на какую фигуру отображается при движении отрезок

Понятие движения (окончание)

Докажем следующую теорему:

Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки М₁ и N₁ (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN, Р₁ — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то

Из равенств (1) получаем, что М₁Р₁ + P₁N₁ = M₁N₁, и, значит, точка Р₁ лежит на отрезке M₁N₁ (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство М₁Р₁ +P₁N₁ > M₁N₁). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁.

Нужно ещё доказать, что в каждую точку Р₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р₁ — произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка Р при заданном движении отображается в точку Р₁. Из соотношений (1) и равенства M₁N₁ = М₁Р₁ + P₁N₁ следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а угол — на равный ему угол.

Источник

Понятие движения

Пусть прямая — ось симметрии. Возьмем две произвольные точки А и В, которые лежат по одну сторону от оси симметрии, и симметричные относительно прямой им точки А₁ и В₁:

Из точек А и А₁ проведем перпендикуляры АС и А₁С₁ к прямой ВВ₁. Рассмотрим АВС и А₁В₁С₁: Они являются прямоугольными. Нам известно, что две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются (т.е. являются параллельными). Значит, из того что АА₁ и ВВ₁, следует, что то АА₁ВВ₁, аналогично, АСА₁С₁. Т.е. мы получили, что в четырехугольнике АСС₁А₁ стороны попарно параллельны, значит, этот четырехугольник является параллелограммом, а, следовательно, АС=А₁С₁. Так как АА₁ВВ₁, то АО₁=СО₂=О₂С₁=О₁А₁ (данное равенство верно, так как вершины прямоугольника симметричны относительно серединного перпендикуляра, который проведен к его сторонам), поэтому ВС=ВО₂—СО₂=О₂В₁—О₂С₁=С₁В₁. Итак, мы получили, что в рассматриваемых треугольниках АС=А₁С₁ и ВС=С₁В₁, значит, АВС=А₁В₁С₁ (по двум катетам). Следовательно, АВ=А₁В₁, то есть расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁.

Рассмотрим случай, когда точки А и В лежат по разные стороны от оси симметрии:

При других расположениях точек А, В и А₁, В₁ также получается, что АВ=А₁В₁:

Итак, мы получили, что осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками.

Так как точка А симметрична точке А₁ и В симметрична точке В₁, то А₁О=ОА и В₁О=ОВ. АОВ=В₁ОА₁, так как они вертикальные. Следовательно, АОВ=В₁ОА₁ (по I признаку равенства треугольников) и АВ=А₁В₁, то есть расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁. Значит, центральная симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками.

Любое отображение, которое сохраняет расстояния между точками называется движением (или перемещением).

Поясним на примере осевой симметрии, по какой причине отображение, которое сохраняет расстояния, называют движением:

На рисунке видно, что осевую симметрию можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180 0 вокруг оси .

Теорема

Доказательство

Дано: движение, отрезок АВ, А отображается в А₁, В отображается в В₁

Доказать, что отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁

Доказательство:

Возьмем произвольную точку САВ, которая отображается в точку С₁.

АВ=АС+СВ.

При движении расстояния сохраняются, поэтому АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁ и СВ=С₁В₁. (1)

Из данных равенств имеем, что А₁В₁=АВ=АС+СВ=А₁С₁+С₁В₁, следовательно, С₁А₁В₁ (если предположить обратное, то будет выполнятся неравенство А₁С₁+С₁В₁>A₁B₁). Значит, точки отрезка АВ отображаются в точки отрезка А₁В₁.

Возьмем произвольную точку С₁А₁В₁, при этом при заданном движении точка С отображается в данную точку С₁. Из соотношений (1) и равенства А₁В₁=А₁С₁+С₁В₁, следует, что АС+СВ=АВ, а, значит, САВ. Т.е. в каждую точку С₁ отрезка А₁В₁ отображается какая-нибудь точка С отрезка АВ. Теорема доказана.

Следствие

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Наложения и движения

При наложении различные точки отображаются в различные точки.

Доказательство:

Из этого утверждения мы можем сделать вывод, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А₁ и В₁. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁ (т.к. согласно аксиоме, если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки), и, следовательно, АВ=А₁В₁. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояния, то есть любое наложение является движением плоскости.

Теорема

Доказательство

Дано: движение , АВС отображается в А₁В₁С₁, АВС=А₁В₁С₁

Доказать: движение — наложение

Доказательство:

Так как АВС=А₁В₁С₁ , то по определению существует наложение , при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁ и С₁ соответственно. Докажем, что совпадает с .

Предположим обратное. Тогда найдется хотя бы одна точка М, которая при движении отображается в точку М₁, а при наложении отображается в другую точку М₂. При отображениях и сохраняются расстояния, поэтому ВМ=В₁М₁, ВМ=В₁М₂, отсюда В₁М₁=В₂М₂, то есть точка В₁ равноудалена от точек М₁ и М₂.

Аналогично можно доказать, что точки А₁ и С₁ равноудалены от точек М₁ и М₂. Следовательно, точки А₁, В₁, и С₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М₁М₂, но это не возможно, так как вершины А₁В₁С₁ не лежат на одной прямой. Значит, наше предположение неверно и отображение совпадает с , другими словами, движение является наложением. Теорема доказана.

Следствие

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

11.02. Понятие движения

* рассмотреть осевую и центральную симметрии; * ввести понятия отображения плоскости на себя и движения; *рассмотреть свойства движения; * закрепить полученные знания при решении задач.

1). Для каждого из случаев а) б) в) постройте точки А1и В1, симметричные точкам А и В относительно прямой L.

Симметрия УСТНО Найдите точки симметричные данным относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат. А1 В1 D1 С1 А2 В2 С2 D2

Центральная симметрия Постройте точки симметричные данным относительно точки С. 3)

В D А1 В1 D1 Центральная симметрия – симметрия относительно центра

Определение Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние, называют движением

Свойства движения Постройте симметричную фигуру относительно D. Сформулируйте определение отображения плоскости на себя. Что такое движение? Являются ли осевая и центральная симметрии движениями?

Вопросы Перечислите те свойства движений, которые вам уже известны. (сохраняется расстояние между точками) Как вы думаете, в какую фигуру при движении отображается отрезок? (отрезок отображается в отрезок) Это мы с вами сегодня докажем

Теорема. При движении отрезок отображается в отрезок Дан отрезок АВ, при движении точка А отображается в точку С, точка В – в точку D. ВЕ+ЕА=АВ, АВ=СD, BE=DF, FC=EA  DF+FC=BE+EA=DC=BA  F DC Каждая точка отрезка АВ отображается в точку отрезка CD. И наоборот.

Выясните: на какую фигуру при движении отображается треугольник? Ответ: треугольник отображается на равный ему треугольник. На какую фигуру при движении отображается прямая, луч, угол? На какую фигуру при движении отображается четырехугольник, окружность?

* рассмотреть осевую и центральную симметрии; * ввести понятия отображения плоскости на себя и движения; *рассмотреть свойства движения; * закрепить полученные знания при решении задач.

Домашнее задание П.113,114 вопросы 1-6 №1148 (а), 1149 (б), 1150 (устно), 1159

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДВ-425726

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Тюменской области студенты и школьники перейдут на дистанционное обучение

Время чтения: 2 минуты

Студенты Хабаровского края перейдут на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Российские педагоги чаще всего жалуются на излишнюю отчетность и низкую зарплату

Время чтения: 2 минуты

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Около половины детей болеют коронавирусом в бессимптомной форме

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник