на какой шкале действует правило транзитивности отношений

Правило транзитивности против нетранзитивности выбора

Доктор психологических наук Александр Поддьяков, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Федеральный институт развития образования

В известной игре «камень—ножницы—бумага» оба играющих должны одновременно, по счёту «раз, два, три», показать либо сжатый кулак («камень»), либо кулак с оттопыренными указательным и средним пальцами («ножницы»), либо ладонь со всеми растопыренными пальцами («бумага»). Игрок, показавший камень, выигрывает у игрока, показавшего ножницы («камень тупит ножницы»). Игрок, показавший ножницы, выигрывает у игрока, показавшего бумагу («ножницы режут бумагу»). Но игрок, показавший бумагу, выигрывает у игрока, показавшего камень (как объясняется, камень можно завернуть в бумагу, и это завёртывание, закрытие рассматривается как лишение «боеспособности»). Итак, камень побеждает ножницы, ножницы — бумагу, а бумага — камень. Нельзя однозначно сказать, что «победоноснее», — ответ зависит от того, с чем предстоит столкнуться.

Аналогичный принцип взаимодействия описан в сказках: например, кошка пугает мышку и командует ею, собака пугает кошку и командует ею и т. д., но самый последний и, казалось бы, самый сильный и влиятельный участник этой пирамиды боится мышки, то есть самого слабого участника.

Иерархия подобных систем не выстраивается в «победную» пирамиду с указанием первого, второго и последнего места, а образует круг. Результат конкретного столк-новения в такой системе определяется не местом участника в линейном упорядоченном рейтинге (его здесь вообще невозможно выстроить), а только взаимодействием с конкретным соперником.

Возникает вопрос: стоят ли за всеми этими ситуациями реальные объективные закономерности конфликтных и иных взаимодействий или же это всего лишь проявление присущей фольклору (играм, сказкам) тенденции к обыгрыванию парадоксального и заведомо невозможного? Ответ таков: за последние десятилетия в самых разных научных областях накопился целый массив ярких доказательств того, что взаимодействия по принципу «камень — ножницы — бумага» — это весьма распространённая закономерность взаимодействия сколько-нибудь сложных систем.

Для такого типа отношений между системами используется термин «нетранзитивные», или «непереходные» (в отличие от транзитивных отношений, примером которых служит математическое отношение порядка: если a > b и b > c, то a > c). При нетранзитивных отношениях превосходство системы А над В, а В над С не переходит, не распространяется и на пару А—C: система А не превосходит систему C или даже уступает ей.

«Камень — ножницы — бумага» в биологии

Реальные отношения «бойцовской» силы по типу «камень—ножницы—бумага» были во множестве обнаружены на разных уровнях в биологии — от межвидовой конкуренции (например, вид микроорганизмов A вытесняет B, B вытесняет C, C вытесняет A) до внутригрупповых стратегий конкуренции самцов за самок и отношений доминирования внутри группы животных.

Самки мух дрозофил могут спариваться с несколькими самцами, при этом в организме самки начинается конкуренция (взаимоподавление) спермы нескольких самцов. Эта конкуренция нередко разворачивается по принципу «камень—ножницы—бумага»: сперма самца A подавляет сперму самца B, сперма самца B подавляет сперму самца C, а сперма самца C подавляет сперму самца A.

Если обратиться к более высокому уровню конкуренции — конкуренции поведенческих стратегий животных, то в биологических исследованиях было обнаружено, что у некоторых видов ящериц (и не только у ящериц) самцы-агрессоры, вторгающиеся на чужие территории, в борьбе за воспроизводство чаще побеждают самцов, использующих стратегию обороны, но проигрывают в этой борьбе «тихушникам», мимикрирующим под самок. А «тихушника» в свою очередь успешно идентифицирует обороняющийся тип. (Забавная характеристика «тихушник» предложена биологом и научным журналистом Натальей Резник.)

У животных, ведущих групповой образ жизни (в стаях, стадах и пр.), обнаружено существование таких отношений доминирования, когда особь A доминирует над особью B, B над C, а C над A. (В семейных отношениях людей это тоже нередко наблюдается.)

В биологических экспериментах выявлена странная на первый взгляд особенность предпочтений некоторых цветов у пчёл. При возможности выбора между двумя находящимися рядом цветками А и В пчела выбирает цветок А (A для неё предпочтительнее В), при выборе между В и С предпочитает В (B предпочтительнее C), но при выборе между A и C предпочитает С (C предпочтительнее A). Возможное рациональное объяснение этой «нелогичности» выбора состоит в том, что некоторые растения угнетающе действуют на растения другого вида, и если пчела «знает» это на инстинк-тивном уровне или воспринимает своими рецепторами, то она может избегать цветов, ставших в ходе этой борьбы неприятными, опасными (или, наоборот, стремиться к цветам, ставшим особенно вкусными), что и приводит к таким предпочтениям. Эта «нетранзитивная привлекательность» находящихся рядом цветов означает, что их опыляемость тоже нетранзитивна: в паре A—B цветок A опыляется чаще, чем B; в паре B—C цветок B опыляется чаще, чем C; но в паре А—C чаще будет опыляться цветок C, чем A.

Изучение нетранзитивности предпочтений у животных — отдельное исследовательское направление. В университете Бристоля работает научная группа, изучающая принятие решений животными, Modelling Animal Decisions (аббревиатура MAD читается по-английски и как «сума-сшедшие»). В работах её сотрудников доказывается, что выбор животными тех или иных объектов по принципу «камень—ножницы—бумага» часто вполне рационален, хотя и выглядит на первый взгляд нарушением законов логики.

Краткий обзор явлений нетранзитивности в биологии, данный выше, далеко не полон. На настоящий момент серии биологических статей со словами «камень—ножницы—бумага» в заголовках опубликованы в таких журналах мирового уровня, как «Science» и «Nature», и во многих других. В этих публикациях обосновывается мысль, что данный принцип является необходимым условием поддержания биоразнообразия. В них также даются рекомендации философского уровня: «Не уничтожай полностью своего противника — возможно, он кормится кем-то, кто после его гибели плотно займётся тобой».

