назовите какая фигура не является правильным многогранником

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 16. Правильные многогранники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников.

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов.

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точки Аи А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (128 с. – 131 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (68 с. – 73 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Также нам уже знаком правильный тетраэдр.

Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это различные многогранники!

Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.

Правильных многогранников существует всего 5. Перечислим их.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников, значит сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240.

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов, значит, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 270.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 300.

Рисунок 4 – Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 324.

Рисунок 5 – Правильный додекаэдр

Докажем, что правильных многогранников существует ровно 5, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.

Симметрия в пространстве

Одно из интересных свойств правильных многогранников – это элементы симметрии.

Прежде чем мы их выделим давайте определим симметрию в пространстве.

Вам уже знакома симметрия из курса планиметрии. Там мы рассматривали фигуры симметричные относительно прямой и точки. В стереометрии же рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Будем говорить, что точки А и А1 симметричны относительно точки О (рис. 6), если О – середина отрезка АА1. В таком случае О будет являться центром симметрии и будет симметрична сама себе.

Рисунок 6 – Центральная симметрия

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этом отрезку (рис. 7). Прямая а называется осью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Рисунок 7 – Осевая симметрия

Точки АА1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 8). Плоскость α называется плоскостью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

Рисунок 8 – Зеркальная симметрия

Рисунок 9 – Элементы симметрии куба

Примером фигуры, обладающей и центральной, и осевой и зеркальной симметрией является куб (рис. 9).

Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Так, например, у куба один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.

В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называют элементами симметрии многогранников.

С симметрией мы часто можем встретиться в природе, архитектуре, быту.

Например, многие кристаллы имеют центр ось или плоскость симметрии.

Многие здания симметричны относительно плоскости. Примером такого здания является здание Московского государственного университета.

Рисунок 10 – Здание Московского государственного университета

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Выберите неверные утверждения

1) правильный додекаэдр состоит из 8 правильных треугольников

2) тетраэдр имеет 4 грани

3) гексаэдр состоит из шести параллелограммов

4) правильный октаэдр состоит из правильных пятиугольников

Утверждение под номером 1 неверно, так как название «додекаэдр» с греческого означает «двенадцать граней». В действительности, додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Утверждение 2 верно. Тетраэдр с греческого означает 4 грани и состоит тетраэдр из 4-х треугольников.

Гексаэдр, он же куб состоит из квадратов, которые в свою очередь являются параллелограммами, поэтому утверждение 3 верно.

С греческого «октаэдр» означает 8 граней, состоять в таком случае из пятиугольников он не может. Октаэдр состоит из восьми треугольников. Утверждение 4 неверно.

№ 2 Установите соответствие между правильными многогранниками и их развертками.

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Для выполнения этого задания необходимо понять, из каких многоугольников составлен многогранник.

Итак, куб состоит из квадратов. Единственная развертка, состоящая из квадратов это развертка под номером 6. Проверить себя можно и мысленно сложив из развертки кубик.

Многогранник под номером 2 – тетраэдр, состоит из четырех треугольников. Поэтому ему будет соответствовать развертка под номером 7. Мысленно сложите из развертки тетраэдр.

Октаэдр состоит из 8 треугольников, в этом несложно убедиться исходя из изображения. Развертка под номером 8 как раз состоит из 8 треугольников.

Многогранник под номером 4 состоит также из треугольников, а единственная развертка, состоящая из треугольников, осталась под номером 10. Попробуйте вырезать такую развертку из бумаги и собрать свой икосаэдр!

Многогранник под номером 5 состоит из пятиугольников. Оставшаяся развертка 9 тоже состоит из пятиугольников. Осталось проверить, что количество совпадает.

Источник

«Многогранники»

Тест можно использовать при закреплении и обобщении темы «Многогранники» в 11 классе. Задания требуют знаний формул, необходимых при решении предложенных задач. Задания на внимательность, логику помогут учителю выявить умения учащихся применять знания на практике. Тест поможет учителю определить уровень усвоения материала обучающимися.

Просмотр содержимого документа
«»Многогранники»»

Какой не может быть призма?

А. Прямой. Б. Наклонной. В. Правильной. Г. Усеченной.

Какая формула используется как для вычисления объема призмы, так и цилиндра, где R – радиус основания, H – высота:

А. . Б. . В. . Г. .

Назовите, какая фигура не является правильным многогранником.

А. Куб. Б. Додекаэдр. В. Октаэдр. Г. Параллелепипед.

Ребро куба равно 2 см. Вычислите сумму длин всех ребер куба.

А. 24 см. Б. 48 см. В. 12 см. Г. 60 см.

Площадь грани куба равна 16 см. Вычислите его объем.

А. 24 см. Б. 48 см. В. 56 см. Г. 64 см.

Существует ли призма, у которой только одно боковое ребро перпендикулярно основанию?

Существует ли треугольная призма, у которой только одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания?

Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 4 см и 2 см. Вычислите диагональ параллелепипеда.

А. 12 см. Б. 10 см. В. 20 см. Г. 6 см.

Вычислите площадь поверхности куба, если диагональ его равна 6 см.

А. 72 см. Б. 36 см. В. 24 см. Г. 64 см.

А. 6 см. Б. 4 см. В. 5 см. Г. 8 см.

Сколько диагоналей в пятиугольной призме?

Сколько осей симметрии имеет правильная шестиугольная призма?

В какой n-угольной правильной призме все диагональные сечения равны?

А. при n = 4. Б. При n = 5. В. При n = 4; 5. Г. Ни в какой.

Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если каждое ребро ее равно 6 см.

А. 100 см. Б. 108 см. В. 120 см. Г. 88 см.

Проекцией тела в вертикальной плоскости является треугольник, а в горизонтальной – квадрат с диагоналями. Определите вид тела.

А. Пирамида. Б. Конус. В. Призма. Г. Параллелепипед.

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна 40 м, а площадь боковой поверхности – 32 м. Вычислите высоту призмы.

А. 6м. Б. 4 м. В. 8 м. Г. 5 м.

В параллелепипеде длины ребер, исходящих из одной вершины, равны 5 см, 4 см и 3 см. Вычислите сумму длин всех ребер.

А. 48 см. Б. 46 см. В. 50 см. Г. 54 см.

В пирамиде через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию. Площадь сечения равна 8 см. Вычислите площадь основания пирамиды.

А. 32 см. Б. 16 см. В. 64 см. Г. 60 см.

В правильной четырехугольной призме диагональ боковой грани равна 6 см, а боковое ребро – 5 см. Вычислите объем призмы.

А. 55 см. Б. 50 см. В. 60 см. Г. 65 см.

В прямоугольном параллелепипеде измерения относятся, как 5 : 3 : 2, а объем равен 240 см. Вычислите измерения.

А. 5 см, 3 см и 2 см. Б. 10 см, 6 см и 4 см. В. 10 см, 3 см и 2 см. Г. 5 см, 3 см и 4 см.

Площадь основания наклонного параллелепипеда равна 12 см, а боковое ребро равно 10 см и наклонено к плоскости основания под углом 45. Вычислите объем параллелепипеда.

А. 60 см. Б. см. В. см. Г. см.

У правильной четырехугольной пирамиды сторона основания равна 5 см, а высота – 6 см. Вычислите объем пирамиды.

А. 50 см. Б. 40 см. В. 60 см. Г. 30 см.

У пирамиды и призмы высоты и основания равны. Во сколько раз объем призмы больше объема пирамиды?

А. В 2 раза. Б. В 3 раза. В. В 4 раза. Г. В 5 раз.

Какую часть объема пирамиды отсекает ее среднее сечение (проходит через середину высоты, параллельно основанию)?

А. . Б. . В. . Г. .

Прямоугольный параллелепипед – это:

А. Пирамида. Б. Призма. В. Октаэдр. Г. Тетраэдр.

Объем пирамиды определяется по формуле, где — площадь основания, H – высота, R – радиус:

А. Образующая цилиндра. Б. Высота конуса. В. Высота боковой грани пирамиды.

Г. Высота усеченного конуса.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 5 см. Вычислите его объем.

А. 30 см. Б. 15 см. В. 20 см. Г. 25 см.

Ребро куба равно 2 см. Вычислите площадь поверхности куба.

А. 12 см. Б. 24 см. В. 16 см. Г. 18 см.

Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения увеличить в 2 раза?

А. Увеличится в 2 раза. Б. Увеличится в 6 раз. В. Увеличится в 8 раз. Г. Не изменится.

Существует ли призма, имеющая 20 ребер? А. Да. Б. Нет.

Какое наименьшее число многогранных углов может иметь многогранник?

Призма имеет 10 граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?

А. 4-угольник. Б. 6-угольник. В. 8-угольник. Г. 3-угольник.

Существует ли наклонная призма, у которой только одна грань перпендикулярна к основанию? А. Да. Б. Нет.

Сколько ребер у октаэдра?

А. 10. Б. 12. В. 14. Г. 16.

В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь боковой поверхности равна 12 дм. Вычислите высоту призмы.

А. 2 дм. Б. 3 дм. В. 4 дм. Г. 5 дм.

В какой n-угольной призме число диагональных сечений равно числу боковых граней?

А. n = 3. Б. n = 4. В. n = 5. Г. n = 6.

Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 20 см. На каком расстоянии находится точка пересечения диагоналей параллелепипеда от боковых ребер?

А. 10 см. Б. 12 см. В. 8 см. Г. 13 см.

У какой призмы боковые ребра равны ее высоте?

А. У правильной. Б. У прямой. В. У правильной и прямой. Г. Ни у какой.

У правильной треугольной пирамиды все ребра равны по 4 см. Вычислите площадь поверхности пирамиды.

А. см. Б. см. В. см. Г. 16 см.

У пирамиды 10 ребер. Сколько у нее граней?

Как изменится площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его высоту увеличить в 4 раза, а каждую из сторон основания уменьшить в 2 раза?

А. Увеличится в 2 раза. Б. Увеличится в 4 раза. В. Уменьшится в 2 раза. Г. Не изменится.

Площадь основания пирамиды равна 100 см. Вычислите площадь сечения пирамиды, проведенного через середину высоты.

А. 50 см. Б. 25 см. В. 75 см. Г. 20 см.

У призмы n боковых граней. Сколько у нее ребер?

А. 2n. Б. 3n. В. 4n. Г. 5n.

В прямом параллелепипеде высота равна 10 см. В основании лежит параллелограмм, стороны которого равны 4 см и 3 см, а угол между ними 30. Вычислите объем параллелепипеда.

А. 40 см. Б. 50 см. В. 60 см. Г. 70 см.

Высота прямой призмы равна 10 см. В основании призмы – ромб с диагоналями 3 см и 4 см. Вычислите объем призмы.

А. 60 см. Б. 65 см. В. 55 см. Г. 50 см.

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 6 м, а измерения относятся, как 2 : 2 : 1. Вычислите объем призмы.

А. 23 м. Б. 32 м. В. 13 м. Г. 33 м.

В наклонном параллелепипеде провели диагональное сечение. В каком отношении оно делит объем параллелепипеда?

А. 1 : 3. Б. 1 : 4. В. Пополам. Г. 2 : 1.

Объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а ребро 13 см, равен: А. 156 см. Б. 207 см. В. 169 см. Г. 24 см.

Источник