для какого периода характерно расширение математических терминов
Презентация » Периоды развития математики «
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
МАТЕМАТИКА (греч. mathematike, от mathema — знание, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
ПЕРИОДЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ Период зарождения математики Период элементарной математики (6-5 вв. до н.э. – 17 в. н.э.) Период математики переменных величин (17-18 вв.) Период современной математики (с 19 в. до наших дней)
Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление еще долго представляло большие трудности).
Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику.
Возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создаётся систематическое учение о величинах и измерении. Период элементарной математики заканчивается, когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин.
На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математике в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла, созданию аналитический геометрии. Наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.
Сложился стандарт требований к логической строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий. Теория множеств, успешное построение большинства математических теорий на основе теоретико-множественной аксиоматики и успехи математической логики (с входящей в нее теорией алгоритмов) являются весьма важными предпосылками для разрешения многих философских проблем современной математики. Геометрия переходит к исследованию «пространств», весьма частным случаем которых является евклидово пространство.
Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Интересный исторический материал пригодится для внеклассной работы, проведения предметной недели, для расширения математических знаний учащихся.
Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.
Академик А.Н. Колмогоров выделяет четыре периода развития математики: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.
Конспект «История развития математики»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
История развития математики
С точки зрения выдающегося советского математика академика Андрея Николаевича Колмогорова, история развития математического знания распадается на четыре этапа:
период зарождения математики (примерно до VI – V вв. до н.э.), на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
период элементарной математики, начинающийся в VI–V вв. до н.э. и завершающийся в конце XVI в. («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе»;
охватывающий XVII-XVIII вв. период математики переменных величин, «который можно условно назвать также периодом «высшей математики»;
период современной математики – математики XIX-XX I вв., в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».
1. Зарождение математики. Уже на самых ранних ступенях развития цивилизации необходимость счета общеупотребимых предметов привела к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Затем постепенно вырабатываются приемы выполнения простейших арифметических действий над натуральными числами, возникают системы счисления.
Вавилон. В 1849-1850 гг. в развалинах древнего города Ниневия была найдена древнейшая библиотека. Выяснилось, что почти за 2000 лет до н.э. были составлены таблицы умножения, квадратов последовательных целых чисел. Для решения квадратных уравнений народы Месопотамии разработали систему действий, эквивалентную современной формуле. Но не были найдены рассуждения, приведшие к используемому алгоритму, т. е. математику Древнего Вавилона можно было назвать рецептурной.
Следы вавилонской нумерации сохранились до сих пор: 1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд; аналогично при делении окружности на градусы, минуты, секунды. Такая традиция пришла из астрономии. Вавилоняне проводили систематические наблюдения за звездным небом, составляли календарь, вычисляли периоды обращения Луны и всех планет, могли предсказывать солнечные и лунные затмения. Эти знания астрономии впоследствии перешли к грекам, которые вместе с астрономическими таблицами заимствовали и шестидесятеричную нумерацию.
Египет. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Древнего Египта, относящиеся к началу 2-го тыс. до н. э., состоят из примеров решения отдельных задач или рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые данные в текстах. Эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Математическая теория в смысле системы взаимосвязанных и доказываемых общих теорем вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее, запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. Египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц.
Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием.
Появляются первые попытки анализа роли и значения математики в научном познании. Так, например, пифагорейцы считали число основой и началом всего существующего. Они полагали, что задача научного познания состоит в нахождении в вещах внешнего мира закономерностей, присущих числам. На позициях математизации действительности стоял также греческий философ Платон. По его мнению, математические формы являются строительными кирпичиками Вселенной.
Родоначальником применения математики для изучения природных явлений был Архимед, достижения которого в исследованиях механики и физики (архимедов винт, метательные машины, исследования о равновесии и устойчивости плавающих тел) сочетались с прозорливостью в области математики. Его труды – яркий образец развития прикладных математических знаний в древности. В сочинениях Архимеда мы находим также зачатки применения метода интегральных сумм при решении практических задач. Архимед сформулировал и доказал теорему о сумме квадратов членов арифметической прогрессии. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей, объёмов и центров тяжести (шара, параболоида и их сегментов и т.д.); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в III в. до н. э. трансцендентных кривых.
Для математики поздней античности характерно выдвижение на первое место практических вычислительных методов и задач. Это свойственно работам Герона, Птоломея.