В шоу «Битвы роботов», популярном у многих любителей техники и зрелищ, на арене бьются друг с другом дистанционно управляемые механизмы, напоминающие бульдозеры, кувалды на колёсах, самодвижущиеся дисковые пилы и т. п. Схватка длится до выхода механизма из строя. За многие годы проведения этих соревнований в них обнаружилось явление, аналогичное нетранзитивным конкурентным отношениям в биологии. Его назвали «рободарвинизмом». Некоторые типы устройств в этой среде (условно назовём их, например, «быстрые бульдозеры») чаще побеждают в схватках с устройствами другого типа (например, с «кувалдами», которые едва успевают замахнуться в нужном направлении, как их уже с налёта выбрасывают за пределы арены). Но при этом «быстрые бульдозеры» проигрывают устройствам третьего типа, у которых «кувалды» в основном выигрывают.

Многое здесь зависит от особенностей конкретного устройства и искусства игрока по управлению им (это ведь не схватка самостоятельных устройств, а схватка людей посредством дистанционно управляемого механизма; здесь мощно работает и человеческий фактор — опыт, интуиция, скорость реакции, эмоции и т. д.). Поэтому собственно «рободарвинизм» — это статистическая закономерность, а не строгий закон. Но в её основе лежит объективное соотношение свойств «боевых единиц» (используемого вооружения, защиты, манёвренности и др.), и она достаточно отчётлива, что позволило ввести для неё специальное название.

В борьбе компьютерных программ — участниц соревнований по тем или иным интеллектуальным играм нередко наблюдается аналогичная ситуация: программа А может значимо чаще выигрывать у программы В, та — у С, а программа С, вроде бы самая слабая в этой тройке, может значимо чаще выигрывать у А. Если бы речь шла о людях-спортсменах (а в спорте такие ситуации тоже не редкость), это могло бы объясняться психологическими и физиологическими причинами (например, большей спортивной злостью членов одной команды по отношению к другой, бо`льшим физическим утомлением и демотивированностью кого-то из спортсменов и т. д.). Но речь идёт о технических системах на основе искусственного интеллекта, не знающих усталости и эмоций (пока). Причина в том, что нет идеальных технических (биологических и пр.) систем, совершенных со всех точек зрения. Каждая система имеет свои достоинства и недостатки, сильные и слабые стороны, проявляющиеся в различных условиях. Сильные и слабые стороны участников сочетаются таким образом, что возникает нетранзитивный цикл побед и поражений.

Отвлекаясь от темы конкуренции, битв и схваток, приведу пример забавной и парадоксальной технической системы, в которой взаимодействия осуществляются по принципу «камень—ножницы—бумага». В механике показана возможность конструирования такой тройки шестерён (правда, не обычных, а двойных), что при их попарных соединениях первая шестерня вращается быстрее второй, вторая — быстрее третьей, а третья — быстрее первой. (Речь идёт именно об их соединениях по две, а не всей тройки в одно целое.) Посмотрев на эти шестерни, можно убедиться, что при попарных соединениях шестерня A вращается быстрее шестерни B, B — быстрее C, C — быстрее A.

Социальные взаимодействия людей: парадокс голосования

В социальных науках с конца XVIII века известен парадокс, названный по имени его открывателя — маркиза де Кондорсе. Интересно, что в XIX веке парадокс переоткрыл, анализируя выборы в Оксфордском университете, математик Льюис Кэрролл (известный как автор «Алисы в Cтране чудес») и написал о них несколько памфлетов. Парадокс голосования состоит в том, что групповые предпочтения избирателей, накладываясь друг на друга, могут становиться нетранзитивными. Большинство избирателей считают, что кандидат А лучше В, В лучше С, а С лучше А. Так каково же мнение большинства о том, кто лучше? Здесь нет однозначного ответа — при том, что индивидуальные предпочтения каждого члена группы логичны, последовательны и не закольцованы в круг «A лучше B, B лучше C, C лучше A».

Вот как выглядит простейшая версия парадокса:

Есть три избирателя: 1, 2, 3. Каждый из них на выборах ранжирует трёх кандидатов (А, В, С) следующим образом в порядке предпочтительности:

избиратель 1 ранжирует кандидатов в порядке А, В, С;

избиратель 2 ранжирует кандидатов в порядке В, С, А;

избиратель 3 ранжирует кандидатов в порядке С, А, В.

Можно видеть, что два избирателя из трёх (1-й и 3-й), то есть 2/3 всех голосующих, считают А более предпочтительным, чем В (А поставлен ими перед В). Два избирателя из трёх (1-й и 2-й), то есть тоже 2/3 голосующих, считают В более предпочтительным, чем С. И два избирателя из трёх (2-й и 3-й), тоже 2/3 голосующих, считают С более предпочтительным, чем А (!). При этом по сумме набранных голосов все кандидаты равны между собой. Индивидуальные транзитивные предпочтения парадоксальным образом трансформировались в нетранзитивные групповые. Этот парадокс был использован будущим нобелевским лауреатом Кеннетом Эрроу для доказательства его знаменитой теоремы о невозможности совершенной избирательной системы. Парадокс проявляется в различных версиях в самых разных ситуациях (экономических, житейских и пр.), когда люди принимают решение о выборе между несколькими возможностями, руководствуясь тремя и более критериями. Можно было бы сказать: так выработайте один критерий, но это требование часто упирается в ограничения, парадоксы и невозможности.

Сугубо математические игры?

Около 40 лет назад Мартин Гарднер, один из самых известных популяризаторов математики, привлёк внимание к так называемым нетранзитивным костям (или костям Эфрона, названным по имени их изобретателя, специалиста по статистике из Стэнфордского университета). Числа на этих костях (например, на игральных кубиках) таковы, что при попарных бросаниях первый кубик чаще выигрывает у второго (чаще показывает на верхней грани большее число, чем второй), второй кубик чаще выигрывает у третьего, а третий — у первого. Читателям, заинтересовавшимся, как подобраны числа и, шире, как такое возможно в принципе (у людей, не знакомых с этими объектами, сама их возможность не сразу укладывается в голове), можно порекомендовать книги Гарднера «Крестики-нолики» и «Путешествие во времени».

