на каком числе следует остановить просеивание если в таблице будет 150 10000 натуральных чисел
Урок на тему «Загадка простых чисел»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема урока: «Загадка простых чисел. Решето Эратосфена».
Тип урока: урок-беседа.
Цель урока: изучить способ получения простых чисел «решето» Эратосфена и выяснить его практическое применение.
— актуализировать знания учащихся по теме «Простые и составные числа»;
— познакомить учащихся с «решетом» Эратосфена, научить пользоваться им;
— рассмотреть «загадки» простых чисел, волнующие ученых до сих пор.
— расширить представление о натуральных числах;
— способствовать развитию исторического кругозора, математической интуиции, умению анализировать;
— развивать умение делать выводы, подводить итог своей работы.
— воспитывать у учащихся коммуникативные компетенции: культуру общения, навыки выступления.
Оборудование: Портрет Фалеса, Пифагора, П.Л.Чебышева, Эратосфена; «решето» Эратосфена (от 1 до 100); таблица простых чисел от 1 до 1000; ноутбук и проектор.
Организационный момент: приветствие учащихся, актуальность темы (4 мин)
Актуализация знаний (5 мин)
Изучение нового материала (10 мин)
Закрепление изученного материала (20 мин)
Подведение итогов урока. Рефлексия (4 мин)
Постановка домашнего задания (2 мин)
Числа правят миром!
— Какое понятие является одним из основных в математике? (Число)
Пифагор проводил исследования различных свойств четных и нечетных чисел, используя для этого придуманную им геометрическую интерпретацию чисел. Первыми четырьмя числами 1, 2, 3, 4 он обозначал четыре элемента, из которых, по воззрениям древнегреческих мудрецов, состоял весь мир: огонь, землю, воду и воздух. А числу 10 Пифагор придавал особое значение – это число равнялось сумме всех элементов, то есть изображало весь мир.
Все это послужило толчком серьезного знакомства людей с числами. Числа стали не только применять, но и изучать!
2. А вот введенные Пифагором понятия простого и составного чисел являются до сих пор предметом серьезных исследований, за которые математики получают высокие научные награды!
Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел (то есть составным).
— Приведите примеры простых чисел. (2, 3, 5, 7, 11 и т.д.)
— Разложите составные числа 33, 144, 25 на простые множители. (;)
— Как вы считаете, какова роль простых чисел в математике? ( Роль простых чисел в математике заключается в том, что они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа)
Хорошо было бы, если бы все простые числа можно было бы сосчитать!
Пусть их было бы хоть миллион – все равно мы знали бы, что перемножая эти простые числа, можем получить все остальные.
— Возможно ли это? (Невозможно)
Вспомним ту ленту, на которой мы выписывали натуральные числа и которая так и не закончилась. Оказывается, что если мы возьмем любой, даже очень длинный кусок этой ленты, то на оставшейся части все равно будут простые числа. Если бы мы зажгли в тех местах, где эти числа написаны, фонарики, не нашлось бы места на ленте, начиная с которого идет сплошная темнота.
3. Решето Эратосфена. Так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, миллиона или десяти миллионов.
Над тем, как составлять такие списки, задумался живший в III веке до н.э. александрийский ученый Эратосфен. Это был удивительно разносторонний человек и во всех областях достигал прекрасных результатов. Но навсегда его имя вошло в науку именно в связи с придуманным им методом отыскания простых чисел.
Метод этот очень прост. Состоит он в следующем: выпишем все числа от 1 до 100.
— Является ли единица простым числом? (Не является) Поэтому зачеркнем её.
— Является ли число 2 простым числом? (Является простым) Обведем кружком число 2. Тогда зачеркнем все числа, кратные двум.
— Как такие числа называются? (Чётные)
— Почему мы их зачеркиваем? (Они делятся на два, значит, являются составными)
— Получается таблица такого вида:
.
— Какое следующее простое число необходимо обвести? (Число 5) Зачеркиваем какие числа? (Все числа «через четыре на пятое», то есть числа, кратные пяти)
Получается следующая таблица:
После вычеркивания из таблицы чисел, кратных 7 в ней останутся только простые числа. Их тоже обводим кружочком.
Таким образом, мы вычеркнем все составные числа и получим таблицу простых чисел.
При некотором терпении можно таким же образом составить список и трехзначных простых чисел.
— Почему же этот способ отыскания простых чисел называется «решетом» Эратосфена?
В древности писали на восковых табличках острой палочкой – стилем. Поэтому Эратосфен, вместо того, чтобы вычеркивать написанные им на табличке числа, выкалывал их острым концом стиля. После выкалывания всех составных чисел табличка напоминала решето. С тех пор придуманный Эратосфеном метод отыскания простых чисел называют «решетом» Эратосфена. Этот способ позволяет сократить объем работы при составлении таблицы простых чисел.
Сейчас для составления таблиц простых чисел используют компьютерные технологии. Уже есть список первых 50 миллионов этих чисел.
4. Закрепление изученного материала
№ 1. Приглядываясь к эратосфенову решету, мы замечаем, что в начале таблицы простые числа расположены гораздо гуще, чем, например, вблизи тысячи.
Посчитайте, сколько простых чисел встречается в первом десятке (от 1 до 10), втором, третьем и т.д.
В первом: четыре простых числа 2, 3, 5, 7.
Во втором: четыре простых числа 11, 13, 17, 19.
В третьем: два простых числа 23 и 29.
В четвертом: два простых числа 31 и 37.
В пятом: три простых числа 41, 43 и 47.
В шестом: два простых числа 53 и 59.
В седьмом: два простых числа 61 и 67.
В восьмом: два простых числа 71, 73 и 79.
В девятом: два простых числа 83 и 89.
В десятом: одно простое число 97.
А между простыми числами 997 и 1009 имеется одиннадцать составных чисел подряд. Если зайти достаточно далеко, то можно найти какой угодно длинный числовой промежуток, т. е. сколь угодно длинный ряд натуральных чисел, состоящий сплошь из чисел составных.
Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много: как бы далеко мы ни зашли в натуральном ряду, нам будут попадаться простые числа. С другой стороны, «острова», состоящие сплошь из составных чисел, будут, как правило, становиться «длиннее», простые числа будут встречаться реже и реже.
№ 2. С древнейших времен математики пытались понять, как расположены простые числа в натуральном ряду, и найти общую формулу для нахождения простых чисел.
Проверьте для первых четырех значений:
До сих пор общей формулы простых чисел не найдено. Начиная с некоторого номера, формулы перестают «работать».
Задача о распределении простых чисел принадлежит к числу труднейших, и до сего времени до конца она не решена. Сложность задач, связанных с распределением простых чисел, стала у математиков поговоркой. О ней знают и нематематики. Даже поэты упоминают о ней. Валерий Брюсов писал в одном из своих известных стихотворений:
. Но пред Эдипом загадка Сфинкса:
Простые числа всё не разгаданы.
В таблице простых чисел от 1 до 1000 найдите примеры «чисел-близнецов».
Впрочем, известны и весьма солидные пары «близнецов», например 5 971847 и 5 971849. Спрашивается, будет ли среди этих пар последняя? Этого до сих пор не удалось установить. Мало того, до сих пор не намечено даже пути, следуя которому можно было бы приблизиться к решению этой проблемы.
№ 4. Перемножив четыре простых последовательных числа, Нина получила в результате число, цифра единиц которого 0. Какие числа она перемножила и какой получила результат?
№ 5. Чтобы войти в замок Арифмос, надо набрать шифр: записать последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 первых простых чисел натурального ряда. В полученном многозначном числе, не переставляя цифры, вычеркнуть половину цифр так, чтобы оставшиеся выражали: а) наименьшее возможное число; б) наибольшее. Какие это числа?
Ответ: Число 2357111317192329.
5. Подведение итогов урока. Рефлексия
Работы какого ученого стали толчком для развития понятия числа? (Пифагор) Что он провозгласил о числах? («Числа правят миром»!)
Какова же роль простых чисел в математике?
Какой способ позволяет сократить объем работы при составлении таблицы простых чисел? («Решето» Эратосфена)
Какие «загадки» простых чисел актуальны до настоящего времени?
Насколько важна эта тема в настоящее время?
6. Домашнее задание
№ 1. а) Подумайте, почему после «просеивания» чисел, кратных 2, 3, 5, 7, в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа?
б) На каком числе следует остановить «просеивание», если в таблице будет 150; 10000 первых натуральных чисел?
в) Используя «решето» Эратосфена, получите все простые числа в промежутке от 1 до 200.