Математика в Западной и Центральной Европе стала на путь самостоятельного развития только с наступлением эпохи Возрождения в XVI в. Так, итальянцы Н. Тарталья (ок. 1530) и Л. Феррари (1545) решили в общем виде кубические уравнения и уравнения четвертой степени. В этот же период впервые начинают оперировать с мнимыми числами (Дж. Кардано, Р. Бомбелли). Складывается алгебраическое буквенное исчисление (Виет, 1591г.). В Англии Непер изобрел логарифмы как средство для астрономических вычислений (1614г.), Бриг составил первые таблицы логарифмов. Тогда же в Европе появляется и общая формула бинома Ньютона и т.д.
Математическое образование в России находилось в IX — XIII вв. на уровне наиболее культурных европейских стран. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. Наиболее древнее, известное нам математическое исследование относится к 1130г. и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологическим расчётам, которые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математической части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени.
Период элементарной математики заканчивается в Западной Европе в начале XVII в., когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин.
Вслед за Ньютоном и Лейбницем в области анализа и его приложений большую роль сыграли братья Бернулли, Эйлер, Лагранж, Лаплас и другие крупные математики того времени.
4. Современная математика. Все созданные в XVII и XVIII вв. разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в XIХ и XХ вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применения к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако помимо этого количественного роста, с конца XVIII и в начале XIХ вв. в развитии математики наблюдается и ряд существенно новых черт.
В деле обоснования анализа и уточнения его основных понятий важную роль сыграла созданная немецким математиком Г. Кантором (1845-1918) теория множеств.
Таким образом, в результате как внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между множествами, элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.
Существенная новизна начавшегося в ХIХ в. этапа развития математики состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, например, введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие математики потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых геометрических и алгебраических систем.
В начале ХIХ в. происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными разделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получает широкое развитие механика непрерывных сред. Быстро растут и математические запросы техники. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатываются теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений с частными производными и уравнений математической физики.
Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей. Если в начале ХIХ в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в концу ХIХ и в начале ХХ вв. теория вероятностей получает много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики.
Теория чисел, представлявшая собрание отдельных результатов и идей, с ХIХ в. развивалась в различных направлениях как стройная теория.
Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков главным образом под углом зрения изучения их логических и аксиоматических основ. Но основными отделами геометрии, где сосредотачиваются наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.
Практическое использование результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретического разбора задачи это часто оказывается весьма трудным делом. Зародившиеся в конце ХIХ и в начале ХХ вв. численные методы анализа и алгебры выросли в связи с созданием и использованием ЭВМ в самостоятельную ветвь математики – вычислительную математику. Выдающееся значение для создания кибернетики и современной вычислительной математики имели труды Н.Винера, К Шеннона, Дж. Неймана, русских и советских математиков А.М. Ляпунова, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова и др.
Данный краткий обзор истории развития математических идей и методов и их приложений позволяет сделать следующие обобщения и выводы.
Прежде всего, можно заметить, что в ходе исторического развития происходило постоянное расширение предмета исследования математики, создавались новые понятия, возрастал интерес к анализу основ, взаимозависимостей, способов доказательств.
Второй важный вывод состоит в том, что современная математика переходит от изучения только «пространственных форм и количественных отношений действительного мира» к исследованию скоплений абстрактных математических структур. Уровень абстракции предмета изучения постоянно возрастает.
В ходе развития математики и ее приложений постепенно расширяется их взаимосвязь с практической жизнью и потребностями других наук. Этот процесс развивается в двух направлениях: с одной стороны, усиливается влияние практической жизни и других наук (главным образом естественных) на развитие математики, с другой — расширяется сфера приложений математики, ее средств и методов в различных областях науки и техники. Эти две стороны связи математики с общественной жизнью и с другими науками всегда взаимообусловлены.
Периоды развития математики
Первый период (период зарождения математики), истоки которого теряются в глубине веков, продолжался до VI—V вв. до н.э. В то время проходил процесс накопления человеком математического знания, создавались приемы счета, устная и письменная нумерация, системы счисления. Так как такая «рецептурная» арифметика и геометрия необходимы были для простейшего счета хозяйственных предметов и измерения земельных площадей, то говорить о математике как науке в тот период нет достаточных оснований.
Во второй период (период элементарной математики), длившийся с VI—V вв. до н. э. по XVI в. включительно, осуществлялась систематизация накопленных математических знаний и разработка методов доказательства. Представители греческой математической культуры (Фалес, Пифагор, Платон, Аристотель и др.) характеризовались более рациональным складом мышления по сравнению с их предшественниками из стран Древнего Востока. В творчестве Евклида (III в. до н. э.) эта особенность еще более усиливается. Его система, изложенная в «Началах», была исторически первой математической (точнее, геометрической) системой, определившей создание соответствующего стиля мышления. Она знаменовала собой первую интенсивную революцию в математике, качественную перестройку и упорядочение накопленного математического знания.