Нетранзитивные кости вскрывают интересную и важную коллизию: хотя элементарное отношение «быть больше», конечно, транзитивно (если 5 > 4 и 4 > 3, то 5 > 3), но сложное, составное отношение «чаще показывать большее число» оказывается нетранзитивным.

Нетранзитивные кости приобрели определённую известность среди интеллектуалов. Как пишет британский писатель Саймон Сингх, один из самых успешных инвесторов в мире Уоррен Баффет — «большой поклонник нетранзитивных игральных костей и часто предлагает cыграть с ним партию. Он без всяких объяснений вручает сопернику три нетранзитивные кости и просит первым сделать выбор. Сопернику кажется, будто это ставит его в более выгодное положение, поскольку у него есть шанс выбрать «лучшую» кость. Разумеется, лучшей кости просто не существует, и Баффет сознательно уступает первый ход, чтобы иметь возможность выбрать кость, более сильную по сравнению с той, на которую укажет соперник. Когда Уоррен Баффет решил провернуть этот трюк с Биллом Гейтсом, основатель Microsoft сразу же заподозрил неладное. Он достаточно долго изучал кости, а затем вежливо предложил Баффету сделать выбор первым»*.

Нетранзитивность отношения «чаще оказываться больше», вероятно, может иметь в ряде случаев значимые экономические следствия (даже если не брать ситуации мошенничества, основанного на чужом незнании нетранзитивности).

За последние десятилетия опубликовано много статей в научных и научно-популярных журналах, где показаны интересные свойства и закономерности, связанные с нетранзитивными костями. Например, было доказано, что цепочки, реализующие принцип «камень—ножницы—бумага», можно строить неограниченной длины, причём с участием не только кубиков, но и многогранников с произвольным числом граней, рулеток и т. д. Разработаны и алгоритмы генерации чисел для них.

Существуют также другие нетранзитивные игры, основанные на неочевидных математических закономерностях, — например, игра Пенни с подбрасыванием монет, которой посвящён юмористический рассказ С. Мельникова «Прыжок через козла» (см. «Наука и жизнь» № 5, 1997 г.).

Заметим, что математические модели нетранзитивности, воплощённые в этих, казалось бы, сугубо настольных играх, могут иметь и чисто физические и технологические следствия. Так, твёрдость оценивается по способности веществ или материалов царапать друг друга. При этом хорошо известно, что твёрдость транзитивна: если материал А твёрже материала B (царапает его), а B твёрже C, то A будет твёрже C (оцарапает его, но не наоборот). Алмазом можно оцарапать стекло, стеклом — графит, и уже из этого следует, что графит будет оцарапан алмазом, а не наоборот. Но представим, что у нас есть три композиционных материала, включающих в себя по три компонента разной твёрдости. Математическая модель нетранзитивных костей позволяет предположить существование и таких случаев, когда при контакте (трении, вдавливании) композиционных материалов A и B компоненты материала A чаще оказываются твёрже, чем компоненты В; компоненты материала B чаще оказываются твёрже, чем компоненты C; компоненты материала C чаще оказываются твёрже, чем компоненты A. Тогда объекты из этих материалов будут истирать, разрушать друг друга «нетранзитивно» (A разрушает B больше, чем B разрушает A; B разрушает C больше, чем C—B; но С разрушает A больше, чем A—C) — в отличие от гомогенных материалов, которые в данном отношении ведут себя проще. Эти тонкие эффекты, вероятно, могут оказаться важными в каких-то ситуациях.

Новые игры на основе уже известных: шахматные композиции?

Близкие по силе шахматисты могут систематически выигрывать друг у друга по схеме «А победил В, В победил С, С победил А», и более того — «. даже А. Алехин в международных шахматных соревнованиях 1930-х годов постоянно проигрывал Л. Асталошу, шахматисту практически неизвестному и ничем иным не прославившемуся»**. Это факты достаточно известные — настолько, что для более точной сравнительной оценки силы соперников (людей-игроков, игровых компьютерных программ) используются специальные процедуры и алгоритмы, учитывающие нетранзитивность.

Но вот вопрос, который раньше не ставился. Могут ли не игроки, а отдельные шахматные позиции быть в нетранзитивных отношениях предпочтительности по отношению друг к другу по принципу «камень—ножницы—бумага»? А именно: может ли быть так, что в случае возможности выбора игры за белых или же за чёрных, поглядев на доску, где стоят белые в расположении A и чёрные в расположении B, надо выбрать игру за белых (игру за A); поглядев на доску, где стоят чёрные в расположении В и белые в расположении С, надо выбрать игру за чёрных (игру за B); на доску, где стоят белые в расположении C и чёрные в расположении D, надо выбрать игру за белых (игру за C); а поглядев на доску, где стоят чёрные в расположении D и белые в расположении A, надо выбрать игру за чёрных (игру за D)?

Осенью прошлого года я задал этот вопрос по электронной почте Евгению Яковлевичу Гику, автору множества популярных книг о шахматах и других интеллектуальных играх и о связанных с ними математических проблемах, ведущему постоянной шахматной рубрики в журнале «Наука и жизнь». Хотя раньше мы не были знакомы (точнее, знакомство было односторонним — я читал его статьи), он с готовностью вступил в диалог и, уточнив детали, ответил так: «Мне кажется, что эта задача решается без труда. Например, в пешечном эндшпиле у С (белые) пешкой больше, чем в D у чёрных. У В (чёрные) пешкой больше, чем в С (у белых). У А (белые) пешкой больше, чем в В (у чёрных). Таким образом, в эндшпиле А выигрывает у В, В у С, С у D. Однако взаимное расположение пешек в А и D таково, что пешка чёрных при своём ходе может съесть белую и пройти в ферзи с победой. Значит, D выигрывает у А. Конечно, требуется чёткое оформление замысла».

