢ совпадает с горизонтальной проекцией прямой а. Проведя через точку К образующую конуса S1, в пересечении ее фронтальной проекции S¢¢1¢¢ с а¢¢ получим фронтальную проекцию точки пересечения К¢¢.
Рис. 7.6 Рис. 7.7 Рис. 7.8
Когда пересекающая прямая перпендикулярна плоскости проекций p2 (рис. 7.8), через нее можно провести горизонтальную плоскость w и, построив окружность, по которой ею пересекается коническая поверхность, получим горизонтальные проекции точек пересечения К¢ и L¢, фронтальные проекции К¢¢ и L¢¢совпадают с фронтальной проекцией прямой.
На каком чертеже точки к и е пересечения прямой ав с поверхностью конуса найдены правильно
Задача : Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса вращения и определить видимость прямой по отношению к конусу.
Для выбора вспомогательной секущей плоскости требуется знание линий образующихся в конических сечениях. Если в качестве вспомогательной секущей плоскости можно выбрать горизонтально проецирующую или фронтально проецирующую плоскости, то в сечении получатся соответственно гипербола (рис.111а) или эллипс (рис.111б). Построение кривых линий значительно усложняет задачу.
Способ решения этой задачи зависит от положения прямой относительно боковой поверхности конуса и плоскости Н.
На рис. 297 изображены прямой круговой конус и прямая АВ общего положения, пере секающая боковую поверхность конуса. Требуется построить точки входа и выхода этой прямой. Боковая поверхность конуса не является проецирующей, поэтому для определения точек входа и выхода используют вспомогательную секущую плоскость.
Если через прямую АВ провести фронтально-проецирующую плоскость, то в пересечении будет эллипс, для построения которого потребуются дополнительные построения, а это усложняет решение задачи.
Если через прямую АВ провести горизонтально-проецирующую плоскость, то в пересечении получится гипербола, построение которой также усложняет построения.
Простыми линиями пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью являются окружность и треугольник. В данном случае окружность использовать нельзя. Известно, что треугольник в пересечении получается тогда, когда плоскость, пересекая конус, проходит через его вершину. Поэтому через прямую SB следует провести такую плоскость, которая пройдет через вершину конуса, Эту плоскость задают треугольником общего положения ASB.
Затем строят фронтальную и горизонтальную проекции данной плоскости, строят линию пересечения этой плоскости с поверхностью конуса, определяют точки, в которых линия пересечения поверхности конуса с вспомогательной плоскостью пересекается с прямой АВ. Таков план решения задачи. Для его осуществления в плоскости V через точку s’ и любые две точки, например точки V и b’, принадлежащие фронтальной проекции заданной прямой, проводят до оси Оx фронтальные проекции двух прямых s’1′ и s’2′, определяющих фронтальную проекцию вспомогательной плоскости, заданной треугольником. Сторона 1’2′ плоскости треугольника сливается с осью Ох и частично с проекцией основания конуса. Точки 1‘ и 2′ являются фронтальными проекциями точек пересечения сторон треугольника 1S2 сплоскостью H.
Строят горизонтальную проекцию вспомогательной плоскости. Горизонтальные проекции боковых сторон треугольника пройдут через точки s, а и b и закончатся в точках 1 и 2, которые будут лежать в пересечении с линиями проекционной связи, проведенными от точек 1′ и 2′. Соединив прямой линией точки 1 и 2 на горизонтальной проекции, получают линию пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью Н и плоскостью основания конуса, лежащей в плоскости Н. Отрезок 34 будет отрезком, по которому вспомогательная плоскость, заданная треугольником, пересеклась с основанием конуса.
Соединив точки 34 с точкой s (горизонтальная проекция вершины конуса), получают горизонтальную проекцию треугольника, по которому эта плоскость пересекла поверхность конуса. Там, где горизонтальные проекции сторон треугольника пересекаются с горизонтальной проекцией ab прямой АВ, получаются точки е и f — горизонтальные проекции искомых точек. Точки е’ и f‘ строят с помощью. линий проекционной связи, проведенных от точек е и f с горизонтальной проекции.
На рис, 298 изображен прямой круговой конус, боковую поверхность которого пересекает горизонтальная прямая АВ. Требуется построить точки, в которых прямая АВ пересекает боковую поверхность конуса. Задачу решают с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Р, проведенной через прямую АВ.