Логические средства, которые применил Евклид, — это формальная логика Аристотеля. Его образец мышления, построенный по схеме «определения — аксиомы — теоремы», получил отражение в творчестве многих поколений ученых, но прежде всего в исследованиях Архимеда, Аполлония, Менелая, Птолемея, Диофанта.
Во второй период развития математики формируются тригонометрия и алгебра, расширяется понятие числа, устанавливаются связи между арифметикой и геометрией. Математика выделяется в самостоятельную науку, предметом которой являются операции с постоянными величинами (числами, геометрическими фигурами). Правда, здесь следует помнить, что уже в греческой математике имелись примеры изучения связей между переменными величинами (зависимость площади круга от его радиуса, синус угла, применение в неявном виде понятия предела при определении длины окружности и т. п.).
Идея движения, вошедшая в математику, позволила следующим образом определить ее предмет в третьем периоде: математика есть наука об изменениях величин и геометрических преобразованиях.
К концу третьего периода (середина XIX в.) достаточно богатыми были алгебраические теории (возникает алгебра логики, линейная алгебра, топологическая алгебра, дифференциальная алгебра и т. п.), теория чисел, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, теория функций действительного переменного и др. В изменении стиля математического мышления было «повинно» определенное противопоставление «чистой» (теоретической) и «прикладной» математики. Формулы и математические преобразования (выкладки) часто уступали место непосредственному рассуждению. Нарождалась так называемая «математика понятий», и французский математик Э. Галуа (1811—1832) явился одним из первых и наиболее блестящих ее представителей, с именем которого связаны исследования о разрешимости уравнений произвольной степени. Рассматривая уравнение, которое необходимо было решить, он связывал с ним некоторую группу операций и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Так как различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.
В этот период формируется и современное представление о математической строгости, а на мировой арене появляются русские математики — Н.И. Лобачевский (1792—1856), М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев (1821— 1894), Я.М. Ляпунов (1911-1973), А.А. Марков (1903-1979) и др.
Таким образом, с середины XIX в. можно говорить о четвертом периоде развития математики — периоде современной математики. Он характеризуется созданием новых областей и теорий математики: неевклидовой геометрии, топологии; теории групп, векторного и тензорного исчислений, функционального анализа, теории множеств.
Характерные черты современной математики:
♦ восхождение ко все более высоким степеням абстракции и идеализации;
♦ доминирующий структурный подход к пониманию предмета математики, аксиоматическое построение теорий, усиление геометрических методов исследования;
♦ интенсивный процесс расширения предмета исследования в науке;
♦ глубокая диалектическая связь между фундаментальными разделами и теориями математики;
♦ возникновение новых средств вычислений, методов исследования и доказательства;
♦ развитие знаковой символики и средств оперирования специальными математическими знаками;
♦ компьютеризация математики, то есть процессы, происходящие в науке под воздействием внедрения и использования ЭВМ;
♦ изучение математических объектов вместе с отображениями этих объектов друг в друге;
♦ исследование математических систем путем выявления в них различного рода математических структур;
♦ высокая эффективность (почти универсальность) применения аппарата и методов математики в естественных, технических и гуманитарных науках.
X. Патнэм в работе «Разум, истина и история» дает краткий перечень традиционных и современных взглядов в философии математики:
Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех направлений и продолжать исследования, которые представляют собой определенную смесь последних четырех направлений. Другие исследователи считают перспективными направления, которые в той или иной степени пересекаются с этими последними, но в некотором смысле (в другой классификации) являются самостоятельными. Так, Дж. Кетланд говорит о дополнении списка Патнэма еще тремя направлениями, полагая при этом, что в целом этот список покрывает все направления в философии математики:
Само многообразие направлений не должно вызывать удивления, поскольку это довольно распространенное явление в современной аналитической философии.
основные периоды развития математики
Академиком А.Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:
1. Зарождение математики. Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.
2. Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметических вычислений, способов определения площадей и объёмов и тому подобного возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематического развития её основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математической науки, в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создаётся систематическое учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число) оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте.
3. Период создания математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“. С 17 века начинается существенно новый период развития математики. Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление
Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, дипроизводной, дифференциала и интеграла.
4. Современная математика. Все созданные в 17 и 18 веках разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 веках. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 века и в начале 19 века в развитии математики наблюдается и ряд существенно новых черт.