Этот замысел, предложенный Е. Я. Гиком в ответ на мой вопрос о «нетранзитивных» позициях, я оформил — получилось. Но как именно, раскрывать не буду, поскольку кому-то из читателей, возможно, станет интересно пройти путь решения самому. Может быть, один из лучших способов отдать дань памяти Евгению Яковлевичу Гику — развить его шахматную идею.

При этом, чтобы показать, что нетранзитивные отношения предпочтительности в шахматных позициях действительно возможны, приведу следующий пример. Я сконструировал его в демонстрационных целях (как материал для задачи он нарочито прост, даже примитивен — например, мат в одной из комбинаций может ставиться одним очевидным ходом белых; моя цель — только показ самой возможности нетранзитивных отношений между шахматными позициями).

Возьмём два расположения белых и два расположения чёрных (рис. 1).

Проверим попарные наложения этих позиций на одну доску, чтобы определить предпочтительность выбора игры за ту или за другую сторону (белые начинают во всех вариантах) (рис. 2).

Можно увидеть, что при почему-либо возникшей возможности выбора одни позиции предпочтительнее других.

После того как возможность таких нетранзитивных отношений в шахматных позициях показана, можно ставить «нетранзитивные» задачи разного типа и разной сложности, а затем, при желании, соревноваться в успешности и красоте их решения. Вот некоторые возможности, которые на настоящий момент видятся мне (а у читателей могут появиться и другие).

1. Эксперименты по увеличению длины цепочки. Приведённый пример — это минимально короткая цепочка, она составлена из четырёх позиций. Возможны ли цепочки из 6, 8, 10 и более позиций? Там должны комбинироваться не два исходных расположения белых и два расположения чёрных, как в рассмотренных примерах, а больше — по три белых и три чёрных, по пять белых и пять чёрных и т. д. Чем длиннее цепочка, тем труднее её построить. Ведь каждое конкретное расположение белых или чёрных должно иметь свои решающие преимущества, но и одновременно (!) — критические уязвимости по отношению к сконструированным расположениям фигур другого цвета — соседям по цепочке. Здесь нужен искусный баланс создания сочетаний этих сильных и слабых сторон, ведущих к выигрышу у соседки по цепочке с одной стороны и к проигрышу у соседки по цепочке с другой. Чем длиннее цепочка, тем тоньше игра балансов преимуществ и уязвимостей.

С математической точки зрения интересно, какова вообще максимально возможная длина цепочки таких конфигураций. Для нетранзитивных костей (рулеток и пр.) с неограниченным выбором чисел на них показано, что цепочка может быть произвольной длины. Но для шахматных фигур на 64 полях ситуация заведомо иная — предел есть. Вопрос, насколько он близок или далёк. Есть место для рекордов по длине.

2. Эксперименты по минимизации количества и состава фигур в каждом звене цепочки. Например, проверка того, может ли быть так, чтобы в каждом звене были только две (три) фигуры. При желании можно наложить ограничения на выбор состава этих фигур.

3. Эксперименты по созданию «узоров» — симметричных конфигураций (с точностью до зеркального отражения, поворота, параллельного переноса). Здесь можно не озадачиваться минимизацией числа фигур и их состава. Чем симмет-ричнее, красивее, интереснее «узоры», тем лучше.

4. Поиск ответа на вопрос, возможны ли «нетранзитивные» позиции в шашках и других логических играх с размеченным игровым полем. В каких играх такие позиции возможны, а в каких нет?

Это лишь некоторые пути развития. Тема «камень—ножницы—бумага», как представляется, даёт хорошую возможность развернуться экспериментированию и творческому мышлению.

Заключение (от когнитивного психолога)

Я психолог, изучающий мышление и возможности его развития. При том что я с увлечением погружаюсь во все представленные выше области, меня интересует здесь ещё и важная психологическая, человеческая проблема. Это то, как люди познают, понимают, включают в свою деятельность уже имеющиеся (например, природные) и создают новые сложные системы (технические, биологические, социальные). Это системы, в том числе со взаимодействиями по принципу «камень—ножницы—бумага» — принципу вполне фундаментальному, как выяснилось в последние десятилетия, несмотря на его игровую формулировку.

Дело в том, что есть множество психологических исследований, в которых изучается, как человек с раннего детства осваивает противоположный принцип — принцип транзитивности (если первое больше второго, второе больше третьего, то первое больше третьего: если 5 > 4 и 4 > 3, то 5 > 3). Более того, создаются искусные тестовые задачи-головоломки, провоцирующие тестируемого человека сделать выбор по принципу «камень—ножницы—бумага» — ошибочный выбор, поскольку эти задачи построены на таком материале, где действует как раз правило транзитивности. И высший балл за них получает соответственно тот, кто дал ответ по этому правилу. Но почти нет психологических исследований того, как человек принимает решение в сложных «нетранзитивных» средах — там, где объективно работает принцип «камень—ножницы—бумага» и где ошибка — это как раз решение по «школьно» усвоенному правилу транзитивности.

Аналогична ситуация с обучением: есть довольно много педагогических разработок, позволяющих научить (например, ребёнка) «школьному» правилу транзитивности. Но при этом крайне мало обучающих материалов (даже в математических школах есть скорее островки таких материалов), помогающих человеку понять нетранзитивность и, шире, соотношение транзитивности и нетранзитивности в разных областях и ситуациях. Как можно разобраться и понять: мы, ставя и решая некую проблему, находимся в одной из «транзитивных» сред или же в какой-то из «нетранзитивных»? Как мыслить и действовать дальше в соответствии с этим пониманием? Таких исследований нет. Они впереди.

Комментарии к статье

* Сингх С. Симпсоны и их математические секреты. — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2016, с. 17.

** Мельников Б., Радионов А. Программирование недетерминированных игр // Гордон А. Г. Диалоги. — М.: Предлог, 2005, с. 93—112.

Источник

Количественные характеристики отношений

Теория частично упорядоченных множеств содержит ещё немало нерешенных проблем. Даже на вопрос о числе таких множеств, которые могут быть построены из заданного числа n элементов, не существует еще ответа, если n≥6. Прямыми подсчетами удалось лишь установить, что если S(n) — число частично упорядоченных множеств, то S(2) = 3, S(3)= 19, S(4) = 219, S(5) = 4231, а числа Sн(n) для неизоморфных множеств найдены только для n=4 и n=5 элементов: Sн(4) = 16 и Sн(5) = 63.

Мы научились вычислять количества отношений над большими множествами-носителями и перечислять отношения, но строгих формул даже для количества S(n) получить не удалось. Я вспоминаю это время как период интенсивного творческого роста своего и сотрудников, когда почти после каждой выдачи ЭВМ результатов и их анализа возникали идеи по модификации, совершенствованию модели, алгоритмов, вносились исправления для проверки очередных гипотез, но чего-то существенного (возможно мозгов) не хватало.

То, что удалось открыть (получить) привожу ниже по тексту. Кстати, результаты других зарубежных исследователей совпадали с нашими, но они сообщали только о количестве S(n) и не упоминали о перечислении частичных порядков.

Начинали мы с малого. Полный список бинарных отношений для любого n-множества-носителя известен и легко может быть получен. Отыскивался ответ на вопросы: сколько при заданном n существует отношений с фиксированным одним свойством, с парой свойств, с тройкой и т. д. Дело в том, что располагая этими данными, можно было строить не переборные, а прямые алгоритмы перечисления таких отношений, которые, следуя правилу «бритвы Оккама», не производят лишних сущностей.

Здесь дальше пойдет речь о получении таких результатов для бинарных отношений (БО).
Итак, имеется n-множество-носитель БО и полный список всех БО, а также список свойств БО:

— рефлексивность; антирефлексивность; частичная рефлексивность;
— симметричность; антисимметричность; асимметричность; несимметричность;
— транзитивность; антитранзитивность;
— слабый порядок; строгий порядок; частичный порядок; совершенный (линейный);
— толерантность;
— эквивалентность;
— цикличность;
— полнота.

Количественные характеристики типов бинарных отношений

Отношения могут обладать не только одним конкретным свойством, но и совокупностями пар, троек и т. д. свойств. Использование таких отношений на практике обычная ситуация. Так, например, каждому отношению толерантности (безразличия) присущи два свойства: симметричность и рефлексивность. Такая совокупность свойств определяет тип отношений толерантности.

Другой тип отношений возникает из отношений толерантности, если потребовать от таких отношений выполнимость расширенного списка свойств: симметричность, рефлексивность и транзитивность. Понятно, что возможно не все отношения толерантности окажутся транзитивными, но те, которые будут обладать набором трех названных свойств, образуют новый тип отношений, называемых эквивалентностями.

Множество отношений эквивалентности оказывается вложенным в множество отношений толерантности. Для примера в каталоге эти типы отношений выделены заливкой (8 толерантностей и только 5 из них эквивалентности). Возникает вопрос о количестве БО, обладающих набором свойств или одним из них.

Рефлексивность

Отношение α = на множестве A = <> является рефлексивным (обладает свойством рефлексивности), если каждая пара () удовлетворяет данному отношению. Здесь Å — график (не граф) отношения .

Другими словами, главная диагональ матрицы графика Å отношения заполнена единицами. На графе рефлексивного отношения все вершины имеют петли. Отношение является антирефлексивным, если ни для какого не выполняется . В этом случае матрица антирефлексивного отношения α на главной диагонали не имеет ни одной единицы, т.е. там размещаются нули, а соответствующий граф не имеет петель ни в одной вершине.

Наконец, отношение α является нерефлексивным, если для некоторого выполняется, а для других не выполняется. Такие отношения будем считать частично рефлексивными. Матрица нерефлексивного отношения на главной диагонали содержит частично единицы, частично – нули. Граф такого нерефлексивного отношения имеет петли не во всех вершинах.

Классическим примером рефлексивного отношения является главная диагональ матричного представления, единичное (E = Δ) отношение, т.е. отношение равенства (в каталоге № 68). График этого отношения образован точками (парами), лежащими на главной диагонали матрицы и соответствующими парами , никаких других точек график этого отношения не содержит.

Матричное представление этого отношения соответствует единичной матрице (E). Граф диагонального отношения образован вершинами, соответствующими элементам из множества А, которым приписаны петли. Часто диагональное отношение обозначают символом .

В случае рефлексивного отношения, соответствующий ему граф также является рефлексивным, в случае антирефлексивного отношения его граф антирефлексивный. Если для некоторого отношения α известно, что оно рефлексивное, то дополнение ᾱ всегда антирефлексивное, и .

Для антирефлексивного отношения β справедливо .

Пример 1. Отношение ≤ (не больше) на множестве N является рефлексивным, а отношение на множестве A является симметричным (обладает свойством симметрии относительно прямой, совпадающей с главной диагональю графика Å), если для некоторой пары из следует . Другими словами, для любой пары выполняется либо в обе стороны, либо совсем не выполняется.

На графе симметричного отношения, если пара вершин i и j связана дугой (i, j), то она обязательно связана и дугой (j, i). Граф симметричного отношения является симметричным ориентированным или просто неориентированным, обыкновенным графом.

Отношение α является антисимметричным, если из и следует что i=j.

Матрица антисимметричного отношения содержит не обязательно все единицы на главной диагонали и содержит единицы в одной из двух симметричных относительно главной диагонали позиций: над диагональю либо под диагональю. Граф этого отношения образован вершинами с петлями для всех или некоторых из них и, если пара вершин (i, j) в графе связана, то всегда дугой только одного направления. Заметим, что для симметричного и антисимметричного отношения некоторые диагональные точки могут либо включаться в него, либо нет.

Если антисимметричное отношение не содержит ни одной диагональной точки, то говорят, то такое отношение является асимметричным, т.е. оно всегда антирефлексивно.

Пример 2. Отношение (≤) на множестве N – является антисимметричным, а отношение ( содержит и любые последовательности $» data-tex=»inline»/>, образованные перестановкой членов множества Х.

