Найдите все значения параметра а такие что уравнение x 2 4ax 5a

Решение задачи с параметрами.

Задача Профильного Уровня на параметры

Эта задача была на экзамене 2016 года в основной период ЕГЭ по математике. Многие ребята тогда писали, что задания по математике профильного уровня были чрезмерно сложными, и даже создали петицию на сайте OnlinePetition.ru

Ребята, прикол в том, что они были проще многих из тех образцов, по которым вы готовились. Просто непривычнее. Дело в том, что в последнее время на ЕГЭ давались задачи на параметры, которые лучше было решать графическим методом. А 6 июня 2016 года были задачи, в которых достаточно было проанализировать ОДЗ (Область Допустимых Значений) уравнения и его Дискриминант, так как после преобразований уравнение оказывалось квадратным (!).

Давайте рассмотрим решения двух примеров.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

√15x 2 + 6ax + 9 ____________ = x 2 + ax + 3

имеет ровно три различных решения.

Решение.

Любым способом после возведения в квадрат получим

Преобразуем: переносим все слагаемые в правую часть, приводим подобные члены, общий множитель выносим за скобки. Имеем:

Очевидно, что x = 0 будет корнем этого уравнения при любом значении параметра a. Проверим ОДЗ при x = 0.

1) 15·0 2 + 6a·0 + 9 ≥ 0; 9 ≥ 0 ;
2) 0 2 + a·0 + 3 ≥ 0; 3 ≥ 0.

Оба неравенства выполняются также при любом значении параметра a. Значит один корень уже есть и теперь нам осталось найти все значения параметра a, при каждом из которых квадратное уравнение

имеет ровно два различных решения, не совпадающих с x = 0 и удовлетворяющих неравенствам 1) и 2), т.е. первоначальному ОДЗ.
Исследуем дискриминант:

Таким образом, последнее уравнение при любом a имеет два разных корня, которые мы можем найти

Осталось сверить эти корни с Областью Допустимых Значений исходного уравнения.
Проверяем, подставляя поочередно оба корня в оба неравенства.

Итак, первому неравенству всегда удовлетворяют оба корня. Чтобы оба корня удовлетворяли второму неравенству, нужно чтобы параметр a удовлетворял системе условий , т.е. принадлежал промежутку [−4; 4].

Подводим итоги. Ограничение на параметр даёт только второе условие из ОДЗ: a ∈[−4; 4], а требование о несовпадении корней выполняется, если исключить из этого промежктка a = ±3.

Ответ: a ∈[−4;−3)∪(−3; 3)∪(3; 4]

Как видите, коэффициенты здесь подобраны так, что алгебраические операции не сложны и не занимают много времени. Но, если вы забыли об особенностях квадратных корней и упустили из виду именно условие 2) из ОДЗ, то решения не получите вообще.
Надеюсь, что многие выпускники всё-таки справились с этой задачей, и желаю им дальнейших успехов на экзаменах по выбору.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Решение.

Привели дроби к общему знаменателю и сразу отбросили знаменатель. Новое уравнение будет равносильно заданному только с учётом ограничений ОДЗ.

Почему можно так делать?
— Потому что дроби с равными знаменателями равны тогда, когда равны их числители.
Когда нельзя так делать?
— Когда не проверено неравенство знаменателя нулю или забыли предварительно записать ОДЗ.
Кому можно, а кому нельзя так делать?
— Аккуратным и вдумчивым ученикам можно, невнимательным нельзя. Последним надо переносить всё в левую часть равенства, упрощать выражение в виде полной дроби, затем переходить к совокупности условий: «дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю».

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим

окончательно приведём к виду, характерному для квадратного уравнения:

Дискриминант этого уравнения

Заданное в условии задачи уравнение может иметь единственное решение в двух случаях. Во-первых, когда дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю, а его единственный корень не совпадает с ограничениями ОДЗ. Иначе его нужно будет отбросить и решений не останется совсем. Во-вторых, когда квадратное уравнение имеет два разных корня (дискриминант больше нуля), но один и только один из них не удовлетворяет ОДЗ.

Случай I. D = 0.

−4a 2 − 4a + 9 = 0 при a = (−1 ± √10 __ )/2.

Случай II.

Определим те значения a, при которых корнем квадратного уравнения является x = а.

Определим те значения a, при которых корнем квадратного уравнения является x = −2.