Плоскость Р пересекает поверхность конуса по окружности (Параллели), диаметр которой равен отрезку следа плоскости Р?, заключенному в очерк конуса. На горизонтальной проекции проводят эту окружность (горизонтальную проекцию параллели), находят точки е и f, в которых она пересекается с горизонтальной проекцией ab прямой АВ. Их фронтальные проекции определяют с помощью линий проекционной связи, проведенных от точек е и f с горизонтальной проекции до. пересечения с фронтальной проекцией а’b’ прямой АВ. На фронтальной плоскости проекций точка F будет невидимой, так как точка F расположена в той части конуса, которая на этой проекции не видна.
На рис. 299 изображен прямой круговой конус, поверхность которого пересекают две проецирующие прямые АВ и CD. Требуется определить точки их входа и выхода. Эта задача решается двумя способами.
Первый способ. Прямая АВ на горизонтальной проекции спроецировалась в точку. В ту же точку проецируются и точки входа и выхода этой прямой. Следовательно, имеются горизонтальные проекции этих точек и необходимо только определить их фронтальное проекции. Для этого через горизонтальную проекцию вершины s и точку, являющуюся горизонтальной проекцией прямой АВ и лежащих на ней точек входа и выхода, проводят образующую. Затем строят фронтальную проекцию этой образующей. Там, где она пересечет фронтальную проекцию а’ b’ заданной прямой
АВ, и будет лежать фронтальная проекция искомой точки е’, точки входа прямой АВ. Фронтальная проекция f точки F выхода этой прямой лежит в том месте, где прямая а’b’ пересеклась с отрезком, в который спроецировалось основание конуса. Точка F изобразилась здесь невидимой, так как лежит не на контурной окружности основания, а внутри круга основания. На горизонтальной проекции точка F тоже будет невидимой.
Второй способ. Точки входа и выхода прямой CD на рис. 299 строят с помощью параллели, проведенной на горизонтальной проекции через горизонтальную проекцию cd прямой CD. Затем строят фронтальную проекцию параллели. В пересечении ее с фронтальной проекцией c’d’ прямой CD находится точка ш’ — фронтальная проекция точки входа прямой CD. Точка т’ будет невидимой, так как точка М лежит в той части конуса, которая на фронтальной проекции не видна. Точка N (точка выхода прямой CD) находится в пересечении этой прямой с плоскостью основания. Ее горизонтальная проекция совпадает с горизонтальной проекцией прямой, а фронтальная проекция п’ находится в пересечении проекции c’d’ с отрезком, в который спроецировалось основание конуса.
Пересечение прямой с поверхностью шара может быть построено несколькими способами. Выбор способа зависит от положения прямой относительно плоскостей проекций. На рис. 300 изображены две проекции шара и прямой АВ общего положения. Требуется построить точки пересечения этой прямой с поверхностью шара. При решении подобных задач следует помнить о том, что шар — это единственное геометрическое тело, поверхность которого пересекается плоскостью любого положения по окружности.
При решении данной задачи необходимо через прямую АВ общего положения провести проецирующую плоскость. На рис. 300 это горизонтально-проецирующая плоскость. Шар будет пересекаться плоскостью Р по окружности, которая на горизонтальной проекции проецируется в отрезок 12, совпадающий с горизонтальной проекцией прямой и горизонтальным следом Рнплоскости Р. На фронтальной проекции эта окружность изобразится эллипсом, для построения которого требуются дополнительные построения. Это усложняет задачу. Проще и точнее найти точки пересечения окружности с прямой. Поэтому для решения задачи удобнее всего применить способ перемены плоскостей проекций.
На рис. 300 плоскость Vзаменена на плоскость N.
Контурная образующая шара на плоскости N не изображена, так как для построения искомых точек она не нужна. Изображены только окружность пересечения и новая проекция aNbNпрямой АВ. На плоскости N построена проекция центра шара oNна такой же высоте, на которой его фронтальная проекция находится над осью Ох на плоскости V. Из точки oNописана окружность радиусом о1, взятым с горизонтальной проекции. Эта окружность пересекается с проекцией aNbNпрямой в точках eNи fN, которые будут проекциями искомых точек.
Положение горизонтальных и фронтальных проекций точек входа и выхода прямой АВ определяют с помощью линий проекционной связи, проведенных от точек eNи fNсначала на плоскость H, а затем на плоскость V. На горизонтальной плоскости проекций точка Е будет невидимой, так как располагается в той части шара, которая не видна на горизонтальной проекции.
На рис. 301 изображен шар в двух ортогональных проекциях, который пересекается горизонтальной прямой АВ. Требуется построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью шара.
Решение задачи упрощается частным положением прямой. Здесь через прямую АВ проводят фронтально-проецирующую плоскость. Эта плоскость Р пересечет шар по окружности, которая на фронтальной плоскости проекций изобразится отрезком, совпадающим с фронтальным следом Р?плоскости Р и фронтальной проекцией а’b’ прямой АВ.
На горизонтальной проекции линия пересечения изобразится окружностью, радиус которой берется на фронтальной проекции от оси шара до контурной образующей шара по следу Р?. Точки е и f, в которых проекция окружности пересечения пересекается с горизонтальной проекцией ab прямой АВ, будут горизонтальными проекциями искомых точек. Фронтальные проекции’ е’ и f‘ строят с помощью линий проекционной связи, проведенных от горизонтальных проекций точек е и f. На фронтальной проекции точка, Е будет невидимой, так как расположена на той части шара, которая не видна.
На рис. 302 в двух ортогональных проекциях изображен шар, поверхность которого пересекается двумя проецирующим прямыми, перпендикулярными плоскости Н. Требуется построить точки пересечения этих прямых с поверхностью шара. Задача решается двумя способами.
Первый способ. Точки входа и выхода прямой АВ строят с помощью горизонтально-проецирующей плоскости Р так же, как на рис. 301, только там прямая заключена во фронтально-проецирующую плоскость.
Второй способ. Построение точек пересечения прямой (прямая CD) с поверхностью шара выполняется с помощью параллелей. Горизонтальные проекции этих параллелей проводят через точку, в которую проецируются прямая CD и лежащие на ней точки входа и выхода. Проекции этих параллелей здесь совпадают и изображаются окружностью. На рис. 302 проведена дуга этой окружности. С помощью линии проекционной связи строят фронтальные проекции параллелей, которые представляют собой прямые, расположенные параллельно оси Ох на одинаковом расстоянии от экватора (на рис. 302 они проведены частично). Точки пересечения фронтальных проекций параллелей с проекцией c’d’ прямой CD будут фронтальными проекциями к’ и п’ точек К и N.
На каком чертеже точки к и е пересечения прямой ав с поверхностью конуса найдены правильно
Пример. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса (рис. 8.14). Проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость ABS, проходящую через вершину конуса. Соединим прямыми концы отрезка АВ (или его промежуточные точки) с проекциями вершины конуса и найдем горизонтальные следы прямых SA и SB. Точки M и N определят плоскость, пересекающуюся с конусом. Точки K1 и K2 пересечения этих образующих с прямой АВ являются искомыми точками. На рис. 8.15 эта задача решена на комплексном чертеже. Горизонтальный след вспомогательной плоскости мог не пересечься с основанием конуса или только прикоснуться к нему. В этом случае прямая АВ не пересеклась бы с поверхностью конуса или только прикоснулась бы к нему. Установочные винты Шплинтом называется стальная проволока полукруглого сечения, сложенная вдвое, и пропускаемая сквозь соосные радиальные отверстия в болте и корончатой гайке
[an error occurred while processing this directive]
Пример 3. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью шара (сферой) (рис. 8.16).
8.3 Построение линии пересечения двух поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей
Взаимное пересечение поверхностей
Две поверхности пересекаются между совой по кривой или ломаной линии. Эту линию часто называют линией перехода. Для определения линии перехода находят точки, принадлежащие обеим поверхностям. Если хотя бы одна из заданных поверхностей является линейчатой или многогранником, то линию перехода можно построить, найдя точки встречи ребер или образующих этой поверхности, и соединить их в надлежащим порядке.
Вспомогательные плоскости и сферы следует выбирать так, чтобы линии их пересечения с заданными поверхностями получались удобными и простыми для построения (по возможности прямыми или окружностями).
Построение линии пересечения поверхностей при помощи плоскостей- поверхностей
На рис. 8.16 показаны две поверхности F и S, пересеченные плоскостями-посредниками Р1 и Р2. ПлоскостьР1 пересекает заданные поверхности по двум кривым l` и m` (соответственно).Точки M`=l`m` и N`=l`m` пересечения этих линий принадлежат искомой линии пересечения данных поверхностей. Аналогично находят точки M2 и N2, полученные с помощью плоскости Р2. Поверхностей посредников должно быть взято столько, сколько необходимо для того, чтобы полностью построить требуемую линию пересечения данных поверхностей. В случае построения линии пересечения поверхностей многогранников в качестве плоскостей- посредников удобно пользоваться проецирующими плоскостями.