Заметим также, что асимметричное отношение всегда антирефлексивно; нерефлексивное и транзитивное бинарное отношение всегда асимметрично. Для практики и выполнения вычислений интерес представляет количество отношений, обладающих определенным свойством, связанным с симметрией графика. Выполним подсчет таких отношений для произвольного множества А мощностью |A| = n.

В своих рассуждениях будем опираться на свойство рефлексивности, которое, как и многие другие, изучено еще недостаточно глубоко. Даже поверхностный анализ множества всех отношений позволяет сделать вывод о том, что оно всегда может быть разделено на классов одинакового объема, а состав отношений, образующих эти классы, подчиняется определенной закономерности.

Множества отношений во всех классах имеют одинаковое устройство, отличаются только числом и составом диагональных точек, все разнообразие которых определяется числом . Определим состояние диагонали отношения при фиксированном n количеством и составом точек на ней и принадлежащих конкретному отношению. Ясно, что при фиксированном множество состояний заполненности ячеек диагонали определяется булеаном , где ∆ – полное множество точек диагонали графика декартова квадрата мощностью |∆| = n.

Таким образом, в теории отношений традиционно рассматривались и изучались только два крайние состояния: либо все точки диагонали включены в отношение и оно является рефлексивным, либо отношение не содержит ни одной диагональной точки, и тогда оно антирефлексивно.

Будем называть все промежуточные состояния с одной диагональной точкой, с двумя и так далее частичной рефлексивностью k-го порядка k=0(1)n, а отношения такого вида частично рефлексивными. Так частично рефлексивное отношение порядка ноль – это антирефлексивное отношение, а частично рефлексивное отношение порядка n- это просто рефлексивное отношение.

Заметим, что все состояния могут быть упорядочены как элементы булеана множества ∆. Предлагаемый подход позволяет наметить путь анализа раз-личных свойств и подсчета числа отношений, обладающих отдельными свойствами или их совокупностями.

Пусть рассматриваются отношения рефлексивные и симметричные. Симметричность отношения определяется наличием пар точек в нем, которые расположены в матрице отношения симметрично относительной диагонали. При произвольном n таких пар существует . Обозначим множество этих пар символом S.

Тогда все разнообразие симметричных и рефлексивных отношений будет определяться булеаном . Множество таких отношений более подробно будет рассматриваться несколько позже, а здесь скажем, что оно образует пространство безразличия или толерантности. Ясно, что число отношений толерантности определяется мощностью булеана , т.е. .

Ниже в табл. 1 приведены значения числа толерантных отношений для начальных значений n из отрезка натурального ряда чисел.

Таблица 1. Количества толерантных БО

где n число диагональных точек отношения. В табл. 2 приводятся значения |SM| для некоторых n.

Таблица 2. Количества симметричных БО

Теперь перейдем к подсчету асимметричных отношений, множество которых будем обозначать через AS. Эти отношения характеризуются тем, что в них отсутствуют все точки диагонали и ни одна из клеток матрицы отношения, лежащих вне диагонали, не имеет симметричной. Другими словами, это множество антирефлексивных и антисимметричных отношений.

Мощность этого множества может быть определена из выражений

где К =.

Получим приведенную формулу для подсчета мощности множества AS — асимметричных отношений при заданной мощности носителя |А| = n. По определению все отношения множества AS антирефлексивны, следовательно, главная диагональ в матрицах отношений пуста, а единичные элементы могут размещаться лишь в половине оставшихся позиций матрицы, т.е. в клетках.

Итак, предположим, что асимметричное отношение содержит k-элементов (точек, упорядоченных пар) 0 ≤ k ≤ . Количество отношений с таким числом элементов, очевидно, будет равно числу сочетаний из по k.

При этом с каждым из k элементов свяжем пару симметричных позиций: одна над главной диагональю матрицы, другая – под диагональю.Поскольку в каждой паре элемент может быть в одной из двух позиций, то для размещения k элементов возникает булеан возможностей.

Таким образом, – это число выборов k пар позиций из имеющихся пар в матричном представлении отношений, а – количество возможностей расставить k элементов по позициям в каждой паре. Количество отношений, содержащих k элементов определяется как произведение числа выборов пар позиций на количество вариантов расстановки этих k элементов, т.е. .

Полное же число отношений в множестве AS получается при суммировании полученных произведений по всем значениям k от нуля до максимально допустимого K =, т.е.

где К =.

Пример 3. Пусть мощность множества носителя |А| = 5. Подсчитаем по найденной формуле число асимметричных отношений. Определим значение верхнего предела К в сумме, К ==10. Данные подсчета слагаемых суммы приведены в табл. 3.

Существует другой способ подсчета мощности множества AS. Он основан на подсчете числа отображений множества пар симметричных позиций во множество состояний, в котором может быть каждая такая пара. В асимметричном отношении имеется пар позиций.

Каждая позиция в паре клеток может быть занята 0 или 1, но для пары позиций имеются S = 3 состояния, которые обозначим следующим образом:

— 1, если элемент (1) помещен над диагональю;
— 2, если элемент (1) помещен под диагональю;
— 3, если обе позиции пусты (заняты нулями).

Таким образом, пара симметричных позиций (в матрице отношения) может быть в каждом
отношении в одном из трех состояний. Формула для подсчета всех возможных отображений множества пар позиций (обозначим его символом K ) в множество S состояний имеем:
|AS| =|S|^<|K|>$» data-tex=»inline»/>

Пример 4. Для условий предыдущего примера имеет вид |A| = 5, K=|K| = |S| = 3, тогда, .

Результаты расчетов двумя разными способами совпадают, что лишний раз убеждает в правильности полученных формул. Таким образом, получено соотношение

где К =

Приведем в табл. 4 числа асимметричных отношений |AS| для небольших значений n.

Таблица 4. Количества асимметричных БО

Имея формулу для определения числа асимметричных отношений, можно получить другую – для подсчета числа антисимметричных отношений, так как наличие или отсутствие диагональных точек не меняет свойства антисимметричности отношения.