При этих значениях параметра а можно продолжить исследование дискриминанта и второго корня квадратного уравнения. Но проще проверить их подстановкой в исходное уравнения условия задачи.

a = 1

x − 2·1 _______ x + 2 + x − 1 ____ x − 1 = 1; x − 2 _____ x + 2 + 1 = 1; x − 2 _____ x + 2 = 0; x = 2.

x − 2·(−1) _________ x + 2 + x − 1 _______ x − (−1) = 1; x + 2 ____ x + 2 + x − 1 ____ x + 1 = 1; 1 + x − 1 ____ x + 1 = 1; x − 1 ____ x + 1 = 0; x = 1.

x − 2·(−2) _________ x + 2 + x − 1 _______ x − (−2) = 1; x + 4 ____ x + 2 + x − 1 ____ x + 2 = 1; x + 4 + x − 1 = x + 2; x = −1.

Таким образом все три значения удовлетворяют условию задачи.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Источник

«Методы решения задач с параметрами»

МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»

Выступление на заседании МО

Методы решения задач

Прокушева Наталья Геннадьевна

Задачи с параметрами

Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.

Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.

Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

Основные методы решения задач с параметром

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Линейная функция: – уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами вида

Если , уравнение имеет единственное решение.

Источник

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Источник

задание 18

О категории

Уравнения и неравенства с параметрами.

Теория (1)

Разбор задания 18 профильного ЕГЭ по Математике «Задача с параметром»

Практика (43)

При каких значениях параметра а уравнение

имеет два различных решения?

Найдите, при каких значениях параметра [b]a[/b] уравнение

имеет два различных корня. В ответе укажите сумму целых значений параметра [b]a[/b]‚ удовлетворяющих условию задачи.

При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение, большее или равное (-1)?

Найдите все [b]а[/b], при которых неравенство

Найти все a, при которых уравнение sqrt(1-4x)*ln(9x^2-a^2)=sqrt(1-4x)*ln(3x+a) имеет ровно одно решение.

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения

Найдите все значения [b]а[/b]. при каждом из которых данное уравнение на промежутке (0; +∞) имеет хотя бы три корня.

При каких [b]а[/b] сумма квадратов различных корней уравнения x^2-ax+a+1 = 0 больше 1?

При каких значениях p неравенство (p-x^2)(p+x-2)

Найдите все значение при каждом из которых система имеет ровно 3 различных решения
<(x-4)^2 + (y-4)^2=9

Решить уравнение для всех a 25^x+a^2(a-1)5^x-a^5=0

Найдите все значения а, при каждом из которых решение неравенства |3x-a|+2

При каких а уравнение |x^2-4x-5|-3a=|x-a|-1 имеет ровно три корня.

Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решений

Найти все значения параметра [b]а[/b], для каждого из которых корень уравнения [b]10x-15x = 13-5ax+2a[/b] больше 2

Найдите все значение [b]а[/b], при каждом из которых уравнение

имеет два корня, расстояние между которыми больше 3

при каких a уравнение (|4*x|-x-3-a)/(x2-x-a)=0 имеет два различных корня

Найдите все значения [b]а[/b] при которых уравнение

имеет два различных корня.

При каких значениях параметра а уравнение (x^(2)-6x-a)/(2x^(2)-ax-a^(2)) =0 имеет ровно два различных решения.

Найдите все параметры А при котором уравнение:

имеет два различных корня.

Найдите все значения параметра k при каждом из которых уравнение (2(k+1)cost-k)/(sint+cost) = 2 имеет хотя бы одно решение на отрезке [Pi/2; Pi]

[block](ax-x^2) + (1)/(ax-x^2) + 2 = 0[/block]

a? 2 различных корня на (-2; 2]

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет два или три корня.

Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет два различных корня

Найдите все положительные значения параметра, при каждом из которых система
(x-4)^2+(|y|-4)^2=9
x^2+(y-4)^2=a^2 имеет ровно два решения

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно восемь решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет от одного до пяти решений

Найдите все значения a при которых существует хотя бы одно общее решение неравенств: [b]x^(2)+4ax+3a^(2) > 1+2a[/b] и [b]x^(2)+2ax ≤ 3a^(2)-8a+4 [/b]

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнение

имеет ровно три различных решения.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение sqrt(2xy+a) = x+y+5 не имеет решений.

Найдите все значения а, при которых уравнение sin^(14)x+(a-3sinx)^7+sin^2x+a=3sinx имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |x-a^2+4a-2|+|x-a^2+2a+3|=2a-5 имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет более одного решения.

Найдите все значения а, при каждом из которых система

Источник