Для построения линии пересечения поверхностей конуса, пирамиды, цилиндра и призмы бывает целесообразно брать такие плоскости- посредники, которые пересекают эти поверхности по образующим или ребрам. Если хотя бы одна из пересекающихся является сферой, удобно в качестве посредников применять плоскости уровня, так как сечения сферы в этом случае проецируется на одну из плоскостей проекций в виде окружностей, а на другую в виде отрезков прямой. В зависимости от взаимного расположения поверхностей линий пересечения может быть одна (в случае врезания) или две (в случае проницания).
Пересечение поверхностей конуса и шара.
Для построения добавочных точек линии перехода следует провести плоскости-посредники параллельно П1 между точками 1 и 2. На рис. 8.17 проведена плоскость Q и построены проекции точек 5 и 6. Все найденные проекции точек, принадлежащих линий перехода, соединяем в следующем порядке: на П1 – 11, 31, 51, 21, 61, 41, 11, и на П2 – 12, 32, 52, и 22. На П1 участок кривой 31 11 41 будет видимым, а участок 31 21 41 – невидимым. На П2 видимая часть кривой 12 42 22 и не видимая – 12 32 22 совпадают.
8.4 Построение линии пресечения двух поверхностей методом секущих сфер (концентрических сфер посредников)
Найденные точки 12, 52, 22 и 32, 62, 42 нужно соединить плавными кривыми, которые и будут видимыми участками фронтальных проекций искомых линий перехода. Границей видимых этих линий на П2 является очерковая линия заданного параболоида невидимые участки проекции линии перехода совпадают с видимыми и потому невидимые точки 5’2 и 6’2 на рис. 8.18 не показаны.
Если требуется построить и горизонтальную проекцию, то на П1 проводят окружность, в которую проецируются линии пересечения параболоида с каждой сферы-посредником, и на этих окружностях находят точки 51, 5’1 и 61, 6’1. Точки 11, 21, и 31, 41 находятся на следе Г1. Соединение полученных горизонтальных проекций точек линий перехода должно быть произведено в следующем порядке: 11, 51, 21, 5’1, 11, и 31, 61, 41, 6’1, 31. Границами видимости этих кривых на полкости П1 будут очерковые образующие конусы.
8.5 Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.
На рис. 8.19, 8.20, 8.21 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае рис. 8.19 цилиндр врезается в конус, потому что, если вписывать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором случае рис. 8.20 конус врезается в цилиндр, т. к. сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем случае рис. 8.21 сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности, и в пересечении участвуют все образующие и цилиндра и конуса в этом случае пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы).
Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются по двум кривым второго порядка. Такие поверхности имеют две точки, в которых они касаются друг друга, или говорят что поверхности имеют двойное соприкосновение. Линия пересечения двух поверхностей вращения, имеющих двойное прикосновение, распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (рис. 8.22). Две цилиндрические поверхности вращения одного диаметра касаются друг друга в точках А и В или имеют общие касательные плоскости Ф1 и Ф2. Линия АВ занимает фронтально проецирующее положение, поэтому плоскости кривых пересечения будут фронтально проецирующими. Эллипсы ACBF иAEBD изображаются отрезами прямых на фронтальной плоскости проекций и окружностями, совпадающими с выраженной проекцией вертикального цилиндра на горизонтальной плоскости проекций. Это положение широко используется при изображении пересекающихся труб или отверстий одного диаметра (рис. 8.23).
Построить проекции линии пересечения плоскость Т с поверхностью цилиндра. Проводим через ось цилиндра горизонтально – проецирующую плоскость R1 перпендикулярную к плоскости Т1 плоскость R пересекает поверхность цилиндра по образующим, а плоскость Т – по прямой (N1M1;N2M2); на их пересечении получаем низшую точку (1) и высшую точку (2) линий пересечения.
Касательные плоскости. Построение плоскости, касательной к кривой поверхности. Плоскостью, касательной к поверхности, называется плоскость, определяемая двумя прямыми, касательными к двум пересекающимся линиям, принадлежащим этой поверхности.
Касательные плоскости к линейчатым поверхностям с параболическими точками. Линейчатая поверхность с параболическими точками – это конус и цилиндр, каркас которых множество прямых – образующих.
Касательные плоскости к не линейчатым поверхностям с эллиптическими точками. Для построения касательной плоскости в заданной точке поверхности вращения, прежде всего, необходимо через заданную точку провести по поверхности две кривые линии. Касательные прямые к ним и определяют искомую касательную плоскость.
В отдельных случаях точки пересечения прямой с поверхностью конуса могут быть найдены проще, чем изложено выше. На рис. 7.6, 7.7, 7.8 приведены такие примеры.
заменена на плоскость N.