Итак, обозначим множество антисимметричных отношений символом ANS, тогда мощность этого множества определится по формуле

где К =

Ниже приводится табл. 5, содержащая значения (ANS) при n = 3(1)5.

Таблица 5. Количества антисимметричных БО

В дальнейшем нам потребуются понятия, которые удобно ввести здесь.

Транзитивность (лат. Transitivus – переходный, от transitus – переход)

Другими словами, для транзитивного отношения из наличия в его составе элементов () и () следует, что оно содержит, обязательно и элемент ( ). Для графа отношения это свойство означает, что если пара вершин ( ) связана ориентированным путем, проходящим через вершину k и образованным 2-мя последовательными дугами ( ), ( ), то эти же вершины непосредственно связаны и единственной дугой (). Для элементов матрицы [] транзитивного отношения α из следует .

Определение свойства транзитивности для бинарных отношений предполагает, что отношение содержит не менее трех элементов (упорядоченных пар). А как это свойство проявляется в отношениях одноэлементных, пустых или содержащих только два элемента?

Все одноэлементные и пустое отношение транзитивны. Двухэлементное отношение может быть транзитивным и нетранзитивным, если пары, входящие в него, содержат общий элемент j. Дуги графа, соответствующие упорядоченным парам направлены в одну сторону (образуют ориентированный не обеспечивающий транзитивность маршрут).

Например, пусть ( )є α и ( )є α. Сформулированное определение требует: чтобы отношение α было транзитивным, обязательно наличие в нем третьей пары (дуги), а именно, ( ), но так как ее нет, то свойство транзитивности для α не выполнено.

Если, как и раньше, отношение содержит только две пары с общим элементом , но такие, что общий элемент находится в одинаковой позиции в обеих парах (), ( ) или (),
( ), а дуги на графе направлены в разные стороны, то такое отношение транзитивно, так как включение третьей пары в состав отношения не требуется.

Транзитивным отношение будет и в случае, когда две пары не имеют общих элементов. Примерами транзитивных отношений являются:« равенство » (=), так как из i = k, k = j вытекает i = j; « i больше j»; в геометрии – «параллельность прямых». Примеры не транзитивных отношений: «перпендикулярность прямых» в геометрии; « i не равно j».

В литературе, посвященной отношениям, можно встретить разнообразные понятия, характеризующие транзитивность: слабая транзитивность, сильная транзитивность, отрицательная транзитивность, антитранзитивность, слабая антитранзитивность, обобщенная транзитивность, транзитивное замыкание и некоторые другие. Здесь сделана попытка систематизировать многообразные оттенки проявления свойства транзитивности в отношениях.

Для транзитивного отношения α отношение также всегда является транзитивным. Пересечение произвольного числа транзитивных отношений является транзитивным отношением. Если рассматривать отношение ᾰ, которое является пересечением всех транзитивных отношений, содержащих отношение α, то ᾰ называется транзитивным замыканием отношения α.

Транзитивное замыкание ᾰ может быть построено для любого отношения α в соответствии с правилом из следует:

.

Отношение ᾰ является наименьшим транзитивным отношением, содержащим α. Если α транзитивно, то оно совпадает со своим транзитивным замыканием α=ᾰ и наоборот.

При изображении транзитивного бинарного отношения ориентированным графом можно изображать не весь орграф, а лишь его транзитивный остов, т.е. не изображаются дуги, соединяющие начало и конец каждого маршрута длиной более единицы. В этом случае говорят, что для отношения α взят транзитивный остов графа. Эта операция по существу является обратной к операции транзитивного замыкания, при которой начало и конец каждой цепи соединяются дугой.

Относительно операции объединения отношений в общем случае свойство транзитивности не выполняется. Объединение двух транзитивных отношений и является транзитивным тогда и только тогда, когда одно из них транзитивно относительно другого. Для пары бинарных отношений и можно рассматривать транзитивность одного из них относительно другого.

Так является транзитивным относительно при выполнении условий:

1) из следует ;
2) из следует .

В случае, когда относительная транзитивность является обычной транзитивностью.

Известно следующее утверждение относительно свойств транзитивности, симметричности и асимметричности отношения. Если бинарное отношение транзитивно, то его симметричная часть и асимметричная часть также транзитивны.

Обратное выполняется лишь в том случае, если , транзитивны и транзитивно относительно . В общем случае из транзитивности и не следует транзитивность α.

Композиция транзитивного отношения α с собой удовлетворяет соотношению α·α ⊆ α. Отношение α является отрицательно транзитивным (нетранзитивным) в том случае, если транзитивным является дополнение к нему, т.е. ᾱ. В матрице такого отношения [ ] из и следует . Отрицательная транзитивность α не исключает того, что само α может быть также транзитивным.

В этом случае говорят, что α является сильно транзитивным отношением. Элементы матрицы [ ] такого отношения характеризуются тем, что из следует , a из следует .

Наряду с сильно транзитивными отношениями рассматриваются слабо транзитивные (псевдотранзитивные), к которым относятся те из отношений, где выполняются условия из и следует . Из асимметрии и отрицательной транзитивности следует его транзитивность.

Отношение α является транзитивно полным, если для любых δ из ,
следует сравнимость и , т.е. выполняются либо либо .

Цикличность

Отношения, заданные на множестве А, могут рассматриваться с точки зрения наличия в них циклов. Удобно такое рассмотрение проводить на графах отношений. Граф циклического отношения всегда содержит, по крайней мере, один замкнутый контур (ормаршрут). При игнорировании стрелок контур превращается в цикл. Граф ациклического отношения не содержит циклов и называется ациклическим или бесконтурным.

Отношение = является циклическим, если из элементов множества А может быть образована хотя бы одна цепочка вида произвольной длины δ. График Å транзитивного замыкания для циклического отношения содержит, по крайней мере, одну пару (), а для ациклического отношения α не содержит ни одной такой пары.

Отношение = является ациклическим, если для любого δ≥1 выполняется условие из следует . В матрице[] ациклического отношения из следует i≠j. Ациклическое отношение всегда асимметрично, но обратное не верно. Другими словами, если некоторые вершины и графа α ациклического отношения соединены путем; то в графе нет дуги ().

Классическими примерами графов с таким свойством являются транзитивные турниры. Вершины таких графов допускают перенумерацию, при которой для любой дуги () номер вершины j больше, чем вершины i.

Если α – антирефлексивное транзитивное бинарное отношение, то оно ациклично. Из ацикличности и транзитивной полноты отношения следует его транзитивность.

Полнота

Свойство полноты (совершенства, линейности). Все множество отношений разделяет на неполные и полные, среди которых в свою очередь выделяются сильно полные. Будем иллюстрировать свойство полноты отношений, рассматривая графы отношения.

Граф полного отношения – полный, т.е. любые две его вершины непосредственно связаны хотя бы одной дугой, т.е. являются смежными. Поскольку каждой дуге в графе соответствует точка (элемент, пара) графика отношения, то на основании изложенного можно сформулировать определение.

Отношение = является полным (совершенным, линейным) тогда и только тогда, когда все элементы множества А являются сравнимыми или равны между собой. Таким образом, полное отношение рефлексивно. Другими словами, для любых двух элементов и справедливо .

Если в отношении α найдется хотя бы одна пара , несравнимых и неравных между собой элементов, то такое отношение является неполным. Для любого полного отношения α справедливо или из следует . Бинарное отношение α полно тогда и только тогда, когда , т.е. когда его асимметричная часть совпадает с двойственным (п.9) отношением.

Бинарное отношение α является сильно полным, когда его график совпадает с A×A. Граф такого отношения является полным графом, в котором каждая пара вершин связана ребром, а каждая вершина имеет петлю. Такой граф называют сильно полным графом. Для полного отношения α всегда выполняются соотношения и . Отношение всегда полно.

Если и полные отношения, то полно. В матрице [] полного отношения или для любых i, j, либо верны оба равенства. Отношение α является слабо полным (слабосвязным), если для любых таких, что , либо , либо .

В матрице [] слабо полного отношения для любых i ≠ j, либо , либо , либо верны оба равенства. Отношение α является транзитивно полным, если для произвольного n из следует сравнимость т.е. или .

Выполним подсчет числа полных отношений. Вначале рассмотрим задачу о линиях. Линией в матрице отношения будем называть отрезок прямой перпендикулярный главной диагонали матрицы отношений, соединяющий центры симметрично расположенных относительно этой диагонали двух ячеек (клеток) матрицы.

Если на одну линию (прямую) в матрице отношения попадают две и более пар симметричных позиций, то число линий, тем не менее, остается равным числу таких пар позиций. Полное число пар позиций при произвольном n определяется как .

Итак, в матрице для произвольного отношения над множеством А имеется множество L параллельных отрезков (линий). Обозначим концевые позиции отрезков (линий) символами Л – левая и П – правая. Имеется также |L| фишек, которые можно помещать в позиции на концах линий. Задача заключается в том, чтобы определить число способов, которыми можно было бы расставить |L| фишек так, чтобы на каждой линии было не менее одной фишки.

Понятно, что задача может быть сведена к определению числа F отображений f: L → π множества L линий в множество π позиций (п = <Л, П>). Известно, что число таких отображений определяется формулой . Конкретное отображение (образ) может иметь вид последовательности индексов для | L | позиций. Символу Л соответствует позиция под главной диагональю, а символу П, симметричная ей над диагональю.

Из определения полного отношения следует, что его график содержит не менее К точек, К = , расположенных: так, что все линии оказываются занятыми, хотя бы одной фишкой. Число k точек графика, дополнительных к минимально необходимому числу, может пробегать значение k = 0(1)К =.

При каждом фиксированном числе k точек множество выборов позиций, в которых они могут размешаться определяется значением , где К – множество незанятых позиций. Так как k дополнительных точек заполняют полностью k линий, то для обеспечения свойства полноты отношения остается заполнить К — k позиций фишками (точками из множества минимально необходимого), и число таких заполнений равно .

Выборы позиций для k дополнительных точек и способы заполнения фишками К-k линий являются независимыми. Следовательно, общее число возможностей размещения К + k точек в 2∙К позициях так, чтобы все линии были заняты хотя бы одной точкой, определится выражением

Если просуммировать это выражение по, то получим число полных отношений, которое не зависит от ситуации с размещением диагональных точек. Другими словами, это число частично рефлексивных полных отношений, например, антирефлексивных и полных рефлексивных и полных и т.п.

Пример 5. Многообразие ситуаций размещения диагональных точек определяется числом . Тогда П мощность множества всех полных отношений при фиксированном n определится по формуле

.

Для отношений с тремя обязательными свойствами

Для отношений эквивалентности с тремя обязательными свойствами. Имеется замечательный результат: каждому отношению эквивалентности над множеством из n элементов взаимно однозначно соответствует разбиение этого множества. Число таких отношений определяется формулой

, где S(n, m) — число Стирлинга 2-го рода, Bn — число
Белла или в рекуррентной форме

Для упорядоченных множеств (частичных порядков) подобные формулы не открыты и их число определяется непосредственными вычислениями, т.е. моделированием. Для малых значений n данные приведены в таблице

Таблица 6. Количественные характеристики бинарных отношений

В таблице 6. показаны: n = |A| – мощность множества-носителя;
– количество всех бинарных отношений на множестве А;
|Ин(n) | – количество классов неизоморфных отношений;
|Г(n)| – количество отношений частичного порядка;
|Гн(n)| – количество классов неизоморфны отношений частичного по-рядка;
|Гл(n)| = n! – количество отношений линейного порядка.

Заключение

В работе выполнен детальный анализ основных свойств и устройства бинарного отношения, на основе которого удалось получить количественные характеристики для БО с одним и более свойствами. Найдены и приведены оригинальные соотношения для количества некоторых типов отношений с двумя и тремя обязательными свойствами. Эти результаты открывают возможность моделирования и изучения БО и отношений более высокой арности.

Источник